Transcript نور هندسی Geometrical Light مهرداد سایه وند : تهیه By: Mehrdad Sayehvand ور چیست؟ به صورت بسیار ساده نور عامل دیدن اشیا می باشد . اجسام به لحاظ.

‫نور هندسی‬
Geometrical Light
‫ مهرداد سایه وند‬: ‫تهیه‬
By: Mehrdad
Sayehvand
‫ور چیست؟‬
‫به صورت بسیار ساده نور عامل دیدن اشیا می باشد‪.‬‬
‫اجسام به لحاظ دیده شدن به دو دسته‬
‫تقسیم می شوند‪:‬‬
‫اجسام منیر که خود منبع تولید نور می باشند‪.‬‬
‫اجسام غیر منیر که نور اجسام منیر را بازتاب می کنند‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪2‬‬
‫اجسام منیر را چشمه نور می نامند که با توجه به‬
‫ابعاد آنها به دو گروه تقسیم می شوند‪:‬‬
‫چشمه نقطه ای نور‬
‫چشمه گسترده نور‬
‫اگر ابعاد چشمه نور در مقایسه با سایر اندازه های مسئله کوچک‬
‫باشد آن را منبع نقطه ای نور می نامند‪.‬‬
‫اگر ابعاد چشمه نور قابل مقایسه با سایر اندازه های مسئله باشد‬
‫آن را منبع گسترده نور می گویند‪.‬‬
‫گرفتن بی نهایت منبع نقطه ای نور تشکیل می‬
‫چشمه گسترده نور از کنار هم قرار‬
‫`‬
‫شود‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪3‬‬
‫آیا می دانید‬
‫چه منبع نور نقطه ای باشد و چه گسترده ‪ ،‬نوربعد‬
‫از تولید در منبع نور به خط راست منتشر می‬
‫شود‪.‬‬
‫و‬
‫علت تشکیل سایه انتشار نور به خط راست است؟‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪4‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫سایه چیست؟‬
‫اگر جسم کدری مقابل منبع نور قرار گیرد‪ ،‬نور از آن عبور نمی کند؛ لذا پشت‬
‫جسم فضای تاریکی ایجاد می شود که سایه نام دارد‪.‬‬
‫سایه حاصل از چشمه نقطه ای نور‪:‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪5‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫محدود به پرتوهایی است که از لبه های‬
‫جسم کدر عبور می کنند‪.‬‬
‫این سایه‬
‫تاریکی در همه جای سایه یکنواخت است‪.‬‬
‫ً‬
‫بین تاریکی و روشنایـی مـرز کامال مشخص ی وجود دارد کـه ثابت‬
‫می کند نـور به خط راست منتشر می شود‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪6‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫اگر دو مثلث 𝐵𝐴𝑂∆ و ‪ ∆𝑂𝐴′ 𝐵′‬را در نظر بگیریم‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪𝑂=O‬‬
‫‪′ ′‬‬
‫‪′‬‬
‫𝐴‬
‫𝐵‬
‫𝐻𝑂‬
‫⇒ ‪⇒ ∆𝑂𝐴𝐵~∆𝑂𝐴′ 𝐵′‬‬
‫=‬
‫𝐵𝐴‬
‫𝐻𝑂‬
‫فاصله پرده از نقطه نورانی‬
‫فاصله جسم کدر از نقطه نورانی‬
‫=‬
‫‪A′‬‬
‫=𝐴‬
‫قطر سایه‬
‫قطر جسم کدر‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪7‬‬
www.alm.loxblog.com
:‫ 𝐻𝑂 می توان نوشت‬′ = 𝑂𝐻 + 𝐻𝐻 ′ ‫از آنجا که‬
𝐴′ B ′ OH + HH ′
A′ B ′
HH ′
=
⟹
=1+
AB
OH
AB
OH
8
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫می توان گفت‪:‬‬
‫که ‪ 𝑅′‬و 𝑅 به ترتیب شعاع سایه و جسم کدر می باشند؛ پس در رابطه‬
‫نوشت‪:‬‬
‫‪2𝑅′ OH ′‬‬
‫‪𝑅′ OH ′‬‬
‫‪OH‬‬
‫=‬
‫‪R‬‬
‫⟹‬
‫‪OH‬‬
‫=‬
‫می توان‬
‫‪2R‬‬
‫حاال طرفین دو رابطه را به توان ‪ 2‬می رسانیم‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪:‬‬
‫‪𝑆 𝑆′‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑅′‬‬
‫‪OH ′‬‬
‫=‬
‫‪R2‬‬
‫‪OH‬‬
‫‪OH′‬‬
‫‪OH‬‬
‫=‬
‫‪𝑆′‬‬
‫𝑆‬
‫⟹‬
‫‪2‬‬
‫‪OH′‬‬
‫‪OH‬‬
‫=‬
‫‪2‬‬
‫‪𝜋𝑅 ′‬‬
‫‪πR2‬‬
‫‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪9‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫به همین ترتیب با استفاده از رابطه ی‬
‫می توان نوشت‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝐻𝐻 ′‬‬
‫‪+‬‬
‫𝐻𝑂‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪= 1‬‬
‫‪𝑆′‬‬
‫𝑆‬
‫‪10‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال‪ :1‬قرص کدری با قطر ‪ 8‬سانتی متر بین یک چشمه نقطه ای نور و پرده موازی با پرده طوری قرار‬
‫گرفته است که فاصله اش از پرده ‪ 80‬سانتی متر و از چشمه نور ‪ 50‬سانتی متر است‪ .‬شعاع سایه چند سانتی‬
‫متر می شود؟‬
‫جواب‪:‬‬
‫‪A′ B ′‬‬
‫‪HH ′‬‬
‫‪A′ B ′‬‬
‫‪80‬‬
‫‪=1+‬‬
‫⟹‬
‫‪=1+‬‬
‫𝑚𝐶‪= 2.6 ⟹ A′ B ′ = 20.8‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪OH‬‬
‫‪8‬‬
‫‪50‬‬
‫𝑚𝐶‪A′ B ′ = 2R′ ⟹ 20.8 = 2R′ ⟹ R′ = 10.4‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪11‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال‪ :2‬قرص کدری بین یک چشمه نقطه ای نور و پرده‪ ،‬موازی پرده طوری قرار گرفته است که فاصله اش‬
‫از پرده ‪ 90‬سانتی متر است‪ .‬اگر قطر سایه ‪ 3‬برابر قطر جسم در باشد‪ ،‬فاصله ی جسم کدر از چشمه نور چند‬
‫سانتی متر است؟‬
‫جواب‪:‬‬
‫‪A′ B ′‬‬
‫‪HH ′‬‬
‫‪90‬‬
‫‪90‬‬
‫‪=1+‬‬
‫‪⟹3=1+‬‬
‫=‪⟹2‬‬
‫𝑚𝐶‪⟹ 𝑂𝐻 = 45‬‬
‫‪AB‬‬
‫‪OH‬‬
‫𝐻𝑂‬
‫𝐻𝑂‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪12‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال ‪ :3‬قرص کدری بین یک چشمه نقطه ای نور و پرده موازی پرده قرار دارد و قطر سایه ‪ 5‬برابر قطر جسم‬
‫کدر است‪ .‬اگر جسم را ‪ 30‬سانتی متر به پرده نزدیک کنیم قطر سایه ‪ 3‬برابر قطر جسم کدر می شود‪ .‬فاصله ی‬
‫چشمه نور از پرده چند متر است؟‬
‫جواب‪:‬‬
‫‪𝐴′ 𝐵′ 𝑂𝐻′‬‬
‫‪𝑂𝐻′‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫⟹‬
‫‪= 5 ⟹ 𝑂𝐻 = 𝑂𝐻′‬‬
‫𝐵𝐴‬
‫𝐻𝑂‬
‫𝐻𝑂‬
‫‪5‬‬
‫‪𝑂𝐻′‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪3‬‬
‫‪⟹ 3 𝑂𝐻 + 90 = 𝑂𝐻′ ⟹ 3‬‬
‫‪𝑂𝐻′ + 90 = 𝑂𝐻′‬‬
‫‪𝑂𝐻 + 30‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫𝑚‪𝑂𝐻′ = 90 ⟹ 𝑂𝐻′ = 225𝐶𝑚 ⟹ 𝑂𝐻′ = 2.25‬‬
‫‪5‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪13‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال ‪ :4‬قرص کدری بین یک چشمه نقطه ای نور و پرده موازی پرده طوری قرار گرفته است که فاصله اش از پرده‬
‫‪ 60‬سانتی متر است‪ .‬اگر مساحت سایه و قرص کدر به ترتیب ‪ 4900‬و ‪ 900‬سانتی متر مربع باشند‪ ،‬فاصله ی‬
‫چشمه نور از قرص کدر چند سانتی متر است؟‬
‫جواب‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4900‬‬
‫‪60‬‬
‫⟹‬
‫‪= 1+‬‬
‫‪900‬‬
‫‪OH‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑆′‬‬
‫‪𝐻𝐻′‬‬
‫‪= 1+‬‬
‫𝑆‬
‫𝐻𝑂‬
‫از طرفین رابطه جذر می گیریم‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫‪60‬‬
‫‪4 60‬‬
‫‪=1+‬‬
‫= ⟹‬
‫𝑚𝐶‪⟹ OH = 45‬‬
‫‪3‬‬
‫𝐻𝑂‬
‫‪3 OH‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪14‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال ‪ :5‬المپی باالی تیر چراغ برقی به ارتفاع ‪ 6‬متر روشن است‪ .‬و شخص ی که طول قد او ‪ 180‬سانتی متر است در فاصله ی ‪ 4‬متر از‬
‫تیر برق ایستاده است‪ .‬طول سایه ی او روی زمین چتد متر است؟‬
‫جواب‪:‬‬
‫‪6‬‬
‫𝑋‪4+‬‬
‫=‬
‫‪⟹ 6𝑋 = 7.2 + 1.8𝑋 ⟹ 4.2𝑋 = 7.2‬‬
‫‪1.8‬‬
‫‪4‬‬
‫𝑚‪= 1.7‬‬
‫‪7.2‬‬
‫=‪X‬‬
‫‪4.2‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪15‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال‪ :6‬قرص کدری بین یک چشمه نقطه ای نور و پرده قرار دارد و فاصله ی چشمه ی نور تا پرده ‪ 7‬برابر فاصله ی جسم کدر تا‬
‫پرده است‪ .‬مساحت سایه چند برابر مساحت جسم کدر است؟‬
‫‪𝑂𝐻′ = 𝑂𝐻 + 𝐻𝐻′ ⟹ 7𝐻𝐻′ = 𝑂𝐻 + 𝐻𝐻′ ⟹ 𝑂𝐻 = 6𝐻𝐻′‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= 1.75‬‬
‫‪7‬‬
‫=‬
‫‪6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑆′‬‬
‫‪𝐻𝐻′‬‬
‫‪⟹ = 1+‬‬
‫𝑆‬
‫‪6𝐻𝐻 ′‬‬
‫‪2‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪𝑆′‬‬
‫‪𝐻𝐻′‬‬
‫‪= 1+‬‬
‫𝑆‬
‫𝐻𝑂‬
‫‪16‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫سایه حاصل از چشمه گسترده نور‪:‬‬
‫‪ (1‬قرص کدر از چشمه نور بزرگتر است‪:‬‬
‫در صورتی که قطر جسم کدر از‬
‫قطر چشمه نــور بزرگتر باشد‪ ،‬با‬
‫دور کردن جسم کدر از چشمه نور‬
‫و نزدیک کردن آن بـه پرده قطر‬
‫سایــه کامل و نیم سایه هـر دو‬
‫کـوچک می شوند‪.‬‬
‫یا اگر با ثابت نگه داشتن محل چشمه‬
‫نور و جسم کدر پرده را دور کنیم قطر‬
‫سایه و نیم سایه هردو افزایش می‬
‫یابند‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪17‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫‪ )2‬قطر جسم کدر برابر قطر چشمه نور است‪:‬‬
‫اگر قطر جسم کدر مساوی قطر چشمه نــور‬
‫باشد‪ ،‬با دور کردن جسم کدر از چشمه نور و‬
‫نزدیک کردن آن بــه پرده قطــر سایه ی کـامل‬
‫ثابت می مـاند اما قطر نیم سایه کوچک می‬
‫شود‪.‬‬
‫هم چنین اگر با ثابت نگه داشتن با ثابت نگه داشتن‬
‫محل چشمه نور و جسم کدر پرده را دور کنیم قطر‬
‫سایه ی کامل تغییر نمی کند‪ ،‬اما قطر نیم سایه‬
‫افزایش خواهد یافت‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪18‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫‪ )3‬قطر جسم کدر کوچک تر از قطر چشمه نور است‪:‬‬
‫در صورتی که قطر جسم کدر بزرگتر از قطر‬
‫چشمه نور باشد‪ ،‬با دور کردن جسم کدر از‬
‫چشمه نـور و نزدیک کردن آن بــه پرده قطر‬
‫سایه کامل بزرگتر می شود و قطر نیم سایه‬
‫کوچک خواهد شد‪.‬‬
‫هم چنین اگر با ثابت نگه داشتن محل چشمه نور و‬
‫جسم کدر‪ ،‬پرده را دور کنیم‪ ،‬قطر سایه ی کامل‬
‫کوچک و قطر نیم سایه بزرگ می شود‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪19‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫این حالت خورشید گرفتگی است‪ .‬که در آن چشمه‬
‫نور (خورشید)؛ جسم کدر (ماه) و پرده (زمین) می‬
‫باشد‪ .‬کسانی که در سایه کامل قرار دارند خورشید‬
‫گرفتگی را کلی و کسانی که در نیم سایه قرار دارند‬
‫خورشید گرفتگی را جزیی خواهند دید‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪20‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫پرسش‪ :‬در هنگام خورشید گرفتگی هر چقدر زمین دور تر از مـاه باشد‪ ،‬ناحیه ای کـه در آن خورشید‬
‫کاهشاست ‪ ،....................‬و ناحیـه ای کـه خـورشید گرفتگی بـه صورت‬
‫گرفتگی بـه صـورت کلـی قابـل دیدن‬
‫دیدهایش‬
‫جـزیـی افز‬
‫می شود‪ .....................‬می یابد‪.‬‬
‫در هنگام خورشید گرفتگی هر چقدر زمین دور تر از ماه باشد‪ ،‬ناحیه‬
‫ای که در آن خورشید گرفتگی به صورت کلی قابل دیدن است کاهش‪،‬‬
‫و ناحیه ای که خورشید گرفتگی به صورت جزیی دیده می شود افزایش‬
‫می یابد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪21‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫بازتابش نور‬
‫به برگشت نور از سطح اشیا بازتابش نور می گویند‪.‬‬
‫قوانین بازتابش نور‬
‫پرتوهای تابش‪ ،‬بازتابش و خط عمود بر‬
‫سطح در نقطه ی تابش در یک صفحه‬
‫اند‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪22‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫زاویه تابش با زاویه ی بازتابش برابر است‪.‬‬
‫𝑟=𝑖‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪23‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال‪ : 7‬پرتو نوری به یک آینه ی تخت تابیده است‪ .‬اگر زاویه ی بین پرتوهای تابش و بازتابش‬
‫‪ 4‬برابر زاویه ای باشد که زاویه ی تابش با سطح آینه ی ساخته است‪ ،‬زاویه ی تابش چند درجه‬
‫است؟‬
‫‪∝ +4 ∝+∝= 180‬‬
‫∝‪6 ∝= 180 ⇒∝= 30𝑜 ⇒ i = 90 −‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪24‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال ‪ : 8‬پرتو ‪I‬مطابق شکل به سطح آینه (‪ )1‬تابیده است و در ادامـه ی مسیر به آینه (‪ )2‬برخورد‬
‫کرده است‪ .‬زاویه ی بازتابش نور از سطح آینه (‪ )2‬چند درجه است؟‬
‫اوالً زاویه‬
‫پس زاویه ی‬
‫‪𝐴1‬‬
‫نیز ‪ 25‬درجه است و از طرفی‬
‫‪𝐶2‬یعنی زاویه تابش به آینه (‪)2‬‬
‫‪A1 + C1 + 115 = 180‬‬
‫‪25 + 𝐶1 + 115 = 180 → C1 = 40o‬‬
‫خواهد شد و به این ترتیب زاویه ی ‪𝐶3‬بازتابش از سطح آینه (‪)2‬‬
‫خواهد شد‪:‬‬
‫𝑜‪𝐶2 = 90 − 𝐶1 = 90 − 40 = 50‬‬
‫‪𝐶3 = C2 = 50o‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪25‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال‪ :9‬در شکل زیر پرتو ‪I‬آینه (‪ )1‬تابیده است‪ .‬زاویه بین دو آینه چند درجه باشد تا پرتو بازتابیده از سطح‬
‫آینه (‪ )2‬موازی سطح آینه (‪ )1‬باشد؟‬
‫بنا به حالت خطوط موازی و مورب‬
‫‪𝐵2 = 𝐵1 = O‬‬
‫پس‪:‬‬
‫‪2𝑂 + 35 = 180‬‬
‫لذا‬
‫𝑜‪2𝑂 = 145 → 𝑂 = 72.5‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪26‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال‪ : 10‬در شکل زیر پرتو ‪I‬به آینه (‪ )1‬تابیده و در ادامه ی مسیر از آینه (‪ )2‬بازتاب شده است‪ .‬زاویه ی‬
‫بین پرتو بازتاب از آینه (‪ )2‬و پرتوی که به آینه ی (‪ )1‬تابیده است‪ ،‬چند درجه می باشد؟‬
‫از آنجا که اندازه ی زاویه ی خارجی برابر‬
‫مجموع دو زاویه ی داخلی غیر هم جواز‬
‫است‪ ،‬لذا‬
‫اندازه زاویه ی خواسته شده ‪ 140‬درجه‬
‫است‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪27‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫ویر در آینه ی تخت‬
‫شکل مقابل جسمی مقابل یک آینه ی تخت نشان داده‬
‫شده است‪ .‬برای به دست آوردن تصویر این جسم از‬
‫هر نقطه ی آن‪ ،‬مسیر دو پـرتـو که بــه سطح آینه‬
‫تابیده است را دنبال می کنیم‪ .‬مالحظه می شود که‬
‫پرتوها پس از بازتابش از هم دور می شوند ولی‬
‫امتداد آنها یکدیگر را در نقطه ای پشت آینه قطع می‬
‫کنند‪.‬این نقطه‪ ،‬تصویر نقطه ای است که پرتوها از‬
‫آن آمده اند‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪28‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫تصویر مجازی است‪ .‬زیرا توسط پرتوهای مجازی(امتداد پرتوها) درست‬
‫شده است‪ ،‬وجود خارجی ندارد و قابل عکس برداری نیست‪.‬‬
‫تصویر مستقیم است ولی وارون جانبی دارد‪ .‬یعنی سمت راست جسم معادل سمت‬
‫چپ تصویر است و برعکس‪.‬‬
‫ویژگی تصویر در آینه‬
‫تخت‪:‬‬
‫طول تصویر برابر طول جسم است‪.‬‬
‫تصویر پشت آینه است و فاصله اش تا آینه برابر فاصله ی جسم تا آینه است‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪29‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫نکاتی درباره ی تصویر در آینه ی تخت‪:‬‬
‫تصویر ساعت در آینه‬
‫اگر در آینه تخت به ساعت عقربه ای نگاه کنیم‪ ،‬عقربه ها در آینه نسبت به‬
‫محوری که از ‪ 12‬و ‪ 6‬می گذرد قرینه می شونــد‪ .‬در شـکل مقابـل ساعت‬
‫چهـار و چهـل دقیقــه است‪ .‬در ایــن حالت عقربه ها با خط توپر نشان داده‬
‫شده اند‪ .‬و تصویــر عقربه ها خط های بریده اند‪.‬‬
‫به این ترتیب مجموع زمان هایی که از نگاه مستقیم به‬
‫ساعت می بینیم و از نگاه در آینه مشاهده می کنیم ‪ 12‬می‬
‫شود‪.‬‬
‫‪ℎ′ ℎ′ : 𝑚′ 𝑚′ + hh: mm = 11: 60‬‬
‫حروف با پریم زمان مشاهده شده در آینه و بدون پریم زمانی است که از نگاه مستقیم در آینه می بینیم‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪30‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال ‪ :11‬اگر مستقیم به یک ساعت عقربه ای نگاه کنیم ‪ 5:35‬را می بینیم‪ .‬اگر در آینه به ساعت‬
‫نگاه کنیم چه زمانی را خواهیم دید؟‬
‫پاسخ‬
‫‪11: 60 − 5: 35 = 6: 25‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪31‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫میدان دید آینه تخت‬
‫فرض کنید شخصی در نقطه ی ‪ O‬روبروی آینه ی تخت ‪ AB‬ایستاده است‪.‬‬
‫آخرین نقاطی که شخص می تواند ببیند‪ ،‬نقاطی از پرده هستند که پس از‬
‫تابش به لبه ی آینه و بازتابش از آن وارد چشم شخص شوند‪ .‬بنابراین‬
‫شخص می تواند‪ 𝐴′ B ′‬را ببیند‪ .‬هم چنین اگر المپ کوچکی در نقطه ی ‪O‬‬
‫باشد لکه روشنی به قطر ‪ 𝐴′ B ′‬ایجاد می شود‪ .‬با توجه به شکل‪:‬‬
‫‪′ 𝐵′‬‬
‫𝐴‬
‫𝐷 ‪2𝑎 +‬‬
‫⇒ ‪∆O′ 𝐴𝐵~∆𝑂𝐴′ 𝐵′‬‬
‫=‬
‫𝐵𝐴‬
‫𝑎‬
‫هـم چنین مساحتی که روی پرده قـابل دیدن است یا مساحت لکه روشنی که روی پرده ایجاد می شود از رابطه ی‬
‫زیر به دست می آید‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑆′‬‬
‫𝐷 ‪2𝑎 +‬‬
‫=‬
‫‪S‬‬
‫𝑎‬
‫که ‪ 𝑆 ′‬مساحت قابل رؤیت یا مساحت لکه روشن است و ‪ S‬مساحت آینه می باشد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪32‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال ‪ :12‬شخصی در فاصله ی ‪ 20‬سانتی متری یک آینه ی تخت دایره ای شکل به قطر ‪ 10‬سانتی متر‬
‫ایستاده است‪ .‬و دیواری در فاصله ی یک متری آینه پشت سر اوست‪ .‬قطر ناحیه ای از دیوار که شخص‬
‫می تواند ببیند چند سانتی متر است؟‬
‫پاسخ‬
‫𝐷 ‪2𝑎 +‬‬
‫𝑎‬
‫=‬
‫‪𝐴′ 𝐵′‬‬
‫𝐵𝐴‬
‫‪𝐴′ 𝐵′ 2 × 20 + 80‬‬
‫=‬
‫‪=6‬‬
‫‪10‬‬
‫‪20‬‬
‫𝑚𝐶‪𝐴′ 𝐵′ = 60‬‬
‫‪33‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال ‪ :13‬یک نقطه ی نوارانی در فاصله ی ‪ 10‬سانتی متری از یک آینه تخت دایره ای شکل به مساحت ‪16‬‬
‫سانتی متر مربع قرار دارد‪ .‬اگر مساحت لکـه روشن ایجاد شده روی دیواری در مقابل آینه ‪ 4900‬سانتی متر‬
‫مربع باشد‪ ،‬فاصله ی آینه از دیوار چند سانتی متر است؟‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪𝑆′‬‬
‫𝐷 ‪2𝑎 +‬‬
‫=‬
‫‪S‬‬
‫𝑎‬
‫‪4900‬‬
‫𝐷 ‪2 × 10 +‬‬
‫=‬
‫‪16‬‬
‫‪10‬‬
‫از طرفین جذر می گیریم‪:‬‬
‫𝐷 ‪70 20 +‬‬
‫=‬
‫‪4‬‬
‫‪10‬‬
‫𝑚𝐶‪700 = 80 + 4𝐷 ⇒ 620 = 4𝐷 ⟹ 𝐷 = 155𝐶𝑚 ⟹ 𝑎 + 𝐷 = 10 + 155 = 165‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪34‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫سرعت نسبی جسم و تصویر در آینه ی تخت‪:‬‬
‫جسم و آینه به ترتیب به اندازه ی ‪ 𝑥o‬و 𝑚𝑥 در یک جهت حرکت می کنند‪:‬‬
‫با توجه به شکل می توان جابه جایی تصویر را به دست آورد‪ ،‬اگر جابه‬
‫جایی تصویر را با‪ ∆𝑥I‬نشان دهیم‪ ،‬خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪∆𝑥I = 2 d − 𝑥o + 𝑥𝑚 + 𝑥o − 2d‬‬
‫𝑜𝑥 ‪∆𝑥𝐼 = 2𝑥𝑚 −‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪35‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫به طور کلی می توان گفت‬
‫𝑜𝑥 ‪∆𝑥𝐼 = 2𝑥𝑚 −‬‬
‫جابه جایی تصویر‬
‫‪𝑥𝑚 − 𝑥o‬‬
‫جابه جایی تصویر نسبت به آینه‬
‫‪2 𝑥𝑚 − 𝑥o‬‬
‫جابه جایی تصویر نسبت به جسم‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪36‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫هم چنین درباره ی سرعت تصویر خواهیم داشت‪:‬‬
‫‪∆𝑣I = 2𝑣𝑚 − 𝑣o‬‬
‫سرعت انتقال تصویر‬
‫‪𝑣𝑚 − 𝑣o‬‬
‫سرعت تصویر نسبت به آینه‬
‫‪2 𝑣𝑚 − 𝑣o‬‬
‫سرعت تصویر نسبت به جسم‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪37‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫حال اگر مطابق شکل مقابل جسم و آینه به سمت هم حرکت کنند‪ ،‬خواهیم داشت‬
‫جابه جایی تصویر و سرعت خواهد شد‪:‬‬
‫𝑜𝑥 ‪∆𝑥𝐼 = 2𝑥𝑚 +‬‬
‫‪∆𝑣I = 2𝑣𝑚 + 𝑣o‬‬
‫جابه جایی تصویر‬
‫سرعت انتقال تصویر‬
‫‪𝑥𝑚 + 𝑥o‬‬
‫جابه جایی تصویر نسبت به آینه‬
‫‪𝑣𝑚 + 𝑣o‬‬
‫سرعت تصویر نسبت به آینه‬
‫‪2 𝑥𝑚 + 𝑥o‬‬
‫‪38‬‬
‫‪2 𝑣𝑚 + 𝑣o‬‬
‫جابه جایی تصویر نسبت به جسم‬
‫سرعت تصویر نسبت به جسم‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال ‪ :14‬شخصی مقابل یک آینه ی تخت قرار دارد‪ ،‬اگر شخص و آینه به ترتیب با سرعت های ‪ 4‬و ‪ 12‬متر‬
‫بر ثانیه در یک جهت حرکت می کنند‪ .‬سرعت انتقال تصویر چند متر بر ثانیه است؟‬
‫پاسخ‬
‫𝑠‬
‫𝑚 ‪∆𝑣I = 2𝑣𝑚 − 𝑣o ⟹ ∆𝑣I = 2 × 12 − 4 = 20‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪39‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال ‪ :13‬شخصی مقابل یک آینه ی تخت ایستاده است‪ .‬اگر این شخص ‪ 6‬متر از آینه دور شود برای آنکه‬
‫محل تصویر شخص تغییر ‪3‬‬
‫نزدیک شود‬
‫نکند‪ ،‬آینه بایدبه شخص‬
‫‪. ..........................‬‬
‫‪ ...............‬متر‬
‫وقتی شخص ‪ 6‬متر از آینه دور می شود تصویرش نیز ‪ 6‬متر از آینه دور می شود‪ .‬از‬
‫طرفی چون وقتی آینه به اندازه ی ‪x‬جابه جا می شود تصویر به اندازه ی ‪2x‬جابه جا می‬
‫شود‪ ،‬پس برای آنکه تصویر به محل اولیه برگردد باید آینه ‪ 3‬متر به شخص نزدیک شود‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪40‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال ‪ :16‬مطابق شکل جسمی مقابل آینه ی تختی قرار دارد‪ .‬زاویه ی بین راستای جسم و تصویر چند‬
‫درجه است؟‬
‫پاسخ‬
‫باید جسم و تصویر را امتداد دهیم تا یکدیگر را قطع کنند‪ .‬تا‬
‫توجه به اینکه مجموع زوایای داخلی مثلث ‪180‬درجه‬
‫است‪ ،‬زاویه ی بین راستای جسم و تصویر به دست می آید‪.‬‬
‫دو برابر این زاویه زا ویه ی بین راستای جسم و تصویر‬
‫می باشد‪.‬‬
‫با توجه به شکل مقابل زاویه ی بین جسم و تصویر ‪ 100‬درجه خواهد‬
‫شد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪41‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال ‪ :17‬در شکل مقابل جسمی مقابل آینه ی تختی قرار دارد‪ .‬زاویه ی بین راستای جسم و تصویر چند درجه‬
‫است؟‬
‫پاسخ‬
‫با توجه به توضیحات ارائه شده در پاسخ‬
‫مثال ‪ 16‬و با عنایت به شکل روبه رو زاویه‬
‫ی بین راستای جسم و تصویر‪ 190‬درجه‬
‫می باشد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪42‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫سوال مهم‪ :‬برای آنکه شخص ی بتواند تمام قد خود را در آینه ببیند طول آینه‬
‫باید چه کسری از قد شخص باشد؟‬
‫برای آنکه شخص بتواند تمام قد خود را در آینه ببیند‪،‬‬
‫باید پرتوی که از پای او به لبه ی پایین آینه می تابد پس از‬
‫بازتابش وارد چشم او شود‪.‬‬
‫‪𝐴′ 𝐵′ 𝑂𝐴′‬‬
‫⇒‬
‫=‬
‫𝐵𝐴‬
‫𝐴𝑂‬
‫‪∆𝑂𝐴𝐵~∆𝑂𝐴′ 𝐵′‬‬
‫پس از آنجا که‪:‬‬
‫‪𝐴′ 𝐵′‬‬
‫‪𝑂𝐴′‬‬
‫‪1‬‬
‫‪′ ′‬‬
‫⇒ 𝐴𝑂‪𝑂𝐴 = 𝐴𝐴 ⇒ 𝑂𝐴 = 2‬‬
‫=‬
‫⇒‬
‫𝐴‬
‫𝐵‬
‫=‬
‫𝐵𝐴‬
‫𝐵𝐴‬
‫‪2𝑂𝐴′‬‬
‫‪2‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫‪′‬‬
‫برای آنکه شخصی بتواند تمام طول قد خود را در آینه ببیند‪ ،‬طول آینه حداقل‬
‫باید نصف طول قد شخص باشد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪43‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫آینه های کروی‬
‫‪44‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
www.alm.loxblog.com
45
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫آینه های کروی‬
‫آینه کروی قسمتی از یک کره ی شیشه ای‬
‫توخالی است که یک طرف آن نقره اندود‬
‫شده است‪.‬‬
‫اگر قسمت داخلی نقره اندود شده باشد‪ ،‬قسمت بیرونی‬
‫سطح بازتابنده است و آینه محدب یا کوژ نامیده می‬
‫شود‪ .‬و اگر قسمت بیرونی نقره اندود شود‪ ،‬سطح‬
‫داخلی بازتابنده است و به آن آینه مقعر یا کاو می‬
‫گویند‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪46‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫اصطالحات مربوط به آینه های کروی‪:‬‬
‫‪ .1‬مرکز انحای آینه‪ :‬مرکز کره ای است که آینه قسمتی از آن است(‪.)C‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪.‬‬
‫شعاع انحنای آینه‪ :‬شعاع کره ای است که آینه قسمتی از آن است(‪)R‬‬
‫‪ .3‬رأس آینه‪ :‬به میانی ترین نقطه آینه یا به وسط آینه می‬
‫گویند(‪.)P‬‬
‫‪ .4‬محور اصلی آینه‪ :‬خطی است که مرکز آینه را به رأس آینه‬
‫وصل می کند‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪47‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫نون آینه ی مقعر‬
‫دسته پرتوهای موازی پس از بازتابش از‬
‫سطح آینه ی مقعر یکدیگر را در نقطه ای به‬
‫نام کانون قطع می کنند‪.‬‬
‫آینه ی مقعر بی نهایت کانون حقیقی دارد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪48‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫ون اصلی آینه مقعر‬
‫محور اصلی‬
‫کانون‬
‫‪F = R /2‬‬
‫دسته پرتوهای موازی با محور اصلی آینه ی مقعر پس از بازتابش یکدیگر را در‬
‫نقطه ای روی محور اصلی به نام کانون اصلی قطع می کنند‪ .‬این نقطه را با ‪F‬‬
‫نمایش می دهند‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪49‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫کانون آینه ی محدب‬
‫دسته پرتوهای موازی پس از بازتابش از آینه ی محدب از‬
‫هم دور می شوند ولی امتداد آنها یکدیگر را در نقطه ای‬
‫پشت آینه به نام کانون قطع می کنند‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪50‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫ون اصلی آینه ی محدب‬
‫محور اصلی‬
‫کانون‬
‫‪F=R/2‬‬
‫دسته پرتوهای موازی با محور اصلی آینه ی محدب پس از بازتابش از هم دور می‬
‫شوند‪ ،‬ولی امتداد آنها یکدیگر را در نقطه ای روی محور اصلی به نام کانون اصلی قطع‬
‫می کنند‪ .‬این نقطه را با حرف ‪F‬نمایش می دهند‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪51‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫فاصله ی کانونی آینه کروی‪ :‬به فاصله ی بین کانون اصلی آینه تا‬
‫رأس آینه فاصله ی کانونی می گویند‪ .‬این فاصله در صـورتی قطر‬
‫دهانـه ی آینه نسبت به شعاع آن بزرگ باشد‪ ،‬تقریبا ً نصف شعاع‬
‫انحنای آینه می باشد‪.‬‬
‫𝑅‬
‫≅𝑓‬
‫‪2‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪52‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫رسم پرتوها در آینه مقعر‬
‫•‬
‫•‬
‫پرتوی که موازی محور اصلی آینه‬
‫مقعر به آن می تابد‪ ،‬پس از بازتابش‬
‫از کانون اصلی عبور می کند‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫پرتوی که از کانون اصلی آینه ی مقعر‬
‫بگذرد و به آن بتابد‪ ،‬موازی محور اصلی‬
‫بازتابیده خواهد شد‪.‬‬
‫•‬
‫‪C‬‬
‫پرتوی که از مرکز انحنای آینه ی مقعر‬
‫بگذرد و به آن بتابد روی خودش بازتابیده‬
‫خواهد شد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪F‬‬
‫‪53‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫تصویر در آینه های مقعر‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪54‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫جسم در فاصله ی کانونی است‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫مجازی است‪.‬‬
‫ویژگی های تصویر عبارتند از‪:‬‬
‫مستقیم است‪.‬‬
‫بزرگتر از جسم می باشد‪.‬‬
‫پشت آینه است و نسبت به جسم دورتر است‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪55‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫جسم روی کانون اصلی است‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫در این حالت تصویر در بی نهایت است‪ ،‬یعنی اصالً تصویر‬
‫تشکیل نخواهد شد که مجازی یا حقیقی باشد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪56‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫نکته‪:‬‬
‫اگر جسمی مقابل آینه ی مقعر از آینه تا کانون اصلی‬
‫جابه جا شود تصویرش با سرعت بسیار بیشتر از جسم از آینه تا‬
‫بی نهایت جابه جا می شود و طول تصویر همواره یزرگتر‬
‫خواهد شد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪57‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال ‪ :18‬در شکل مقابل جسم مستطیل شکل ‪MNPQ‬مقابل یک آینه مقعر است‪ .‬تصویر این‬
‫جسم چگونه تشکیل خواهد شد؟‬
‫پاسخ‬
‫تصویر ‪QN‬که به ‪ F‬نزدیک تر است دورتر‬
‫و بزرگتر می باشد‪ .‬لذا تصویر آن به‬
‫صورت شکل روبه رو خواهد شد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪58‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫جسم بین کانون اصلی و مرکز آینه است‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫حقیقی است‪.‬‬
‫ویژگی های تصویر عبارتند از‪:‬‬
‫وارونه است‪.‬‬
‫بزرگتر از جسم می باشد‪.‬‬
‫همان طرف جسم و خارج از مرکز است‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪59‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫جسم روی مرکز آینه است‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫حقیقی است‬
‫ویژگی های تصویر عبارتند از‪:‬‬
‫وارونه است‬
‫هم اندازه ی جسم است‬
‫همان طرف جسم و روی مرکز می باشد‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪60‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫نکته‪ :‬اگر جسمی مقابل یک آینه ی مقعر از کانون اصلی تا مرکز‬
‫آینه جابه جا شود تصویرش با سرعت بسیار بیشتر از جسم از بـی‬
‫نهایت تا مـرکـز آینه جابه جا خواهد شد و طول تصویر همواره‬
‫کاهش می یابد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪61‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال ‪ :19‬در شکل مقابل جسم مستطیل شکل ‪MNPQ‬مقابل یک آینه مقعر است‪.‬‬
‫تصویر این جسم چگونه تشکیل خواهد شد؟‬
‫پاسخ‬
‫اوالً تصویر جسم حقیقی است و خارج از مرکز‬
‫تشکیل می شود‪ .‬در ضمن ‪ PN‬که به ‪F‬‬
‫نزدیک تر است‪ ،‬تصویرش دورتر و بزرگتر‬
‫می باشد‪ .‬لذا تصویرش مطابق شکل مقابل‬
‫خواهد شد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪62‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫جسم خارج از مرکز می باشد‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫حقیقی است‪.‬‬
‫ویژگی های تصویر عبارتند از‪:‬‬
‫وارونه می باشد‪.‬‬
‫کوچکتر از جسم است‪.‬‬
‫همان طرف جسم و روی کانون اصلی می باشد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪63‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫جسم در بی نهایت است‬
‫از آنجا که پرتوهایی که از بی نهایت‬
‫می آیند موازیند‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪F‬‬
‫حقیقی است‪.‬‬
‫ویژگی های تصویر عبارتند از‪:‬‬
‫وارونه می باشد‪.‬‬
‫کوچکتر از جسم است‪.‬‬
‫همان طرف جسم و روی کانون اصلی می باشد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪64‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫نکته‪ :‬اگر جسمی مقابل یک آینه ی مقعر از مرکز آینه تا بی نهایت‬
‫جابه جا شود تصویرش با سرعت بسیار کمتر از جسم از مرکز‬
‫آینه تا کانون اصلی جابه جا می شود و طول تصویر همواره کاهش‬
‫می یابد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪65‬‬
‫‪www.alm.loxblog.com‬‬
‫مثال ‪ :18‬در شکل مقابل جسم مستطیل شکل ‪MNPQ‬مقابل یک آینه مقعر است‪ .‬تصویر این جسم‬
‫چگونه تشکیل خواهد شد؟‬
‫پاسخ‬
‫اوالً تصویر این جسم حقیقی است و بین کانون اصلی‬
‫و مرکز تشکیل می شود‪ ،‬در ضمن تصویر ‪ PQ‬که‬
‫دورتر است کوچکتر است و به کانون اصلی نزدیک‬
‫تر می باشد‪ .‬لذا تصویر مطابق شکل روبرو خواهد‬
‫شد‪.‬‬
‫مهرداد سایه وند‬
‫‪66‬‬