Vien. Nr. 2008/0001/1DP/2.1.2.2./08/IPIA/VIAA/002

2009

ĀVĢ matemātikas skolotāja Aija Plēsuma

Funkcijas jēdziens

FUNKCIJA

Funkcijas jēdziens

Parasti kādu

procesu raksturo

šiem lielumiem

pastāv sakarība

vairāki

mainīgi lielumi

, un starp – izmainoties vienam no lielumiem pēc noteikta likuma mainās arī otra lieluma vērtība.

Ar funkcijas palīdzību tiek veidots procesa matemātiskais modelis.

Uzdevums.

Nosauciet dažas situācijas, kur pastāv sakarība starp dažādiem elementiem vai to lielumiem!

Turpmāk izmantoto jēdzienu skaidrojums

Kopa

viens no matemātikas pamatjēdzieniem, kuru nevar izteikt ar citiem agrāk definētiem jēdzieniem.

Ar vārdu

,,kopa’’

matemātikā apzīmē kaut ko vienotu, kas sastāv no atsevišķiem elementiem.

Kopas elementi ,

Skaitļu kopa piem., punkti, skaitļi, figūras, utt.

Figūru kopa 3 4 5

Ar vārdu ,,sakarība’’ saprotam piekārtojuma likumu, kas vienas kopas elementiem piekārto otras kopas elementus.

Funkcija

– īpašs sakarības veids.

Piem., elementus no valstu kopas piekārto elementiem no pilsētu kopas.

Valstis

Latvija Igaunija Lietuva Vācija Francija

Galvaspilsētas

Rīga Tallina Viļņa Berlīne Parīze

Funkcijas jēdziens

Ja pēc kāda noteikta likuma

f

katrai

mainīgā

x

vērtībai no kādas konkrētas kopas

X

noteikta mainīgā

y

vērtība tiek piekārtota no kopas

Y

tieši viena

, tad šādu

atbilstību

f

starp kopām X un Y sauc par funkciju .

Funkciju piemēri

1. Ja kopas

X

elementi ir

kvadrātu malu

garumi, bet kopas

Y

elementi ir kvadrātu

laukumi

, tad atbilstība, kas

katram kvadrāta malas garumam

piekārto šī kvadrāta laukumu, ir funkcija, jo katram malas garumam

atbilst tieši viena laukuma vērtība.

X Y a1 a2 a3 a4 .....

an S1 S2 S3 S4 ....

Sn

2. Ja kopas

X

elementi ir

naturālie skaitļi

, bet kopas

Y

elementi ir visas

iespējamās iztērētās naudas summas

, pērkot burtnīcas par cenu Ls 0,12, tad atbilstība, kas katram naturālam skaitlim piekārto tam atbilstošo iztērētās naudas summu, ir funkcija, jo katram burtnīcu skaitam atbilst tieši viena iztērētās naudas summa.

X 1 2 3 4 .....

n Y S1 S2 S3 S4 ....

Sn

Uzdevums

Kurā zīmējumā attēlotā sakarība ir funkcija? Y Y Y 0 X 0 X 0 X Y 0 X A B C D

Arguments, funkcija, funkcijas pieraksts

• Mainīgo

x

sauc par

neatkarīgo

mainīgo jeb

funkcijas argumentu

, bet mainīgo

y

par ”mainīgais lielums

atkarīgo

y

mainīgo jeb ar jēdzienu „funkcija” saprot pašu piekārtoto mainīgo lielumu, saka: ir argumenta

x

funkcijas vērtību

funkcija”. . Dažkārt • Funkcijas pierakstam var izmantot šādus apzīmējumus:

y=f(x)

,

y=y(x)

, burtiem

y=h(x) f

,

h

u.tml., akcentējot

y

funkcionālo atkarību no

x

, bet ar u.tml. apzīmē piekārtojuma likumu.

Matemātisko modeļu piemēri citās jomās:

Fizikā

piem., kustības ātruma atkarība no laika - v(t) vai, piem., veiktā ceļa atkarība no laika s(t).

Ekonomikā

skaita.

ražošanas kopējās izmaksas atkarībā no saražotā preču

Uzdevums

• No kā ir atkarīgs aizdedzinātas sveces garums?

Atbilde.

No degšanas ilguma (laika).

• Kas šajā gadījumā ir tas, ko mēs paši varam izvēlēties?

Atbilde.

Degšanas ilgumu (laiku).

Tā kā mēs paši varam izvēlēties degšanas ilgumu (t), tad tas ir neatkarīgais mainīgais, bet sveces garumu (l) nosaka degšanas ilgums, līdz ar to tas ir atkarīgais mainīgais .

Funkcijas definīcijas apgabals

Kopu X

, kas satur visas pieļaujamās funkcijas

f

vērtības, sauc par

funkcijas f apzīmē ar D(f).

argumenta

definīcijas apgabalu un

Piemēri.

Atbilstība starp kvadrāta malu un kvadrāta laukumu ir funkcija, kuras definīcijas apgabals ir D(f) = ( 0;+



) , jo kvadrāta malas garums var būt jebkurš reāls pozitīvs skaitlis.

Atbilstība starp nopirkto burtnīcu skaitu un iztērēto naudas summu ir funkcija, kuras definīcijas apgabals ir D(f) = N, , jo nopirkto burtnīcu skaits var būt tikai naturāls skaitlis.

Ja funkcija uzdota grafiski, tad tās definīcijas apgabalu var „nolasīt” uz x ass – tās ir visas grafika punktu x koordinātas.

(animācija)

Funkcijas vērtību kopa

Kopu, kuras elementi ir visas funkcijas

f

vērtības

f(x)

, sauc par

funkcijas f vērtību apgabalu un apzīmē ar E(f)

Piemēri.

Atbilstība starp kvadrāta malu un kvadrāta laukumu ir funkcija, kuras vērtību apgabals ir

D(f) = ( 0;+



),

jo kvadrāta laukums var būt jebkurš reāls pozitīvs skaitlis. Atbilstība starp nopirkto burtnīcu skaitu un iztērēto naudas summu ir funkcija, kuras vērtību apgabals ir kopa

D(f) = {0,12n, n



N}

, jo iztērētās naudas summa var būt tikai cenas (Ls 0,12) daudzkārtnis.

Ja funkcija uzdota grafiski, tad tās vērtību apgabalu var „nolasīt” uz y ass – tās ir visas grafika punktu y koordinātas.

(animācija)

Funkcijas definēšana

Funkcija ir uzdota jeb definēta , ja zināms funkcijas definīcijas apgabals, vērtību apgabals un piekārtojuma likums , pēc kura katram definīcijas kopas elementam var atrast atbilstošo vērtības kopas elementu.

Funkciju uzdošanas veidi

Analītiski Ar tabulu Grafiski Aprakstoši

Ķermeņa masa ir vienāda ar tilpuma un blīvuma reizinājumu.

Uzdevums

1. Dotajām funkcijām izmanto citu funkcijas uzdošanas veidu!

Funkcijas vārdiskais apraksts

Taisnstūra viena mala ir par 2 vienībām garāka nekā otra mala.

Mainot taisnstūra īsākās malas garumu mainās taisnstūra laukums.

Automašīna brauca ar nemainīgu ātrumu 95 km/h. Mainot braukšanas laiku, mainās automašīnas veiktais ceļš.

Taisnstūra puķu dobes laukums ir nemainīgs- 10 m 2 . Mainot tās vienas malas garumu, mainās otras malas garums.

Funkcijas formula

y

= 95

x

Funkcijas grafiks

parabola

Funkcijas vārdiskais apraksts

Taisnstūra viena mala ir par 2 vienībām garāka nekā otra mala.

Mainot taisnstūra īsākās malas garumu mainās taisnstūra laukums.

Funkcijas formula

y=x

(

x

+2)

Funkcijas grafiks

parabola Automašīna brauca ar nemainīgu ātrumu 95 km/h. Mainot braukšanas laiku, mainās automašīnas veiktais ceļš.

y

= 95

x

taisne Taisnstūra puķu dobes laukums ir nemainīgs- 10 m 2 . Mainot tās vienas malas garumu, mainās otras malas garums.

y

=10/

x

hiperbola

Mājas darbs:

Teorija māc. gr. 28.-30.lpp., pārbaudes darba kļūdu labojums. (Iesniegt pārbaudes darba kļūdu labojumu uz atsevišķas rūtiņu lapas kopā ar pārbaudes darbu, t.i., neveikt labojumus darba lapās.)

Izmantotā literatūra:

E.Slokenbeka, I.France, I.Frace. Matemātika 10.klasei., Lielvārds, 2009 ISEC. Interaktīvās apmācības disks matemātikā 10.klasei

www.google.lv

attēlu kolekcija, resurss apskatīts 08.10.2009.