a z векторів ОА, ОВ, ОС I I I В Знайти координати точок А, В, С і A(-1; 3;-6) OA(-1; 3;-6) B(-2;-3; 4) OB(-2;-3; 4) I I I I I I I I j I y C( 3;-2; 6) x I I I I I i O I I k I I I I I I I С А OC (3;-2; 6) Знайдемо через координати Кожна координати координатавектора вектораАВ дорівнює різниці його.
Download ReportTranscript a z векторів ОА, ОВ, ОС I I I В Знайти координати точок А, В, С і A(-1; 3;-6) OA(-1; 3;-6) B(-2;-3; 4) OB(-2;-3; 4) I I I I I I I I j I y C( 3;-2; 6) x I I I I I i O I I k I I I I I I I С А OC (3;-2; 6) Знайдемо через координати Кожна координати координатавектора вектораАВ дорівнює різниці його.
Slide 1
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 2
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 3
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 4
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 5
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 6
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 7
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 8
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 9
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 10
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 11
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 12
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 13
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 14
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 15
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 16
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 17
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 18
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 19
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 20
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 21
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 22
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 23
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 24
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 25
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 26
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 2
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 3
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 4
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 5
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 6
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 7
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 8
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 9
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 10
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 11
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 12
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 13
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 14
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 15
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 16
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 17
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 18
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 19
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 20
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 21
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 22
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 23
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 24
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 25
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання
Slide 26
a
z
векторів ОА, ОВ, ОС
I
I
I
В
Знайти координати точок А, В, С і
A(-1; 3;-6)
OA(-1; 3;-6)
B(-2;-3; 4)
OB(-2;-3; 4)
I
I
I
I
I
I
I
I
j
I
y
C( 3;-2; 6)
x
I
I
I
I
I
i
O
I
I
k
I
I
I
I
I
I
I
С
А
OC (3;-2; 6)
Знайдемо
через координати
Кожна координати
координатавектора
вектораАВ
дорівнює
різниці
його початку А та кінця В.
відповідних координат його кінця і початку.
З АОB: AB = AО + ОB = –ОA + ОB
z
B(x2; y2; z2)
О
x
y
*
OA(x1; y1; z1)
OB(x2; y2; z2)
–OA(-x1; -y1; -z1)
+ OB(x ; y ; z )
2
2 2
OB – AB
OA (x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A(x1; y1; z1)
Знайдіть координати
векторів
R(2;7;1); M(-2;7;3); RM
P(-5;1;4); D(-5;7;-2); PD
R(-3;0;-2); N(0;5;-3); RN
M(-2;7;3)
– R(2; 7;1)
RM(-4;0;2)
D(-5;7;-2)
– P(-5; 1;4)
PD( 0; 6;-6)
N(0; 5;-3)
– R(-3;0;-2)
RN(3; 5;-1)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4; 3); c (3; 2;-3); a +c = (5; 6;0)
b(-2; 0; 4); d(-2;-3;-1); b+d = (-4; -3;3)
f(0; 5;-3); d(-2;-3;7);
f – d = (2; 8;-10)
b(-2; 0;-1); d(-2;-3;-4); b – d = (0; 3;3)
Знайдіть координати векторів.
a (2; 4;-1);
3a( 6; 12;-3)
b (-2; 0;1,5);
-2b( 4; 0;-3 )
d (-2;-3;
2
3
);
-3d( 6; 9;-2 )
c (2;-5;0);
-c( -2; 5; 0 )
e (2;-3;8);
0,5e(1; -1,5; 4)
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-1;0;2)
1 спосіб
1)
–
і
B(1;-2;3)
a = x 2 + y 2 + z2
B(1;-2;3)
A(-1;0;2)
2)
AB = 22+(-2)2+12 = 9 = 3
AB(2;-2;1)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
AB = (1+1)2+(–2–0)2+(3–2)2
Знайдіть довжину вектора АВ, якщо
A(-35;-17;20)
1 спосіб
і
B(-34;-5;8)
a = x 2 + y 2 + z2
1)
2)
B(-34; -5; 8)
1 спосіб AB = 2
2+(-12)2 =
1
+12
– A(-35;-17;20)
= 289 = 17
AB( 1; 12;-12)
2 спосіб
AB = (x2–x1)2+(y2–y1)2+(z2–z1)2
2 спосіб
AB = (-34+35)2+(–5+17)2+(8–20)2
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток
двох векторів
Кут між векторами
b
b
А
В
a
a
a b= a
b
О
Промені ОА и ОВ утворюють кут АОВ.
Градусну міру цього кута
позначимо буквою a
a
Кут між векторами
дорівнює a
a
і
b
№1 Знайдіть кут між векторами
f
a
d 30
b
c
a b=
a
300
a c = 1200
f
d
0
b c = 900
b
d c = 1800
Два вектори називаються
перпендикулярними,
якщо кут між ними дорівнює 900.
b^c
b ^d
b^f
d f = 00
№ 2 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Знайдіть кут між векторами.
D1
A1
C1
0
В1В, В1С = 45
0
DА, B1D1 = 135
А1C1, A1B = 600
BC, AС =
B1
450
0
B1C, AD1 = 90
D
C
A
B
0
BB1, AC = 90
0
А1D1, BC = 0
AА1, C1C = 1800
№ 3 Кут між векторами АВ і СD дорівнює
Знайдіть кути між векторами
j
.
ВА, DС = j
B
ВА, СD = 1800–j
АB, DC =
А
j
j
(A)
O (C)
D
C
Сума векторів – вектор.
Різниця векторів – вектор.
Добуток вектора на число – вектор.
Скалярний добуток двох векторів
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
Скалярний добуток векторів – число (скаляр).
Скалярним добутком двох векторів називається число, що
дорівнює сумі добутків відповідних координат цих
векторів.
Скаляр – лат. scale – сходи, шкала.
Ввів у 1845р. У. Гамільтон, англійський математик.
Знайдіть скалярний добуток векторів
a b x1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2
a x1 ; y 1 ; z 1
bx2 ; y2 ; z2
0
a b = 900
b
a b = a b cos 900
=0
a
a
b
Якщо вектори
і
перпендикулярні, то скалярний
добуток векторів дорівнює нулю.
Якщо
перпендикулярні.
a b =0
, то вектори
a
і
b
Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює
нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори
перпендикулярні.
ab =0
a ^b
a b < 900
ab =
b
>0
a b cos a > 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів додатній тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами гострий.
a b > 0 a b < 900
a b > 900
ab =
b
<0
a b cos a < 0
a
Скалярний добуток ненульових векторів від’ємний тоді і
тільки тоді, коли кут між векторами тупий.
a b < 0 a b > 900
Якщо
a
b
a b = 00
b
a
ab =
b
a
ab =
1
a b cos 00 = a b
Якщо
a
b
a b = 1800
-1
a b cos1800 = – a b
a a = 00
a
aa =
1
a a cos 00 = a a
Скалярний добуток
aa
скалярним квадратом вектора
=
a
2
a
2
називається
a і позначається a 2
Таким чином, скалярний квадрат вектора
дорівнює квадрату його довжини.
a2
=
№ 1 АВСDA1B1C1D1 – куб. Знайдіть скалярний
добуток векторів
AD B1C1 = a2
AC C1A1 = -a2
D1B AC =
BA1 BC1 =
C1
O1
A1
B1
0
a2
A1O1 A1C1 = a2
D1O1 B1O1 = -0.5a2
BO1 C1B =
D1
-1.5a2
a
D
300
A
a
B
C
№ 2. Всі ребра тетраедра АВСD рівні між собою. Точки М і
N – середини ребер АD і ВС. Доведіть, що
A
M
D
B
N
C
MN AD = 0
№ 3.
Відповідь: 10 .
№ 4.
Відповідь: ні.
№ 5.
Відповідь: 90 .
Підсумок уроку
Домашнє завдання