Transcript مقرر اإلحصاء (عرض )160 المحاضرة ( )8 أ . عهد الشائع أهداف المحاضرة : *) أهم المفاهيم االساسية في االحتماالت *) التعاريف المختلفة لالحتمال

‫مقرر اإلحصاء (عرض ‪)160‬‬
‫المحاضرة (‪)8‬‬
‫أ ‪ .‬عهد الشائع‬
‫أهداف المحاضرة ‪:‬‬
‫*) أهم المفاهيم االساسية في االحتماالت‬
‫*) التعاريف المختلفة لالحتمال‬
‫تعاريف أساسية ‪:‬‬
‫التجربة العشوائية ‪:‬‬
‫هي أي إجراء نعلم مسبقا ً جميع النواتج الممكنة له وان كنا ال نستطيع أن نتنبأ بأي من‬
‫هذه النتائج سيتحقق فعالً ‪ .‬حيث من الواضح أننا ال نستطيع أن نتنبأ بنتيجة التجربة‬
‫العشوائية إال إننا نستطيع حساب احتمال ظهور أي نتيجة وذلك باستخدام االحتماالت ‪.‬‬
‫التجارب المؤكدة ( المحددة) ‪:‬‬
‫هي التجارب التي إذا تكررت تحت نفس الظروف فمن المؤكد مالحظة نفس النتيجة‬
‫مثل ‪ :‬إلقاء قلم في الهواء ‪.‬‬
‫التجارب العشوائية ‪:‬‬
‫هي التجارب التي تتحكم في نتائجها عوامل الصدفة بمعنى أنه إذا تكررت التجربة‬
‫تحت نفس الظروف فربما تختلف النتائج مثل ‪ :‬إلقاء قطعة نقود ‪.‬‬
‫••‬
‫فراغ العينة ‪:‬‬
‫المجموعة المكونة من جميع النتائج الممكنة من تجربة عشوائية ويرمز له بالرمز‬
‫(‪. )S‬‬
‫وقد يطلق عليه لفظ الحدث الشامل أو الحاالت الممكنة ‪.‬‬
‫وكل نتيجة تسمى عنصر ومجموعة النتائج تسمى الفراغ ‪.‬‬
‫مثال (‪: )1-6‬‬
‫عند إلقاء قطعة نقود متوازنة مرة واحدة فما هو فراغ العينة ؟‬
‫الحل ‪ /‬فراغ العينة هو مجموعة النتائج الممكنة لهذه التجربة ‪:‬‬
‫}‪S = {H,T‬‬
‫نرمز للصورة بالرمز ‪H‬‬
‫نرمز للكتابة بالرمز ‪T‬‬
‫مثال (‪: )2-6‬‬
‫عند إلقاء قطعتي نقود مرة واحدة ( أو قطعة نقود واحدة مرتين ) ما هو‬
‫فراغ العينة ؟‬
‫الحل ‪ /‬فراغ العينة هو مجموعة النتائج الممكنة لهذه التجربة ‪:‬‬
‫}‪S = {HH,HT,TH,TT‬‬
‫أنواع فراغ العينة ‪:‬‬
‫أ) فراغ العينة المحدود (المنتهي ) ‪:‬‬
‫الفراغ الذي يحتوي على عدد محدود من العناصر ‪.‬‬
‫مثال (‪: )3-6‬‬
‫عند إلقاء زهرة نرد متزنة مرة واحدة ماهو فراغ العينة ؟‬
‫الحل ‪/‬‬
‫••‬
‫••‬
‫••‬
‫••‬
‫}‬
‫••‬
‫••‬
‫••‬
‫•‬
‫••‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫‪,‬‬
‫•‬
‫{=‪S‬‬
‫ب) فراغ العينة غير المحدود ( الالنهائي ) ‪:‬‬
‫الفراغ الذي يحتوي على عدد ال نهائي من العناصر ويمكن تقسيمه إلى نوعين ‪:‬‬
‫‪ (1‬فراغ عينة ال نهائي قابل للعد ‪:‬‬
‫هو الفراغ الذي يحتوي على عدد ال نهائي من العناصر وقابلة للعد مثل ‪ :‬إلقاء زهرة‬
‫‪S = {1, 2‬‬
‫نرد حتى يظهر الوجه •• فيكون فراغ العينة المناظر }‬
‫••‬
‫••‬
‫‪ )2‬فراغ عينة ال نهائي غير قابل للعد ‪:‬‬
‫هو الفراغ الذي يحتوي على عدد ال نهائي من العناصر غير قابلة للعد مثل ‪ :‬اختبار‬
‫مصباح كهربائي لمعرفة عمره فيكون فراغ العينة المناظر } ‪S = { x : x  0‬‬
‫الحادثة ‪:‬‬
‫مجموعة جزئية من فراغ العينة‬
‫‪.‬‬
‫أنواع الحوادث ‪:‬‬
‫‪ (1‬الحادثة البسيطة والحادثة المركبة ‪:‬‬
‫الحادثة البسيطة هي الحادثة التي تتكون من عنصر واحد من عناصر فراغ العينة ‪,‬‬
‫بينما الحادثة المركبة هي الحادثة التي تحتوي على أكثر من عنصر من عناصر فراغ‬
‫العينة ‪.‬‬
‫مثال (‪: )4-6‬عند إلقاء قطعتي نقود مره واحدة حددي ما إذا كانت الحوادث التالية‬
‫ت ان فراغ العينة هو }‪ S = {HH,HT,TH,TT‬؟‬
‫بسيطة أم ال إذا علم ِ‬
‫الحادثة‬
‫وصفها‬
‫نوع الحادثة‬
‫}‪A1= {TT‬‬
‫حادثة ظهور كتابتين‬
‫حادثة بسيطة‬
‫}‪A2= {HH‬‬
‫حادثة ظهور صورتين‬
‫حادثة بسيطة‬
‫}‪A3= {HH,TT‬‬
‫حادثة ظهور وجهين‬
‫متشابهين‬
‫حادثة مركبة‬
‫}‪A 4= {HH,HT,TH‬‬
‫حادثة ظهور صورة‬
‫واحدة على االقل‬
‫حادثة مركبة‬
‫‪ )2‬الحادثة المؤكدة ‪:‬‬
‫هي الحادثة التي البد من وقوعها فمثالً عند إلقاء عملة البد من ظهور الصورة أو‬
‫الكتابة وعموما ً الفئة الشاملة (فراغ العينة ) حادثة مؤكدة النها مجموعة جزئية من‬
‫‪SS‬‬
‫نفسها‬
‫مثال (‪: )5-6‬‬
‫عند إلقاء زهرة نرد متزنة مرة واحدة فإن الحادثة المؤكدة هي ظهور أي وجه من‬
‫••‬
‫إلى ••‬
‫••‬
‫‪ )3‬الحادثة المستحيلة ‪:‬‬
‫عندما ال تكون للتجربة أي نواتج متعلقة بالحادثة ويرمز لها بالرمز ‪‬‬
‫مثال (‪: )6-6‬‬
‫عند إلقاء زهرة نرد مرة واحدة فإن الحادثة المستحيلة هو ظهور عدد فردي وزجي‬
‫في آن واحد ‪.‬‬
‫•‬
‫‪ )4‬الحوادث المتماثلة ‪:‬‬
‫هي تلك الحوادث التي يكون لها نفس فرصة الحدوث ‪.‬‬
‫مثال (‪: )7-6‬‬
‫‪‬عند إلقاء قطعة نقود مرة واحدة فإن فرص ظهور الكتابة تماثل فرص ظهور‬
‫الصورة ‪.‬‬
‫‪‬عند إلقاء زهرة نرد مرة واحدة فإن فرص الحصول على االوجه تكون متماثلة ‪.‬‬
‫‪ )5‬الحوادث المتنافية (المانعة) بالتبادل ‪:‬‬
‫إذا كان هناك حدثان ‪َ A‬و ‪ B‬وكان وقوع الحادثتين معا ً حدثا ً مستحيالً وهذا يعني‬
‫أن الحدثين ال يمكن أن يقعا معا ً أو وقوع أحدهما يمنع وقوع االخر فإنه يقال أن ‪A‬‬
‫َو‪ B‬حدثان مانعان أو متنافيان بالتبادل ‪.‬‬
‫مثال (‪: )8-6‬‬
‫‪ ‬عند إلقاء قطعة نقود مرة واحدة فإن حدث ظهور الكتابة يمنع حدث ظهور الصورة ‪.‬‬
‫‪ ‬عند إلقاء زهرة نرد مرة واحدة فإن ظهور أحد االوجه يمنع ظهور االوجه االخرى ‪.‬‬
‫‪ ‬اذا كانت الحادثة ‪ A‬تمثل الوجوه الزوجية ‪} :‬‬
‫والحدث ‪ B‬يمثل الوجوه الفردية ‪} :‬‬
‫••‬
‫••‬
‫••‬
‫••‬
‫••‬
‫•‬
‫•‬
‫••‬
‫••‬
‫•‬
‫••‬
‫•‬
‫•‬
‫{=‪A‬‬
‫{=‪B‬‬
‫فإن الحدثين يعتبران مانعان لبعضهما بالتبادل ‪.‬‬
‫‪ )6‬االحداث المستقلة ‪:‬‬
‫لو كان لدينا حدثان وكان وقوع أحدهما ال يؤثر في وقوع االخر فيقال أن الحدثين مستقالن ‪ ,‬كذلك‬
‫لو أن هناك أكثر من حدثين ال يؤثر واليتأثر أحدهم باألحداث االخرى فيقال أن تلك االحداث مستقلة‬
‫مثال (‪: )9-6‬‬
‫‪ ‬عند إلقاء قطعتي نرد فإن ظهور رقم ما على القطعة االولى ال يؤثر وال يتأثر بما ظهر على‬
‫القطعة الثانية ‪.‬‬
‫‪ ‬عند إلقاء أكثر من قطعتي نرد فإن ظهور رقم ما على أي قطعة نرد ال يؤثر وال يتأثر بما ظهر‬
‫على قطع النرد االخرى ‪ ,‬فإن الحدثين يعتبران حدثان مستقالن ‪.‬‬
‫طرق العد ( التوافيق ) ‪:‬‬
‫حيث ‪:‬‬
‫‪ n‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪   cx ‬‬
‫!)‪x!(n  x‬‬
‫‪ x‬‬
‫‪n! n  (n  1)  (n  2)  ... 2  1‬‬
‫فمثالً ‪:‬‬
‫‪4! 4  3  2  1  24‬‬
‫مثال (‪: )10-6‬‬
‫بكم طريقة يمكن اختيار رجلين من بين أربع رجال ؟‬
‫الحل ‪/‬‬
‫حيث أن ‪ X = 2‬من الرجال من بين ‪n = 4‬‬
‫‪24‬‬
‫‪6‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4  3  2 1‬‬
‫!‪2!2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 4‬‬
‫!‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪   c2 ‬‬
‫!)‪2!(4  2‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ n‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪   c x ‬‬
‫!)‪x!(n  x‬‬
‫‪ x‬‬
‫مثال (‪: )11-6‬‬
‫أعلنت إحدى الشركات عن توفر ثالث وظائف شاغرة للرجال ووظيفتين للنساء بكم طريقة يمكن‬
‫االختيار اذا كان عدد المتقدمين ست رجال وخمس نساء ؟‬
‫الحل ‪/‬‬
‫!‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪H  c3 ‬‬
‫طريقة ‪ 20‬‬
‫عدد طرق اختيار الرجال ‪:‬‬
‫!‪3!3‬‬
‫!‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫عدد طرق اختيار النساء ‪:‬‬
‫‪L  c2 ‬‬
‫طريقة ‪ 10‬‬
‫!‪2!3‬‬
‫عدد طرق االختيار الكلي ‪:‬‬
‫مالحظات هامة ‪:‬‬
‫‪a 1 ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0!  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪c‬‬
‫‪c‬‬
‫طريقة‬
‫‪H  L  20  10  200‬‬
‫االحتمال ‪:‬‬
‫التعريف الكالسيكي لإلحتمال ‪:‬‬
‫إذا كان عدد الطرق التي يمكن أن تظهر بها نتائج تجربة ما هو ‪ n‬طريقة‬
‫وكانت هذه النتائج لها نفس فرصة الظهور وكان من بينها ‪ m‬طريقة تظهر بها‬
‫حادثة ما ‪ .‬فإنه يقال إن احتمال وقوع الحادثة هو ‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ #‬إذا رمزنا للحادثة ‪ A‬فإن )‪ P(A‬احتمال وقوع الحادثة ويعطى ‪:‬‬
‫مثال (‪: )12-6‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P ( A) ‬‬
‫إذا كانت لديك عشر بطاقات مرقمة من الرقم (‪ )1‬حتى (‪ )10‬موضوعة على‬
‫طاولة بشكل عشوائي ومقلوبة ثم سحبت إحدى هذه البطاقات‬
‫أ)ما احتمال الحصول على بطاقة تحمل الرقم (‪)4‬‬
‫ب) ما احتمال الحصول على بطاقة تحمل رقم يقبل القسمة على (‪)3‬‬
‫الحل ‪/‬‬
‫أ ) فراغ العينة مكون من عشر عناصر أي أن ‪َ n=10‬و ‪ m=1‬وهو العدد (‪)4‬‬
‫بالتالي احتمال الحصول على الرقم (‪ )4‬هو ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 0 .1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P ( A) ‬‬
‫ب) ‪ m , n=10‬عبارة عن عدد يقبل القسمة على ‪3‬أو ‪6‬أو ‪ 9‬أي ‪ m=3‬بالتالي‬
‫احتمال الحصول على رقم يقبل القسمة على (‪ )3‬هو ‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 0 .3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P ( A) ‬‬
‫مثال (‪: )14-6‬‬
‫ألقيت قطعتا نقود متزنتان مرة واحدة فما احتمال ؟‬
‫أ) ظهور صورة واحدة على السطح العلوي ؟‬
‫ب) ظهور صورة واحدة على األقل ؟‬
‫الحل ‪/‬‬
‫فراغ العينة هو ‪S = {HH,HT,TH,TT} :‬‬
‫أي أن ‪n = 4‬‬
‫أ) عدد الطرق التي يمكن أن تظهر بها صورة واحده على السطح العلوي هي‬
‫‪ m = 2‬إذن احتمال ظهور صورة واحده على السطح العلوي هو ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪P ( A) ‬‬
‫ب) عدد الطرق التي يمكن أن تظهر بها صورة واحده على االقل هي ‪m = 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P ( A) ‬‬
‫مالحظات هامة ‪:‬‬
‫‪ ‬قيمة االحتمال واقعة بين ‪0  p( A)  1‬‬
‫‪ ‬قد تستخدم التوافيق لتحديد عدد الطرق ‪ m‬أو ‪ n‬أو كليهما ولكن البد من معرفة‬
‫اذا كان السحب بإرجاع أو بدون إرجاع ‪.‬‬
‫مثال (‪:)15-6‬‬
‫كان لدى إحدى محالت أجهزة الكومبيوتر بأحد المعارض خمسة أجهزة منهم‬
‫جهازان عاطالن ولكن االجهزة الخمسة كانت مغلفة بحيث ال يمكن تمييز أيهم‬
‫العاطل فعندما طلب شحن جهازين عشوائيا ً‬
‫المطلـــــــوب ‪:‬‬
‫‪)1‬تحديد فراغ العينة ؟‬
‫‪ )2‬تحديد الحدث ‪ A‬الذي يمثل أن يكون الجهازان بصورة جيدة ؟‬
‫‪ )3‬احتمال أن يكون الجهازان بصورة جيدة ؟‬
‫الحل ‪/‬‬
‫نفرض ان االجهزة الجيدة ( ‪ ) #1 , #2 , #3‬واالجهزة المعطلة ( ‪) #1 , #2‬‬
‫‪ (1‬فراغ العينة هــو ‪:‬‬
‫})‪S = {(#1#2) ,( #1#1 ),( #1#2) , ( #1#3 ) ( #2#1) ( #2#2) ( #2#3) (#1#2) (#1#3) (#2#3‬‬
‫‪ )2‬الحادثة ‪A‬هي مجموعة جزئية من فراغ العينة ‪ S‬إذن الحادثة التي تمثل أن يكون الجهازان‬
‫بصورة جيدة‬
‫})‪A = { (#1#2) (#1#3) (#2#3‬‬
‫‪ )3‬عدد عناصر فراغ العينة هو ‪َ n =10‬و ‪ m‬هي عدد الطرق التي يكون فيها الجهازان بصورة‬
‫جيدة إذن ‪ m= 3‬بالتالي احتمال أن يكون الجهازان بصورة جيدة هو ‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ 0 .3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P ( A) ‬‬
‫التعريف التجريبي لإلحتمال ‪:‬‬
‫إذا كان عدد المرات التي أجريت بها تجربة ما تحت نفس الظروف هي ‪ n‬وكان عدد‬
‫المرات التي لوحظ فيها حدث معين ‪ A‬هي ‪ m‬فإن احتمال وقوع الحدث ‪ A‬هو‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪P ( A)  lim n‬‬
‫التعريف الرياضي لإلحتمال ‪:‬‬
‫مسلمات نظرية االحتمال ‪/‬‬
‫‪P( A)  0‬‬
‫‪ ‬يرافق كل حادثة ‪ A‬احتمال )‪ P(A‬يحقق‬
‫‪ ‬احتمال وقوع حادثة مؤكدة يساوي واحد أي أن ‪P( A)  1 P( S )  1‬‬
‫‪ ‬إذا كانت ‪َ A‬و ‪ B‬حادثتين متنافيتين فإن ‪P( AorB)  P( A)  P( B) :‬‬