نور هندس ی Geometrical Light مهرداد سایه وند : تهیه By: Mehrdad Sayehvand نور چیست؟ به صورت بسیار ساده نور عامل دیدن اشیا می باشد . اجسام به.
Download ReportTranscript نور هندس ی Geometrical Light مهرداد سایه وند : تهیه By: Mehrdad Sayehvand نور چیست؟ به صورت بسیار ساده نور عامل دیدن اشیا می باشد . اجسام به.
نور هندسی Geometrical Light مهرداد سایه وند: تهیه By: Mehrdad Sayehvand نور چیست؟ به صورت بسیار ساده نور عامل دیدن اشیا می باشد. اجسام به لحاظ دیده شدن به دو دسته تقسیم می شوند: اجسام منیر که خود منبع تولید نور می باشند. اجسام غیر منیر که نور اجسام منیر را بازتاب می کنند. مهرداد سایه وند 2 اجسام منیر را چشمه نور می نامند که با توجه به ابعاد انها به دو گروه تقسیم می شوند: چشمه نقطه ای نور چشمه گسترده نور اگر ابعاد چشمه نور در مقایسه با سایر اندازه های مسئله کوچک باشد ان را منبع نقطه ای نور می نامند. اگر ابعاد چشمه نور قابل مقایسه با سایر اندازه های مسئله باشد ان را منبع گسترده نور می گویند. نهایت منبع نقطه ای نور تشکیل می شود. چشمه گسترده نور از کنار هم قرار گرفتن بی ` مهرداد سایه وند 3 ایا می دانید چه منبع نور نقطه ای باشد و چه گسترده ،نوربعد از تولید در منبع نور به خط راست منتشر می شود. و علت تشکیل سایه انتشار نور به خط راست است؟ مهرداد سایه وند 4 سایه چیست؟ اگر جسم کدری مقابل منبع نور قرار گیرد ،نور از ان عبور نمی کند؛ لذا پشت جسم فضای تاریکی ایجاد می شود که سایه نام دارد. سایه حاصل از چشمه نقطه ای نور: مهرداد سایه وند 5 محدود به پرتوهای ی است که از لبه های جسم کدر عبور می کنند. این سایه تاریکی در همه جای سایه یکنواخت است. ً بین تاریکی و روشنای ی م رز کامال مشخصی وجود دارد ک ه ثابت می کند ن ور به خط راست منتشر می شود. مهرداد سایه وند 6 اگر دو مثلث 𝐵𝐴𝑂∆ و ∆𝑂𝐴′ 𝐵′را در نظر بگیریم: 𝑂=O ′ ′ ′ 𝐴 𝐵 𝐻𝑂 ⇒ ⇒ ∆𝑂𝐴𝐵~∆𝑂𝐴′ 𝐵′ = 𝐵𝐴 𝐻𝑂 فاصله پرده از نقطه نورانی فاصله جسم کدر از نقطه نورانی = A′ =𝐴 قطر سایه قطر جسم کدر مهرداد سایه وند 7 از انجا که 𝑂𝐻 ′ = 𝑂𝐻 + 𝐻𝐻 ′می توان نوشت: 𝐴′ B ′ OH + HH ′ A′ B ′ HH ′ = ⟹ =1+ AB OH AB OH مهرداد سایه وند 8 می توان گفت: که 𝑅′و 𝑅 به ترتیب شعاع سایه و جسم کدر می باشند؛ پس در رابطه نوشت: 2𝑅′ OH ′ 𝑅′ OH ′ OH = R ⟹ OH = می توان 2R حاال طرفین دو رابطه را به توان 2می رسانیم: 2 : 𝑆 𝑆′ 2 2 𝑅′ OH ′ = R2 OH OH′ OH = 𝑆′ 𝑆 2 ⟹ OH′ OH 2 = 𝜋𝑅 ′ πR2 . مهرداد سایه وند 9 به همین ترتیب با استفاده از رابطه ی می توان نوشت: 2 𝐻𝐻 ′ + 𝐻𝑂 مهرداد سایه وند = 1 𝑆′ 𝑆 10 مثال :قرص کدری با قطر 8سانتی متر بین یک چشمه نقطه ای نور و پرده موازی با پرده طوری قرار گرفته است که فاصله اش از پرده 80سانتی متر و از چشمه نور 50سانتی متر است .شعاع سایه چند سانتی متر می شود؟ جواب: A′ B ′ HH ′ A′ B ′ 80 =1+ ⟹ =1+ 𝑚𝐶= 2.6 ⟹ A′ B ′ = 20.8 AB OH 8 50 𝑚𝐶A′ B ′ = 2R′ ⟹ 20.8 = 2R′ ⟹ R′ = 10.4 مهرداد سایه وند 11 مثال :قرص کدری بین یک چشمه نقطه ای نور و پرده ،موازی پرده طوری قرار گرفته است که فاصله اش از پرده 90سانتی متر است .اگر قطر سایه 3برابر قطر جسم در باشد ،فاصله ی جسم کدر از چشمه نور چند سانتی متر است؟ جواب: A′ B ′ HH ′ 90 90 =1+ ⟹3=1+ =⟹2 𝑚𝐶⟹ 𝑂𝐻 = 45 AB OH 𝐻𝑂 𝐻𝑂 مهرداد سایه وند 12 مثال :قرص کدری بین یک چشمه نقطه ای نور و پرده موازی پرده قرار دارد و قطر سایه 5برابر قطر جسم کدر است .اگر جسم را 30سانتی متر به پرده نزدیک کنیم قطر سایه 3برابر قطر جسم کدر می شود .فاصله ی چشمه نور از پرده چند متر است؟ جواب: 𝐴′ 𝐵′ 𝑂𝐻′ 𝑂𝐻′ 1 = ⟹ = 5 ⟹ 𝑂𝐻 = 𝑂𝐻′ 𝐵𝐴 𝐻𝑂 𝐻𝑂 5 𝑂𝐻′ 1 =3 ⟹ 3 𝑂𝐻 + 90 = 𝑂𝐻′ ⟹ 3 𝑂𝐻′ + 90 = 𝑂𝐻′ 𝑂𝐻 + 30 5 2 𝑚𝑂𝐻′ = 90 ⟹ 𝑂𝐻′ = 225𝐶𝑚 ⟹ 𝑂𝐻′ = 2.25 5 مهرداد سایه وند 13 مثال :قرص کدری بین یک چشمه نقطه ای نور و پرده موازی پرده طوری قرار گرفته است که فاصله اش از پرده 60سانتی متر است .اگر مساحت سایه و قرص کدر به ترتیب 4900و 900سانتی متر مربع باشند ،فاصله ی چشمه نور از قرص کدر چند سانتی متر است؟ جواب: 2 4900 60 ⟹ = 1+ 900 OH 2 𝑆′ 𝐻𝐻′ = 1+ 𝑆 𝐻𝑂 از طرفین رابطه جذر می گیریم: 7 60 4 60 =1+ = ⟹ 𝑚𝐶⟹ OH = 45 3 𝐻𝑂 3 OH مهرداد سایه وند 14 مثال :المپ ی باالی تیر چراغ برقی به ارتفاع 6متر روشن است .و شخصی که طول قد او 180سانتی متر است در فاصله ی 4متر از تیر برق ایستاده است. طول سایه ی او روی زمین چتد متر است؟ جواب: 6 𝑋4+ = ⟹ 6𝑋 = 7.2 + 1.8𝑋 ⟹ 4.2𝑋 = 7.2 1.8 4 𝑚= 1.7 7.2 =X 4.2 مهرداد سایه وند 15 مثال :قرص کدری بین یک چشمه نقطه ای نور و پرده قرار دارد و فاصله ی چشمه ی نور تا پرده 7برابر فاصله ی جسم کدر تا پرده است .مساحت سایه چند برابر مساحت جسم کدر است؟ 𝑂𝐻′ = 𝑂𝐻 + 𝐻𝐻′ ⟹ 7𝐻𝐻′ = 𝑂𝐻 + 𝐻𝐻′ ⟹ 𝑂𝐻 = 6𝐻𝐻′ 2 = 1.75 7 = 6 2 𝑆′ 𝐻𝐻′ ⟹ = 1+ 𝑆 6𝐻𝐻 ′ 2 مهرداد سایه وند 𝑆′ 𝐻𝐻′ = 1+ 𝑆 𝐻𝑂 16 سایه حاصل از چشمه گسترده نور: (1قرص کدر از چشمه نور بزرگ تر است: در صورتی که قطر جسم کدر از قطر چشمه نــور بزرگتر باشد ،با دور کردن جسم کدر از چشمه نور و نزدیک کردن آن بـه پرده قطر سایــه کامل و نیم سایه هـر دو کـوچک می شوند. یا اگر با ثابت نگه داشتن محل چشمه نور و جسم کدر پرده را دور کنیم قطر سایه و نیم سایه هردو افزایش می یابند. مهرداد سایه وند 17 𝑀𝐶 ℎ′ = 𝐵𝐴 ℎ و 𝐷𝑀 ℎ + ℎ′ = 𝐴′ 𝐵 ′ ℎ 𝐶𝑀 𝐶𝐷 = 𝑀𝐷 − مهرداد سایه وند 18 مثال :قرص کدری به قطر 12سانتی متر بین چشمه ی نوری به قطر 4سانتی متر و پرده ،موازی پرده قرار دارد .و فاصله ی ان از چشمه نور 50سانتی متر و از پرده 80سانتی متر است .پهنای نیم سایه و قطر سایه ی کامل را به دست اورید. جواب 4×80 =6.4Cm 50 = 𝑐𝑀 ⇒ 80 50 = 𝐶𝑀 4 𝑀𝐷 50 + 80 130 = = 12 50 50 𝑀𝐶 ℎ′ = 𝐵𝐴 ℎ 𝐷𝑀 ℎ + ℎ′ = 𝐴′ 𝐵 ′ ℎ 𝑚𝐶𝑀𝐷 = 12 × 2.6 = 31.2 𝑚𝐶𝐶𝐷 = 𝑀𝐷 − 𝑀𝐶 ⇒ 𝐶𝐷 = 31.2 − 6.4 = 24.8 مهرداد سایه وند 19 )2قطر جسم کدر برابر قطر چشمه نور است: اگر قطر جسم کدر مساوی قطر چشمه ن ور باشد ،با دور کردن جسم کدر از چشمه نور و نزدیک کردن ان ب ه پرده قط ر سایه ی ک امل ثابت می م اند اما قطر نیم سایه کوچک می شود. هم چنین اگر با ثابت نگه داشتن محل چشمه نور و جسم کدر پرده را دور کنیم قطر سایه ی کامل تغییر نمی کند ،اما قطر نیم سایه افزایش خواهد یافت. مهرداد سایه وند 20 )3قطر جسم کدر کوچک تر از قطر چشمه نور است: در صورتی که قطر جسم کدر کوچک تر از قطر چشمه نور باشد ،با دور کردن جسم کدر از چشمه ن ور و نزدیک کردن ان ب ه پرده قطر سایه کامل بزرگ تر می شود و قطر نیم سایه کوچک خواهد شد. هم چنین اگر با ثابت نگه داشتن محل چشمه نور و جسم کدر، پرده را دور کنیم ،قطر سایه ی کامل کوچک و قطر نیم سایه بزرگ می شود. مهرداد سایه وند 21 این حالت خورشید گرفتگی است .که در ان چشمه نور (خورشید)؛ جسم کدر (ماه) و پرده (زمین) می باشد .کسانی که در سایه کامل قرار دارند خورشید گرفتگی را کلی و کسانی که در نیم سایه قرار دارند خورشید گرفتگی را جزی ی خواهند دید. مهرداد سایه وند 22 پرسش :در هنگام خورشید گرفتگی هر چقدر زمین دور تر از مـاه باشد ،ناحیه ای کـه در آن خورشید کاهش است ،....................و ناحیـه ای کـه خـورشید گرفتگی بـه صورت گرفتگی بـه صـورت کلـی قابـل دیدن دیدهایشمی شود .....................می یابد. جـزیـی افز در هنگام خورشید گرفتگی هر چقدر زمین دور تر از ماه باشد ،ناحیه ای که در آن خورشید گرفتگی به صورت کلی قابل دیدن است کاهش، و ناحیه ای که خورشید گرفتگی به صورت جزیی دیده می شود افزایش می یابد. مهرداد سایه وند 23 بازتابش نور به برگشت نور از سطح اشیا بازتابش نور می گویند. قوانین بازتابش نور پرتوهای تابش ،بازتابش و خط عمود بر سطح در نقطه ی تابش در یک صفحه اند. مهرداد سایه وند 24 زاویه تابش با زاویه ی بازتابش برابر است. 𝑟=𝑖 مهرداد سایه وند 25 مثال :پرتو نوری به یک آینه ی تخت تابیده است .اگر زاویه ی بین پرتوهای تابش و بازتابش 4برابر زاویه ای باشد که پرتو تابش با سطح آینه ی ساخته است ،زاویه ی تابش چند درجه است؟ ∝ +4 ∝+∝= 180 ∝6 ∝= 180 ⇒∝= 30𝑜 ⇒ i = 90 − i=90- 30= 60 مهرداد سایه وند 26 مثال :پرتو Iمطابق شکل به سطح آینه ( )1تابیده است و در ادامـه ی مسیر به آینه ( )2برخورد کرده است .زاویه ی بازتابش نور از سطح آینه ( )2چند درجه است؟ اوالً زاویه پس زاویه ی 𝐴1 نیز 25درجه است و از طرفی 𝐶2یعنی زاویه تابش به آینه ()2 A1 + C1 + 115 = 180 25 + 𝐶1 + 115 = 180 → C1 = 40o خواهد شد و به این ترتیب زاویه ی 𝐶3بازتابش از سطح آینه ()2 خواهد شد: 𝑜𝐶2 = 90 − 𝐶1 = 90 − 40 = 50 𝐶3 = C2 = 50o مهرداد سایه وند 27 مثال :در شکل زیر پرتو Iبه آینه ( )1تابیده است .زاویه بین دو آینه چند درجه باشد تا پرتو بازتابیده از سطح آینه ( )2موازی سطح آینه ( )1باشد؟ بنا به حالت خطوط موازی و مورب 𝐵2 = 𝐵1 = O پس: 2𝑂 + 35 = 180 لذا 𝑜2𝑂 = 145 → 𝑂 = 72.5 مهرداد سایه وند 28 مثال :در شکل زیر پرتو Iبه آینه ( )1تابیده و در ادامه ی مسیر از آینه ( )2بازتاب شده است .زاویه ی بین پرتو بازتاب از آینه ( )2و پرتوی که به آینه ی ( )1تابیده است ،چند درجه می باشد؟ از آنجا که اندازه ی زاویه ی خارجی برابر مجموع دو زاویه ی داخلی غیر هم جوار است ،لذا اندازه زاویه ی خواسته شده 140درجه است. مهرداد سایه وند 29 تصویر در اینه ی تخت شکل مقابل جسمی مقابل یک آینه ی تخت نشان داده شده است .برای به دست آوردن تصویر این جسم از هر نقطه ی آن ،مسیر دو پـرتـو که بــه سطح آینه تابیده است را دنبال می کنیم .مالحظه می شود که پرتوها پس از بازتابش از هم دور می شوند ولی امتداد آنها یکدیگر را در نقطه ای پشت آینه قطع می کنند.این نقطه ،تصویر نقطه ای است که پرتوها از آن آمده اند. مهرداد سایه وند 30 تصویر مجازی است .زیرا توسط پرتوهای مجازی(امتداد پرتوها) درست شده است ،وجود خارجی ندارد و قابل عکس برداری نیست. تصویر مستقیم است ولی وارون جانبی دارد .یعنی سمت راست جسم معادل سمت چپ تصویر است و برعکس. ویژگی تصویر در اینه تخت: طول تصویر برابر طول جسم است. تصویر پشت آینه است و فاصله اش تا آینه برابر فاصله ی جسم تا آینه است. مهرداد سایه وند 31 نکاتی درباره ی تصویر در اینه ی تخت: تصویر ساعت در آینه اگر در آینه تخت به ساعت عقربه ای نگاه کنیم ،عقربه ها در آینه نسبت به محوری که از 12و 6می گذرد قرینه می شونــد .در شـکل مقابـل ساعت چهـار و چهـل دقیقــه است .در ایــن حالت عقربه ها با خط توپر نشان داده شده اند .و تصویــر عقربه ها خط های بریده اند. به این ترتیب مجموع زمان هایی که از نگاه مستقیم به ساعت می بینیم و از نگاه در آینه مشاهده می کنیم 12می شود. ℎ′ ℎ′ : 𝑚′ 𝑚′ + hh: mm = 11: 60 حروف با پریم زمان مشاهده شده در آینه و بدون پریم زمانی است که از نگاه مستقیم در آینه می بینیم. مهرداد سایه وند 32 مثال :اگر مستقیم به یک ساعت عقربه ای نگاه کنیم 5:35را می بینیم .اگر در آینه به ساعت نگاه کنیم چه زمانی را خواهیم دید؟ پاسخ 11: 60 − 5: 35 = 6: 25 مهرداد سایه وند 33 میدان دید اینه تخت فرض کنید شخصی در نقطه ی Oروبروی آینه ی تخت ABایستاده است. آخرین نقاطی که شخص می تواند ببیند ،نقاطی از پرده هستند که پس از تابش به لبه ی آینه و بازتابش از آن وارد چشم شخص شوند .بنابراین شخص می تواند 𝐴′ B ′را ببیند .هم چنین اگر المپ کوچکی در نقطه ی O باشد لکه روشنی به قطر 𝐴′ B ′ایجاد می شود .با توجه به شکل: ′ 𝐵′ 𝐴 𝐷 2𝑎 + ⇒ ∆O′ 𝐴𝐵~∆𝑂′ 𝐴′ 𝐵′ = 𝐵𝐴 𝑎 هـم چنین مساحتی که روی پرده قـابل دیدن است یا مساحت لکه روشنی که روی پرده ایجاد می شود از رابطه ی زیر به دست می آید. 2 𝑆′ 𝐷 2𝑎 + = S 𝑎 که 𝑆 ′مساحت قابل رؤیت یا مساحت لکه روشن است و Sمساحت آینه می باشد. مهرداد سایه وند 34 مثال :شخصی در فاصله ی 20سانتی متری یک آینه ی تخت دایره ای شکل به قطر 10سانتی متر ایستاده است .و دیواری در فاصله ی یک متری آینه پشت سر اوست .قطر ناحیه ای از دیوار که شخص می تواند ببیند چند سانتی متر است؟ پاسخ 𝐷 2𝑎 + 𝑎 = 𝐴′ 𝐵′ 𝐵𝐴 𝐴′ 𝐵′ 2 × 20 + 80 = =6 10 20 𝑚𝐶𝐴′ 𝐵′ = 60 مهرداد سایه وند 35 مثال :یک نقطه ی نوارانی در فاصله ی 10سانتی متری از یک آینه تخت دایره ای شکل به مساحت 16 سانتی متر مربع قرار دارد .اگر مساحت لکـه روشن ایجاد شده روی دیواری در مقابل آینه 4900سانتی متر مربع باشد ،فاصله ی آینه از دیوار چند سانتی متر است؟ 2 2 𝑆′ 𝐷 2𝑎 + = S 𝑎 4900 𝐷 2 × 10 + = 16 10 از طرفین جذر می گیریم: 𝐷 70 20 + = 4 10 𝑚𝐶700 = 80 + 4𝐷 ⇒ 620 = 4𝐷 ⟹ 𝐷 = 155𝐶𝑚 ⟹ 𝑎 + 𝐷 = 10 + 155 = 165 مهرداد سایه وند 36 مثال :شخصی بین اینه تخت و دیواری ایستاده است ،طوری ک ه فاصله دیوار تا اینه 8برابر فاصله ی شخص تا اینه است .اگر مساحت اینه 400سانتی متر مربع باشد ،مساحت ناحیه ای از دیوار که شخص می تواند روی دیوار ببیند چند متر مربع است؟ با توجه به شکل 𝑎𝐷 = 7 2 𝑆′ 𝐷 2𝑎 + = S 𝑎 𝑆′ 2𝑎 + 7𝑎 2 (= ) 400 𝑎 𝑆′ 9𝑎 2 ) (= 400 𝑎 𝑆 ′ = 81 × 400 = 32400𝑐𝑚2 = 92 𝑆 ′ = 3.24𝑚2 مهرداد سایه وند 𝑆′ 400 37 سرعت نسبی جسم و تصویر در آینه ی تخت: جسم و آینه به ترتیب به اندازه ی 𝑥oو 𝑚𝑥 در یک جهت حرکت می کنند: با توجه به شکل می توان جابه جایی تصویر را به دست آورد ،اگر جابه جایی تصویر را با ∆𝑥Iنشان دهیم ،خواهیم داشت: ∆𝑥I = 2 d − 𝑥o + 𝑥𝑚 + 𝑥o − 2d 𝑜𝑥 ∆𝑥𝐼 = 2𝑥𝑚 − مهرداد سایه وند 38 به طور کلی می توان گفت 𝑜𝑥 ∆𝑥𝐼 = 2𝑥𝑚 − جابه جای ی تصویر 𝑥𝑚 − 𝑥o جابه جایی تصویر نسبت به آینه 2 𝑥𝑚 − 𝑥o جابه جایی تصویر نسبت به جسم مهرداد سایه وند 39 هم چنین درباره ی سرعت تصویر خواهیم داشت: سرعت انتقال تصویر ∆𝑣I = 2𝑣𝑚 − 𝑣o 𝑣𝑚 − 𝑣o سرعت تصویر نسبت به آینه 2 𝑣𝑚 − 𝑣o سرعت تصویر نسبت به جسم مهرداد سایه وند 40 حال اگر مطابق شکل مقابل جسم و آینه به سمت هم حرکت کنند ،خواهیم داشت جابه جایی تصویر و سرعت خواهد شد: 𝑜𝑥 ∆𝑥𝐼 = 2𝑥𝑚 + ∆𝑣I = 2𝑣𝑚 + 𝑣o جابه جایی تصویر سرعت انتقال تصویر 𝑥𝑚 + 𝑥o جابه جایی تصویر نسبت به آینه 𝑣𝑚 + 𝑣o سرعت تصویر نسبت به آینه 2 𝑥𝑚 + 𝑥o 41 2 𝑣𝑚 + 𝑣o جابه جایی تصویر نسبت به جسم سرعت تصویر نسبت به جسم مهرداد سایه وند مثال :14شخصی مقابل یک آینه ی تخت قرار دارد ،اگر شخص و آینه به ترتیب با سرعت های 4و 12متر بر ثانیه در یک جهت حرکت می کنند .سرعت انتقال تصویر چند متر بر ثانیه است؟ پاسخ 𝑠 𝑚 ∆𝑣I = 2𝑣𝑚 − 𝑣o ⟹ ∆𝑣I = 2 × 12 − 4 = 20 مهرداد سایه وند 42 مثال :13شخصی مقابل یک آینه ی تخت ایستاده است .اگر این شخص 6متر از آینه دور شود برای آنکه نزدیک شود نکند ،آینه بایدبه شخص محل تصویر شخص تغییر 3 . .......................... ...............متر وقتی شخص 6متر از آینه دور می شود تصویرش نیز 6متر از آینه دور می شود .از طرفی چون وقتی آینه به اندازه ی xجابه جا می شود تصویر به اندازه ی 2xجابه جا می شود ،پس برای آنکه تصویر به محل اولیه برگردد باید آینه 3متر به شخص نزدیک شود. مهرداد سایه وند 43 مثال :16مطابق شکل جسمی مقابل آینه ی تختی قرار دارد .زاویه ی بین راستای جسم و تصویر چند درجه است؟ پاسخ باید جسم و تصویر را امتداد دهیم تا یکدیگر را قطع کنند .با توجه به اینکه مجموع زوایای داخلی مثلث 180درجه است ،زاویه ی بین راستای جسم و تصویر به دست می آید. دو برابر این زاویه زا ویه ی بین راستای جسم و تصویر می باشد. با توجه به شکل مقابل زاویه ی بین جسم و تصویر 100درجه خواهد شد. مهرداد سایه وند 44 مثال :17در شکل مقابل جسمی مقابل آینه ی تختی قرار دارد .زاویه ی بین راستای جسم و تصویر چند درجه است؟ پاسخ با توجه به توضیحات ارائه شده در پاسخ مثال 16و با عنایت به شکل روبه رو زاویه ی بین راستای جسم و تصویر 190درجه می باشد. مهرداد سایه وند 45 سوال مهم :برای انکه شخصی بتواند تمام قد خود را در اینه ببیند طول اینه باید چه کسری از قد شخص باشد؟ برای انکه شخص بتواند تمام قد خود را در اینه ببیند ،باید پرتوی که از پای او به لبه ی پایین اینه می تابد پس از بازتابش وارد چشم او شود. 𝐴′ 𝐵′ 𝑂𝐴′ ⇒ = 𝐵𝐴 𝐴𝑂 ∆𝑂𝐴𝐵~∆𝑂𝐴′ 𝐵′ پس از آنجا که: 𝐴′ 𝐵′ 𝑂𝐴′ 1 𝐵𝐴 = ′ 𝐵 ′ ⇒ = ⇒ 𝐴 𝐵𝐴 2𝑂𝐴′ 2 2𝑂𝐴′ = 𝐴𝑂 ⇒ 𝐴𝐴′ = 𝑂𝐴′ برای آنکه شخصی بتواند تمام طول قد خود را در آینه ببیند ،طول آینه حداقل باید نصف طول قد شخص باشد. مهرداد سایه وند 46 مثال :در شکل زیر جسمی روی یک سطح شیبدار مقابل اینه ای قرار دارد .زاویه ای که راستای تصئویر با سطح می سازد چند درجه است؟ مهرداد سایه وند 47 اینه های کروی مهرداد سایه وند 48 مهرداد سایه وند 49 اینه های کروی آینه کروی قسمتی از یک کره ی شیشه ای توخالی است که یک طرف آن نقره اندود شده است. اگر قسمت داخلی نقره اندود شده باشد ،قسمت بیرونی سطح بازتابنده است و آینه محدب یا کوژ نامیده می شود .و اگر قسمت بیرونی نقره اندود شود ،سطح داخلی بازتابنده است و به آن آینه مقعر یا کاو می گویند. مهرداد سایه وند 50 اصطالحات مربوط به آینه های کروی: .1مرکز انحنای آینه :مرکز کره ای است که آینه قسمتی از آن است(.)C .2 . شعاع انحنای آینه :شعاع کره ای است که آینه قسمتی از آن است()R .3رأس آینه :به میانی ترین نقطه آینه یا به وسط آینه می گویند(.)P .4محور اصلی آینه :خطی است که مرکز آینه را به رأس آینه وصل می کند. مهرداد سایه وند 51 نون آینه ی مقعر دسته پرتوهای موازی پس از بازتابش از سطح آینه ی مقعر یکدیگر را در نقطه ای به نام کانون قطع می کنند. آینه ی مقعر بی نهایت کانون حقیقی دارد. مهرداد سایه وند 52 ون اصلی آینه مقعر محور اصلی کانون F = R /2 دسته پرتوهای موازی با محور اصلی آینه ی مقعر پس از بازتابش یکدیگر را در نقطه ای روی محور اصلی به نام کانون اصلی قطع می کنند .این نقطه را با F نمایش می دهند. مهرداد سایه وند 53 کانون آینه ی محدب دسته پرتوهای موازی پس از بازتابش از آینه ی محدب از هم دور می شوند ولی امتداد آنها یکدیگر را در نقطه ای پشت آینه به نام کانون قطع می کنند. مهرداد سایه وند 54 ون اصلی آینه ی محدب محور اصلی کانون F=R/2 دسته پرتوهای موازی با محور اصلی آینه ی محدب پس از بازتابش از هم دور می شوند ،ولی امتداد آنها یکدیگر را در نقطه ای روی محور اصلی به نام کانون اصلی قطع می کنند .این نقطه را با حرف Fنمایش می دهند. مهرداد سایه وند 55 فاصله ی کانونی اینه کروی :به فاصله ی بین کانون اصلی آینه تا رأس آینه فاصله ی کانونی می گویند .این فاصله در صـورتی قطر دهانـه ی آینه نسبت به شعاع آن بزرگ باشد ،تقریبا ً نصف شعاع انحنای آینه می باشد. 𝑅 ≅𝑓 2 مهرداد سایه وند 56 رسم پرتوها در اینه مقعر • • پرتوی که موازی محور اصلی آینه مقعر به آن می تابد ،پس از بازتابش از کانون اصلی عبور می کند. C F پرتوی که از کانون اصلی آینه ی مقعر بگذرد و به آن بتابد ،موازی محور اصلی بازتابیده خواهد شد. • C پرتوی که از مرکز انحنای آینه ی مقعر بگذرد و به آن بتابد روی خودش بازتابیده خواهد شد. مهرداد سایه وند F 57 • پرتوی که به راس اینه می تابد با همان زاویه ای که نسبت به محور اصلی تابیده است ،بازتاب خواهد شد. مهرداد سایه وند 58 تصویر در اینه های مقعر مهرداد سایه وند 59 جسم در فاصله ی کانونی است C F مجازی است. ویژگی های تصویر عبارتند از: مستقیم است. بزرگتر از جسم می باشد. پشت آینه است و نسبت به جسم دورتر است. مهرداد سایه وند 60 جسم روی کانون اصلی است C F در این حالت تصویر در بی نهایت است ،یعنی اصالً تصویر تشکیل نخواهد شد که مجازی یا حقیقی باشد. مهرداد سایه وند 61 نک ته: اگر جسمی مقابل آینه ی مقعر از آینه تا کانون اصلی جابه جا شود تصویرش با سرعت بسیار بیشتر از جسم از آینه تا بی نهایت جابه جا می شود و طول تصویر همواره بزرگتر خواهد شد. مهرداد سایه وند 62 مثال :18در شکل مقابل جسم مستطیل شکل MNPQمقابل یک آینه مقعر است .تصویر این جسم چگونه تشکیل خواهد شد؟ پاسخ تصویر QNکه به Fنزدیک تر است دورتر و بزرگتر می باشد .لذا تصویر آن به صورت شکل روبه رو خواهد شد. مهرداد سایه وند 63 جسم بین کانون اصلی و مرکز اینه است C F حقیقی است. ویژگی های تصویر عبارتند از: وارونه است. بزرگتر از جسم می باشد. همان طرف جسم و خارج از مرکز است. مهرداد سایه وند 64 جسم روی مرکز اینه است C F حقیقی است ویژگی های تصویر عبارتند از: وارونه است هم اندازه ی جسم است همان طرف جسم و روی مرکز می باشد مهرداد سایه وند 65 نک ته :اگر جسمی مقابل یک آینه ی مقعر از کانون اصلی تا مرکز آینه جابه جا شود تصویرش با سرعت بسیار بیشتر از جسم از بـی نهایت تا مـرکـز آینه جابه جا خواهد شد و طول تصویر همواره کاهش می یابد. مهرداد سایه وند 66 مثال :19در شکل مقابل جسم مستطیل شکل MNPQمقابل یک آینه مقعر است. تصویر این جسم چگونه تشکیل خواهد شد؟ پاسخ اوالً تصویر جسم حقیقی است و خارج از مرکز تشکیل می شود .در ضمن PNکه به F نزدیک تر است ،تصویرش دورتر و بزرگتر می باشد .لذا تصویرش مطابق شکل مقابل خواهد شد. مهرداد سایه وند 67 جسم خارج از مرکز می باشد C F حقیقی است. ویژگی های تصویر عبارتند از: وارونه می باشد. کوچکتر از جسم است. همان طرف جسم و بین کانون اصلی و مرکز می با مهرداد سایه وند 68 جسم در بی نهایت است از آنجا که پرتوهایی که از بی نهایت می آیند موازیند. C F حقیقی است. ویژگی های تصویر عبارتند از: وارونه می باشد. کوچکتر از جسم است. همان طرف جسم و روی کانون اصلی می باشد. مهرداد سایه وند 69 نک ته :اگر جسمی مقابل یک آینه ی مقعر از مرکز آینه تا بی نهایت جابه جا شود تصویرش با سرعت بسیار کمتر از جسم از مرکز آینه تا کانون اصلی جابه جا می شود و طول تصویر همواره کاهش می یابد. مهرداد سایه وند 70 مثال :18در شکل مقابل جسم مستطیل شکل MNPQمقابل یک آینه مقعر است .تصویر این جسم چگونه تشکیل خواهد شد؟ پاسخ اوالً تصویر این جسم حقیقی است و بین کانون اصلی و مرکز تشکیل می شود ،در ضمن تصویر PQکه دورتر است کوچکتر است و به کانون اصلی نزدیک تر می باشد .لذا تصویر مطابق شکل روبرو خواهد شد. مهرداد سایه وند 71 رسم پرتوها در آینه ی محدب: پرتوی که موازی محور اصلی به آینه ی محدب می تابد، پس از بازتابش امتدادش از کانون اصلی می گذرد. F C پرتوی که امتدادش از کانون اصلی آینه ی محدب می گذرد ،موازی محور اصلی بازتابیده خواهد شد. مهرداد سایه وند 72 پرتوی که امتدادش از مرکز اینه ی محدب می گذرد، روی خودش بازتابیده می شود. F پرتوی که به راس اینه ی محدب می تابد با همان زاویه ای که نسبت به محور اصلی تابیده است بازتاب خواهد شد. C F مهرداد سایه وند C 73 تصویر در آینه محدب C F مجازی است. ویژگی های تصویردر آینه ی محدب عبارتند از: مستقیم می باشد. کوچکتر از جسم است. پشت آینه است و در فاصله ی کانونی می باشد. مهرداد سایه وند 74 نکته :اگر جسمی مقابل آینه ی محدب از آینه تا بی نهایت جابه جا شود ،تصویرش با سرعت بسیار کم تر از جسم از آینه تا کانون اصلی جا به جا می شود و طول تصویر همواره کوچکتر خواهد شد. مهرداد سایه وند 75 مثال :در شکل مقابل جسم مستطیل شکل MNPQمقابل یک اینه محدب است .تصویر این جسم چگونه تشکیل خواهد شد؟ پاسخ اوالً تصـویــر مجـازی و مستقیـم است، در ضمن PQکه دورتر است ،تصویرش کوچکتر و به Fنزدیک تر می باشد. مهرداد سایه وند 76 فرمول آینه ها: اگر فاصله ی کانونی آینه را با ،fفاصله ی جسم تا آینه را با Pو فاصله ی تصویر تا آینه را با qنمایش دهیم ،رابطه ی زیر بین آنها برقرار است: 1 1 1 = + f p q مهرداد سایه وند 77 قرداد حاکم بر رابطه ی آینه ها عبارت است از: اگر آینه مقعر باشد 𝑓>0 عالمت f اگر آینه محدب باشد 𝑓<0 عالمت Pدر حد کتاب دبیرستان همواره مثبت است. عالمت q اگر تصویر حقیقی باشد اگر تصویر مجازی باشد مهرداد سایه وند 𝑞>0 𝑞<0 78 بزرگنمای ی خطی: عبارت است از نسبت طول تصویر به طول جسم. ′ ′ 𝐵𝐴 𝑞 =𝑀 = 𝐵𝐴 𝑝 در رابطه ی بزرگنمای ی عالمت قرار نمی دهیم. مهرداد سایه وند 79 اینه مقعر و تصویر حقیقی است 𝑃>0 𝑓>0 𝑞>0 1 1 1 = + 𝑞+𝑓 +𝑝 + 𝑞𝑝 =𝑓 𝑝𝑞+ ن رابطه را می توان بر حسب بزرگنمایی بازنویسی کرد 𝑝𝑀 × 𝑝 𝑝𝑀 × 𝑝 =𝑓 = )𝑀𝑝 + 𝑝 𝑝(𝑀 + 1 𝑝1 𝑞+ = 𝑓 𝑞𝑝 𝑞 =𝑀 𝑝 𝑝𝑀 = 𝑞 𝑝𝑀 =𝑓 𝑀+1 مهرداد سایه وند 80 اینه مقعر و تصویر مجازی است 𝑃>0 𝑓>0 1 1 1 = + 𝑞+𝑓 +𝑝 − 𝑞<0 𝑞𝑝 =𝑓 𝑝𝑞− 𝑝1 𝑞− = 𝑓 𝑞𝑝 و بر حسب یزرگنمایی خواهد شد 𝑝𝑀 =𝑓 𝑀−1 𝑝𝑀 × 𝑝 𝑝𝑀 × 𝑝 =𝑓 = 𝑀𝑝 − 𝑝 𝑝 𝑀 − 1 مهرداد سایه وند 𝑝𝑀 = 𝑞 81 اینه محدب است 𝑃>0 𝑓<0 𝑞<0 1 1 1 = − 𝑞 𝑝 𝑓− 𝑞1 𝑝− = 𝑓 𝑞𝑝 𝑞𝑝 =𝑓 𝑞𝑝− 𝑝1 𝑞− = − 𝑓 𝑞𝑝 و بر حسب بزرگنمایی خواهیم داشت 𝑝𝑀 × 𝑝 =𝑓 𝑀𝑝 1− 𝑝𝑀 × 𝑝 =𝑓 𝑝𝑀 𝑝 − 𝑝𝑀 = 𝑞 𝑝𝑀 =𝑓 𝑀1− مهرداد سایه وند 82 مثال :آینه ی کاوی را مقابل نور خورشید گرفته ایم و آینه نور خورشید را در 15سانتی متری خود متمرکز کرده است .اگر جسمی را در فاصله ی 10سانتی متری آینه قرار دهیم ،تصویر آن در چه فاصله ای از آینه تشکیل خواهد شد. پاسخ از آنجا که آینه نور خورشید را 15سانتی متری خود متمرکز کرده است پس فاصله ی کانونی آینه 15سانتی متر است .و چون فاصله ی جسم تا آینه 10سانتی متر است ،لذا جسم در فاصله ی کانونی است و تصویر مجازی می باشد .بنابراین: 𝑞𝑝 𝑞 × 10 =𝑓 = ⇒ 15 𝑞⇒ 15𝑞 − 150 = 10 𝑝𝑞− 𝑞 − 10 150 = 𝑞 ⇒ 5𝑞 = 150 𝑚𝐶⇒ 𝑞 = 30 5 مهرداد سایه وند 83 مثال :جسمی مقابل یک آینه ی کروی با شعاع انحنای 40سانتی متر قرار دارد .آینه از این جسم تصویر 1 مستقیمی داده است که طولش 3طول جسم است .فاصله ی جسم تا آینه چند سانتی متر می باشد؟ پاسخ از آنجا که تصویر مستقیم است پس مجازی نیز می باشد ،و چون طول تصویر یعنی تصویر کوچکتر از جسم می باشد پس آینه محدب است. 1 3 طول جسم است 𝑅 40 =𝑓⇒ 𝑚𝐶= 20 2 2 =𝑓 1 1 𝑝 𝑝 𝑝𝑀 3 3 =𝑓 = ⇒ 20 = ⇒ 20 𝑚𝐶⇒ 𝑝 = 40 1 2 𝑀1− 1−3 3 مهرداد سایه وند 84 مثال :جسمی به اندازه ی aدورتر از کانون اصلی اینه ی مقعری قرار دارد و تصویرش نیز به اندازه ی 𝑎′دورتر از کانون اصلی تشکیل شده است .اگر فاصله ی کانونی اینه fباشد چه رابطه ای بین fو aو 𝑎′وجود دارد؟ پاسخ از آنجا که جسم دورتر از فاصله ی کانونی آینه ی مقعر است پس حقیقی می باشد. 𝑞𝑝 𝑝𝑞+ 𝑓 + 𝑎 𝑓 + 𝑎′ =𝑓 𝑓 + 𝑎 + 𝑓 + 𝑎′ =𝑓 𝑎𝑝=𝑓+ 𝑞 = 𝑓 + 𝑎′ 𝑓 2 + 𝑓𝑎′ + 𝑓𝑎 + 𝑎𝑎′ =𝑓 2𝑓 + 𝑎 + 𝑎′ 2𝑓 2 + 𝑓𝑎 + 𝑓𝑎′ = 𝑓 2 + 𝑓𝑎′ + 𝑓𝑎 + 𝑎𝑎′ 𝑓 = 𝑎𝑎′ یا 𝑓 2 = 𝑎𝑎′ مهرداد سایه وند 85 صرفنظر از نوع اینه و تصویر اگر فاصله ی جسم تا کانون اصلی 𝑎 و فاصله ی تصویر تا کانون اصلی 𝑎′باشد: 𝑓 = 𝑎𝑎′ مهرداد سایه وند 86 مثال :جسمی 20سانتی متر دور از کانون اصلی آینه ی مقعری قرار دارد و تصویرش 45سانتی متر دورتر از کانون اصلی تشکیل شده است .شعاع انحنای آینه چند سانتی متر است؟ پاسخ 𝑚𝐶𝑓 = 𝑎𝑎′ ⇒ 𝑓 = 20 × 45 = 900 = 30 𝑚𝐶𝑅 = 2𝑓 ⇒ 𝑅 = 2 × 30 = 60 مهرداد سایه وند 87 فاصله ی جسم و تصویر در آینه های کروی: اگر تصویر مجازی باشد 𝑞 ∆= 𝑝 + وقتی 𝑀 > 1 𝑝 ∆= 𝑞 − اگر تصویر حقیقی باشد وقتی 𝑀 < 1 ′ 𝑞 ∆= 𝑝 − 𝑎 ∆= 𝑎 − مهرداد سایه وند 88 مهرداد سایه وند 89 مهرداد سایه وند 90 وای خدای من چی؟!!!!! یه F=maدیگه؟ نه!!!!!!!! بعععععله!!!!! بیا تا نشونت بدم مهرداد سایه وند 91 به عنوان مثال در یک اینه محدب ،اگر فاصله ی جسم تا کانون اصلی 𝑎 و فاصله ی تصویر تا کانون اصلی 𝑎′باشد: 𝑓𝑎 =𝑝+ و 𝑞 𝑎′ = 𝑓 − و از طرفی 𝑓 2 = 𝑎𝑎′ 𝑓2 )𝑓 𝑓(𝑎 − 𝑎 𝑓− 𝑎 =𝑀 =𝑀⇒ 𝑓𝑎− 𝑓𝑎− 𝑎𝑀 = 𝐹 2 𝑓 = 𝑎′ 𝑎 یا می توان به دست اورد حاال دیدی اینم یه F=Ma دیگه مهرداد سایه وند 𝑞 𝑓 − 𝑎′ =𝑀 ⇒ =𝑀 𝑃 𝑓𝑎− و لذا: 𝑓 𝑎 فاصله کانونی فاصله جسم از کانوند اصلی =𝑀 =بزرگنمای ی 92 یا می توان نوشت: 𝑓 − 𝑎′ 𝑓 − 𝑎′ 𝑀= 2 = 𝑓 − 𝑎′ 𝑓 𝑓 𝑎′ 𝑓 𝑎′ − 𝑎′ =𝑀 𝑓 مهرداد سایه وند 𝑓2 𝑎= ′ 𝑎 𝑓 − 𝑎′ =𝑀 𝑓𝑎− 1 =𝑀 ⟹ 𝑓 𝑎′ 93 هم چنین می توان نوشت: 𝑓 𝑓𝑀 − 𝑀 𝑓 𝑓𝑀= 𝑎= ,𝑎′ 𝑀 − 𝑎′ =∆ 𝑎 =∆ و بنابراین و یا فاصله جسم از تصویر ) 𝑓(1 − 𝑀2 =∆ 𝑀 بزرگنمای ی ∆𝑀 =𝑓 1 − 𝑀2 مهرداد سایه وند 94 مثال :29در یک آینه ی محدب فاصله ی جسم و تصویر 60سانتی متر است .اگر طول جسم 3 برابر طول تصویر باشد ،شعاع انحنای آینه چند سانتی متر است؟ پاسخ 𝑞 + 3𝑞 = 60 𝑞𝑝=3 𝑚𝐶4𝑞 = 60 ⇒ 𝑞 = 15 15 𝑞 + 𝑝 = 60 𝑞 1 = =𝑀 𝑝 3 𝑝𝑀 =𝑓 𝑀1− 15 45 =𝑓 = = 𝑚𝐶= 22.5 1 2 2 1− 3 3 𝑚𝐶𝑅 = 2𝑓 ⇒ 𝑅 = 2 × 22.5 = 45 𝑞=𝑝𝑀 راه دوم 1 × 60 3 =𝑓 𝑚𝐶= 22.5 1 1−9 ∆𝑀 1 − 𝑀2 مهرداد سایه وند =𝑓 95 مثال :یک آینه ی کروی از جسمی که مقابل آن است تصویری حقیقی داده است که طولش 5برابر طول جسم است و فاصله اش از جسم 30سانتی متر می باشد .فاصله ی کانونی آینه چند سانتی متر است؟ پاسخ 15 =𝑝⇒ 𝑚𝐶 2 ⇒ 4𝑝 = 30 75 𝑚𝐶= 6.25 12 =𝑓⇒ 5𝑝 − 𝑝 = 30 𝑝𝑞=5 15 5× 2 =𝑓⇒ 5+1 𝑞 − 𝑝 = 30 M=5 𝑝𝑀 =𝑓 𝑀+1 اما راه دوم ∆𝑀 5 × 30 150 =𝑓 =𝑓⇒ = 𝑚𝐶= 6.25 1 − 𝑀2 25 − 1 24 مهرداد سایه وند 96 مثال :جسمی مقابل اینه ی محدبی قرار دارد و فاصله ی جسم از تصویر f 15 4 شده است .طول جسم چند برابر طول تصویر است؟ پاسخ 15 𝑀 4 15 𝑓 𝑀× 4 =𝑓 1 − 𝑀2 ∆𝑀 =𝑓 1 − 𝑀2 = 1 − 𝑀2 1 =0 4 𝐵𝐴 =4 𝐴′ 𝐵 ′ 𝑀− 𝑀+4 15 𝑀−1=0 4 غ ق ق 𝑀 + 4 = 0 ⟹ 𝑀 = −4 1 1 =𝑀⇒𝑀− =0 4 4 مهرداد سایه وند 97 𝑀2 + در اینه مقعر اگر جسم را به محل تصویر حقیقی ان منتقل نماییم ،تصویر به محلی که قبال جسم 1 قرار داشته منتقل می شود و بزرگنمای ی تصویر در حالت جدید حالت قبل خواهد شد .ای ن نقاط 𝑀 را نقاط مزدوج می گویند .فاصله ی نقاط مزدوج همان فاصله ی جسم از تصویر یعنی ∆ است. مهرداد سایه وند 98 مهرداد سایه وند 99 مثال :جسمی مقابل یک اینه ی مقعر قرار دارد .و اینه از ان تصویر واضحی روی پرده داده است .اگر جسم را 80سانتی متر به اینه نزدیک کنیم طول تصویر واضحی که دوباره روی پرده تشکیل می شود 9 ،برابر طول تصویر اولیه است .شعاع انحنای اینه چند سانتی متر است. پاسخ چون وقتی جسم را به اینه نزدیک کرده ایم دوباره تصویر واضحی روی پرده تشکیل شده است ،پس در حالت اول حارج از مرکز بوده است .و در حالت دوم جسم بین کانون و مرکز است .و چون طول تصویر جدید 9برابر طول تصویر قبلی است پس بزرگنمای ی در حالت اول یک سوم بوده است ..از طرفی 80سانتی متر فاصله ی نقاط مزدوج یعنی ∆ است. 1 1 × 80 × 80 3 3 =𝑓 = 1 1 2 1 − 1− 3 9 𝑚𝐶𝑅 = 2𝑓 = 60 مهرداد سایه وند ∆𝑀 =𝑓 1 − 𝑀2 1 × 80 3 =𝑓 𝑚𝐶= 30 8 9 100 مثال :جسمی مقابل اینه ی مقعری قرار دارد و اینه تصویر واضحی از جسم روی پرده داده است و اگر جسم را 𝑚 1.2از اینه دور کنیم باز هم تصویر واضحی روی پرده تشکیل می شود 1 که طول ان 25 طول تصویر است .شعاع انحنای اینه چند سانتی متر است؟ پاسخ چون تصویر دوم کوچک تر از تصویر اول است لذا جسم در حالت اول بین کانون و مرکز بوده و چون طول تصویر دوم 1طول تصویر اول است ،بزرگنمای ی در حالت اول 5بوده استً . ضمنا فاصله ی نقاط مزدوج همان ∆ می 25 باشد. 5 × 120 5 × 120 𝑓= 2 = 𝑚𝐶 = 25 5 −1 24 ∆𝑀 =𝑓 1 − 𝑀2 𝑚𝐶 𝑅 = 2𝑓 = 2 × 25 = 50 مهرداد سایه وند 101 مثال :یک اینه ی مقعر از جسمی که مقابل ان است تصویر واضحی روی پرده داده است اگر جسم را 90سانتی متر ب ه اینه نزدیک کنیم ط ول تصویر یک نهم طول تصویر قبلی می شود .فاصله ی کانونی اینه چند است؟ پاسخ با توجه به نک ته گ فته شدده بزرگنمای ی اینه در حالت دوم 1 3 بوده است. 1 × 90 ∆𝑀 30 270 3 =𝑓 ⇒ 𝑓 = ⇒ 𝑓 = = 𝑚𝑐= 33.75 1 8 1 − 𝑀2 8 1−9 9 مهرداد سایه وند 102 مثال :جسمی را یک بار در فاصله ی 4fیک آینه ی مقعر و بار دیگر در همان فاصله از یک آینه ی محدب قرار می گیرد .اگر فاصله ی کانونی هر دو آینه fباشد ،طول تصویر در آینه ی مقعر چند برابر طول تصویر در آینه ی محدب است؟ پاسخ در آینه ی مقعر چون جسم خارج از فاصله ی کانونی است پس حقیقی می باشد: 3𝑀 = 1 𝑀𝑀 + 1 = 4 1 3 و برای آینه ی محدب 5𝑀′ = 1 𝑓𝑀 × 4 𝑀+1 =𝑀 𝑀′ 𝑓× 4 1 − 𝑀′ 1 − 𝑀′ = 4𝑀′ 1 5 =𝑓 𝑝𝑀 𝑀+1 =𝑓 =𝑓 𝑝 𝑀′ 1 − 𝑀′ =𝑓 = 𝑀′ و لذا مهرداد سایه وند 1 M 5 3 = = M′ 1 3 5 103 مثال :25آینه ی محدبی از جسمی که مقابل آن است ،تصویری داده است که طولش جسم را 20سانتی متر به آینه نزدیک کنیم طول تصویر سانتی متر است؟ پاسخ 𝑝 4 =𝑓 1 𝑝 5 =𝑓 4 5 1 3 1 5 طول جسم است .اگر طول تصویر خواهد شد .شعاع انحنای آینه چند 1 𝑝 5 =𝑓 1 1− 5 𝑝𝑀 𝑀1− =𝑓 𝑓𝑝 = 4 حال اگر جسم را 20سانتی متر به آینه نزدیک کنیم ،یعنی فاصله ی جسم تا آینه 20سانتی متر کم 1 1 شود ،بزرگنمایی از به افزایش خواهد یافت .پس 3 5 1 )(𝑝 − 20) (𝑝 − 20 3 2𝑓 = 𝑝 − 20 =𝑓 = 2 2 3 𝑚𝐶2𝑓 = 4𝑓 − 20 → 2𝑓 = 20 → 𝑅 = 20 مهرداد سایه وند 1 )(𝑝 − 20 3 =𝑓 1 1−3 104 مثال :جسمی مقابل یک آینه مقعر قرار دارد و طول تصویر آن 3برابر طول جسم است .اگر جسم را 10 سانتی متر به آینه نزدیک نماییم ،طول تصویر 5برابر طول جسم خواهد شد .فاصله ی کانونی آینه چند سانتی متر است؟ پاسخ از آنجا که تصویر بزرگتر از جسم است پس جسم یا در فاصله ی کانونی می باشد و یا بین کانون و مرکز است .اما چون با نزدیک شدن جسم به آینه تصویر بزرگتر شده است لذا جسم بین کانون و مرکز بوده که با نزدیک شدن به آینه به کانون اصلی نزدیک و تصویر بزرگتر شده است .بنابراین تصویر حقیقی می باشد. 𝑝𝑀 𝑝3 𝑝3 4 =𝑓→ = 𝑓 =𝑝→ 𝑀+1 3+1 4 3 اما اگر جسم را 10سانتی متر به آینه نزدیک کنیم ،بزرگنمایی 5خواهد شد. =𝑓 )5(𝑝 − 10) 5(𝑝 − 10 =𝑓 = → 6𝑓 = 5𝑝 − 50 5+1 6 پس 4 20 2 𝑓 − 50 → 6𝑓 − 𝑚𝐶𝑓 = −50 → 𝑓 = 50 → 𝑓 = 75 3 3 3 مهرداد سایه وند 6𝑓 = 5 105 مثال :جسمی به طول 24سانتی متر در فاصله ی 5fاز یک آینه کاو (مقعر) با فاصله ی کانونی fقرار دارد .طول تصویر این جسم در آینه چند سانتی متر می باشد؟ پاسخ چون جسم خارج از فاصله ی کانونی است ،پس تصویر آن حقیقی می باشد ،لذا: 𝑀𝑀 + 1 = 5 𝑓𝑀 × 5 =𝑓 𝑀+1 𝑝𝑀 𝑀+1 =𝑓 1 4M=1 → 𝑀 = 4 بنابراین 24 𝑚𝐶= 6 4 = 𝐴′ 𝐵′ 1 𝐴′ 𝐵′ = 4 24 مهرداد سایه وند 𝐴′ 𝐵′ =𝑀 𝐵𝐴 106 مثال :در شکل زیر فاصله ی آینه های مقعر و محدب که فاصله ی کانونی آنها به ترتیب است ،چقدر باشد تا پرتو Iروی خودش بازتابیده شود؟ 𝑓1و 𝑓2 پاسخ پرتوی که موازی محور اصلی به آینه ی مقعر می تابد پس از بازتابش از کانون اصلی آن می گذرد ،و برای آنکه پس از تابیدن به آینه محدب روی خودش بازتاب شود بایدامتدادش از مرکز آینه ی محدب عبور نماید .لذا با توجه به شکل فاصله ی دو آینه 𝑓1 − 2𝑓2خواهد شد. مهرداد سایه وند 107 سربلند مهرداد سایه وند 108