Transcript 1 *-1 - Math

‫منطقة العاصمة التعليمية‬
‫التوجيه الفني للرياضيات‬
‫ثانوية يوسف بن عيسى‬
‫‪2‬‬
‫مدير المدرسة‬
‫األستاذ ‪ :‬غسان‬
‫المصيبيح‬
‫الموجهة الفنية‬
‫األولى‬
‫األستاذة ‪ :‬حصة‬
‫العلي‬
‫إعداد ‪:‬‬
‫قسم الرياضيات‬
‫الموجه الفني‬
‫األستاذ ‪ :‬مجدي دراز‬
‫رئيس القسم‬
‫األستاذ‬
‫سهيل الجراد‬
‫مشروع الوحدة‬
‫‪:‬‬
‫ما هي افضل طريقة إليجاد وظيفة ؟‬
‫؟‬
‫مشروع الوحدة ما هي افضل طريقة اليجاد وظيفة ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫مقدمة المشروع ‪ :‬بعد التخرج يواجه الحاصلون على االجازات‬
‫والشهادات الجامعية تحد جديد هو االنخراط في سوق العمل‬
‫‪2‬‬
‫الهدف ‪ :‬هو البحث عن فرص عمل من خالل القيام بعدة خطوات‬
‫ومحاوالت متنوعة واستخدام العديد من الوسائل‬
‫‪3‬‬
‫اللوازم ‪ :‬حاسوب ‪ ,‬شبكة االنترنت‬
‫‪4‬‬
‫اسئلة حول التطبيق ‪:‬‬
‫‪ a‬كيف ستختار عينة من الموظفين لالستفسار عن الوسيلة التي‬
‫استخدموها للحصول على وظيفة‬
‫‪ b‬ما الخيارات التي اكتشفتها ؟ نظمها في استمارة ‪.‬‬
‫تم سؤال عينة مكونة من ‪ 500‬موظف تم اختيارهم بتوزيع‬
‫استبيان ومن خالل برامج التواصل االجتماعي وكانت النتائج‬
‫كالتالي ‪:‬‬
‫الرقم‬
‫الطريقة التي تم من خاللها الحصول على عمل‬
‫النسبة‬
‫المئوية‬
‫‪1‬‬
‫من خالل االصدقاء والمعارف‬
‫‪12%‬‬
‫‪2‬‬
‫من خالل االعالنات في الصحف والمجالت‬
‫‪20%‬‬
‫‪3‬‬
‫من خالل الوكاالت الرابطة بين سوق العمل وطالبي‬
‫الوظائف‬
‫من خالل البحث عبر شركة االنترنت‬
‫‪26%‬‬
‫‪5‬‬
‫من خالل التقدم مباشرة لطلب عمل من الشركة‬
‫المختصة‬
‫‪4‬‬
‫‪37%‬‬
‫‪5%‬‬
‫االهداف السلوكية‬
‫يتعرف على‬
‫التقدير بنقطة‬
‫ايجاد التقدير بفترة‬
‫الثقة‬
‫ايجاد هامش الخطأ‬
‫التقدير‬
‫المصطلحات االساسية‬
‫المصطلحات االساسية‬
‫التمهيد‬
‫المعلمة ‪ ,‬االحصاءة ‪ ,‬التقدير ‪,‬‬
‫التقدير بنقطة ‪ ,‬فترة الثقة‬
‫التدريس‬
‫مستوى المعنوية ‪ ,‬درجة الثقة‬
‫هامش الخطأ ‪ ,‬القيمة الحرجة‬
‫الحصة‬
‫االهــــــــــــــــــــداف‬
‫التطبيق‬
‫االولى‬
‫يتعرف المعلمة ‪ ,‬االحصاءة‬
‫يقدر المعلمة‬
‫يتعرف التقدير بنقطة وبفترة الثقة‬
‫يتعرف التوزيع الطبيعي ويوجد القيمة الحرجة‬
‫حاول ان تحل ‪ 1‬ص ‪171‬‬
‫كراس التمارين ‪ 1‬صفحة ‪71‬‬
‫الثانية‬
‫يوجد هامش الخطأ‬
‫يقدر فترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع‬
‫اذا كان تباينه معلوم‬
‫يوجد فترة الثقة اذا كان تباين المجتمع غير‬
‫معلوم وحجم العينة كبيرا‬
‫حاول ان تحل ‪ 2‬ص ‪173‬‬
‫حاول ان تحل ‪ 3‬ص ‪174‬‬
‫كراس التمارين ‪ 4‬ص ‪71‬‬
‫الثالثة‬
‫يتعرف خواص توزيع‬
‫حاول ان تحل ‪ 4‬صفحة ‪176‬‬
‫يوجد هامش الخطأ‬
‫و يوجد فترة الثقة اذا كان تباين المجتمع غير كراس التمارين ‪ 7‬صفحة ‪72‬‬
‫معلوم وحجم العينة صغيرا‬
‫‪t‬‬
‫‪10‬‬
11
‫سبق لنا في الصف الحادي عشر تعريف المجتمع االحصائي‬
‫والعينة العشوائية واالسباب التي تؤدي الى اخذ العينات لدراسة‬
‫المجتمع بدال من الحصر الشامل ‪ ,‬وذلك لتقدير ‪:‬‬
‫المتوسط ( الوسط ) الحسابي للمجتمع 𝝁‬
‫او االنحراف المعياري له 𝝈‬
‫ويعتبر الوسط الحسابي للمجتمع 𝝁 واالنحراف المعياري‬
‫للمجتمع 𝝈 من معالم المجتمع ‪ ,‬وعادة ما تكون هذه المعالم‬
‫مجهولة ‪.‬‬
‫ولتقدير هذه المعالم نلجأ الى سحب عينه عشوائية منه ‪ ,‬ثم‬
‫نحسب المتوسط الحسابي للعينه 𝒙 او االنحراف المعياري 𝑺‬
‫والذي يعتمد على معالم المجتمع‬
‫المعلمة‬
‫)‪(Parameter‬‬
‫‪ :‬هي ثابت يصف المجتمع او يصف توزيع المجتمع كالمتوسط‬
‫الحسابي 𝝁 او االنحراف المعياري 𝝈 ‪.‬‬
‫االحصاءة‬
‫هو اقتران تتعين قيمته من العينة كالمتوسط الحسابي 𝒙‬
‫او االنحراف المعياري 𝑺‬
‫) ‪(Statistic Function‬‬
‫تقدير المعلمة ) ‪( Parameter Estimation‬‬
‫هو احصاءة تعتمد على قيم العينة وتعكس قيمة قريبة لمعلمة‬
‫المجتمع ككل وتوزيعه ‪.‬‬
‫التقدير بنقطة هي قيمة وحيدة محسوبة من العينة تستخدم لتقدير‬
‫معلمة مجهولة من معالم المجتمع‬
‫فمثال المتوسط الحسابي للعينة العشوائية 𝒙 يستخدم كتقدير بنقطة‬
‫للمتوسط الحسابي للمجتمع 𝝁 ‪ ,‬وكذلك االنحراف المعياري للعينة 𝑺‬
‫يستخدم كتقدير بنقطة لالنحراف المعياري للمجتمع 𝝈‬
‫علمنا مما سبق ان لكل مجتمع معالم منها المتوسط الحسابي 𝝁‬
‫واالنحراف المعياري 𝝈‬
‫ودرسنا كيفية ايجاد التقدير بنقطة لتلك المعالم ‪ ,‬وعلمنا ان التقدير‬
‫بنقطة إلحدى معالم المجتمع هو قيمة وحيدة محسوبة من العينة ‪,‬‬
‫ولذلك فان احتمال الخطأ في التقدير بنقطة يكون كبيرا‬
‫وبناء عليه فانه من االفضل ايجاد فترة معينة يتوقع ان تقع معلمة المجتمع‬
‫داخلها بنسبة معينة او باحتمال معين ‪ ,‬ان مثل هذه الفترة تسمى فترة الثقة‬
‫هي فترة طرفاها متغيران عشوائيان(اي انها فترة عشوائية) تحوي‬
‫احدى معالم المجتمع بنسبة معينة تسمى درجة الثقة(مستوى الثقة)‬
‫التقدير بفترة الثقة‬
‫هو ايجاد فترة معينة يتوقع ان تقع معلمة المجتمع داخلها‬
‫بنسبة معينة او احتمال معين ‪..‬‬
‫ان درجة الثقة او مستوى الثقة هو احتمال 𝜶 ‪ 𝟏 −‬ان تكون فترة الثقة تحوي‬
‫القيمة الحقيقية لمعلمة المجتمع قيد الدراسة وعادة ما يعبر عنها كنسبة مئوية ‪.‬‬
‫اما 𝜶 فهي نسبة الخطأ في التقدير وتسمى مستوى المعنوية او مستوى الداللة‬
‫فمثال ‪:‬‬
‫إذا كانت ‪α = 0.05‬‬
‫حينها تكون درجة‬
‫الثقة ‪1 – α =0.95‬‬
‫أي ‪95%‬‬
‫إذا كان مستوى الثقة‬
‫‪ 90%‬فإن مستوى‬
‫المعنوية ‪α =10%‬‬
‫وإذا كان مستوى الثقة‬
‫‪ 99%‬فإن مستوى‬
‫المعنوية ‪α = 1%‬‬
‫ومن هذه الخيارات الثالثة يعتبر مستو الثقة ‪ 𝟗𝟓%‬هو االكثر انتشارا‬
‫النه يؤمن التوزان األنسب بين الدقة الموضحة من خالل طول فترة الثقة والدقة الموضحة‬
‫من خالل مستوى الثقة‬
‫التوزيع الطبيعي‬
‫خواص التوزيع الطبيعي‬
‫المتوسط الحسابي = الوسيط = المنوال‬
‫يكون بيان المنحني على شكل ناقوس (جرس) متماثل حول محوره ) ‪( 𝒙 = µ‬‬
‫يمتد المنحني من طرفيه الى ∞‪ +‬وإلى ∞‪(−‬ال يقطع المحور االفقي)‬
‫المساحة تحت المنحني تساوي الواحد الصحيح ( وحدة المساحة)‬
‫المستقيم الراسي ‪ x = µ‬يقسم المساحة‬
‫تحت المنحني الى منطقتين متماثلتين‬
‫مساحة كل منهما تساوي نصف وحدة‬
‫المساحة‪.‬‬
‫التوزيع الطبيعي‬
‫منحنى التوزيع الطبيعي المعياري‬
‫اذا كان المتوسط الحسابي‬
‫للتوزيع الطبيعي‬
‫𝟎= ‪µ‬‬
‫واالنحراف المعياري‬
‫𝟏=𝝈‬
‫يسمى التوزيع الطبيعي‬
‫بالتوزيع الطبيعي المعياري‬
‫الشكل يمثل بيان منحنى التوزيع الطبيعي المعياري المستقيم 𝟎 = 𝒁 محور تماثل للمنحنى‪.‬‬
‫تأخذ 𝒁 قيما موجبة وتزداد جهة اليمين بينما تأخذ 𝒁 قيما سالبة وتنقص جهة اليسار‬
‫الشكل المرسوم جانبا يبين منحني التوزيع الطبيعي المعياري‪.‬‬
‫القيمة‬
‫الحرجة‬
‫نعلم أن مساحة المنطقة تحت منحنى التوزيع الطبيعي‬
‫المعياري تساوي الواحد ( وحدة مساحة ) والمحور‬
‫الرأسي يقسم المنطقة تحت المنحنى إلى قسمين‬
‫متساويين مساحة كل منهما نصف وحدة مساحة‬
‫ومجموع مساحتي الجزئيين‬
‫األحمر معا ً تساوي 𝜶 باللون‬
‫𝜶‬
‫تساوي‬
‫منهما‬
‫جزء‬
‫كل‬
‫مساحة‬
‫وتكون‬
‫𝟐‬
‫وعليه تكون مساحة كل من الجزئين باللون‬
‫األخضر على جانبي المحور الراسي‬
‫𝜶‪𝟏−‬‬
‫𝟐‬
‫𝜶‬
‫𝟐‬
‫= ‪−‬‬
‫𝟏‬
‫𝟐‬
‫نعبر عن الحدين الرأسيين بالرمز 𝜶𝒁 وبالرمز 𝜶𝒁 ‪-‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝜶‬
‫‪,‬حيث 𝜶𝒁 يفصل المنطقة التي مساحتها من ذيل الطرف األيمن عن المنطقة‬
‫𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝒂 ‪𝟏 −‬‬
‫من المستقيم 𝝄 = 𝚭 ‪،‬‬
‫التي مساحتها‬
‫𝟐‬
‫𝜶‬
‫‪ −𝒁𝜶 ,‬يفصل المنطقة التي مساحتها من ذيل الطرف األيسر عن المنطقة‬
‫𝟐‬
‫𝟐‬
‫التي مساحتها‬
‫الحظ ان ‪:‬‬
‫𝒂‬
‫‪−‬‬
‫𝟐‬
‫𝟏‬
‫من المستقيم 𝝄 = 𝚭 ‪،‬‬
‫𝜶‪, −𝒁𝜶 = −𝒁𝟏−‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝜶‪𝒁𝜶 = 𝒁𝟏−‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐‬
‫مثال ( ‪:)1‬‬
‫الحل‬
‫أوجد القيمة الحرجة ‪ Zα‬المناظرة لمستوى الثقة ‪95%‬باستخدام جدول‬
‫‪2‬‬
‫التوزيع الطبيعي المعياري‪.‬‬
‫مستوى الثقة هو ‪95%‬‬
‫𝟓𝟗 ‪∴ 𝟏 − 𝜶 = 𝟎.‬‬
‫𝜶‪𝟏−‬‬
‫𝟎𝟓𝟕𝟒 ‪= 𝟎.‬‬
‫𝟐‬
‫نبحث في جدول التوزيع الطبيعي المعياري‬
‫عن ‪0.4750‬‬
‫فنجدها في التقاطع‬
‫)األفقي ‪/‬العمودي( على الترتيب‬
‫‪0.06 , 1.9‬‬
‫وبالتالي القيمة الحرجة هي ‪:‬‬
‫𝟔𝟗 ‪𝒁𝜶 = 𝟏. 𝟗 + 𝟎. 𝟎𝟔 = 𝟏.‬‬
‫𝟐‬
‫أوجد القيمة الحرجة ‪ Zα‬المناظرة لمستوى الثقة ‪97%‬باستخدام جدول‬
‫‪2‬‬
‫التوزيع الطبيعي المعياري‪.‬‬
‫الــحــــل‬
‫مستوى الثقة هو ‪97%‬‬
‫‪1-α‬‬
‫‪1- α = 0.97 ,‬‬
‫‪= 0.485‬‬
‫‪2‬‬
‫نبحث في جدول التوزيع الطبيعي المعياري‬
‫عن ‪0.4850‬فنجدها في التقاطع‬
‫)األفقي ‪/‬العمودي( على الترتيب‬
‫‪0.07 , 2.1‬‬
‫وبالتالي القيمة الحرجة هي ‪:‬‬
‫‪Zá = 2.1 + 0.07 = 2.17‬‬
‫‪2‬‬
‫هامش الخطأ‬
‫‪Margin of error‬‬
‫اوال ‪ :‬الخطأ بالتقدير بالنقطة‬
‫علمنا فيما سبق انه يمكن استخدام المتوسط الحسابي للعينة‬
‫‪X‬‬
‫كتقدير‬
‫بنقطة للمتوسط الحسابي ‪ µ‬ومن المتوقع ان تكوت قيمة المتوسط الحسابي‬
‫للعينة‬
‫‪X‬‬
‫غير مساوية لقيمة المتوسط الحسابي للمجتمع ‪µ‬‬
‫تسمى القيمة المطلقة للفرق بين القيمتين السابقتين بالخطأ المعياري‬
‫𝝈‬
‫وتساوي‬
‫𝒏‬
‫حيث 𝝈 االنحراف المعياري للمجتمع‬
‫‪ n‬عدد قيم العينة ( حجم العينة )‬
‫ثانيا ‪ :‬الخطأ بالتقدير بفترة‬
‫واآلن نتعرض للخطأ بالتقدير بفترة فعندما نستخدم عينة لتقدير المتوسط الحسابي لمجتمع ‪µ‬‬
‫يكون هامش الخطأ هو القيمة المطلقة للفرق بين المتوسط الحسابي للعينة 𝒙 والمتوسط‬
‫الحسابي للمجتمع ‪µ‬‬
‫هامش الخطأ ‪( 𝑬 ) :‬‬
‫عند استخدام بيانات عينة لتقدير املتوسط الحسابي ملجتمع ‪ ،‬يكون هامش الخطأ‬
‫ً‬
‫ق‬
‫املتوسط الحسابي‬
‫بين‬
‫للفر‬
‫ثقة‬
‫جة‬
‫د‬
‫عند‬
‫ترجيحا‬
‫‪ ،‬القيمة العظمي األكثر‬
‫ر‬
‫𝜶‪𝟏−‬‬
‫للمجتمع‬
‫الحسابي 𝒙‬
‫‪.‬‬
‫)𝑬(‬
‫للعينة‬
‫واملتوسط‬
‫𝝁‬
‫ويمكن ايجاده بأخذ ناتج ضرب القيمة الحرجة والخطأ المعياري‬
‫𝝈‬
‫∙ 𝜶𝒁 = 𝑬 𝟏(عند درجة ثقة‬
‫𝒏‬
‫𝟐‬
‫)𝜶 ‪−‬‬
‫وحتى يكون الخطأ في التقدير أقل ما يمكن يجب أن تتحقق المتباينة ‪:‬‬
‫𝑬< 𝝁‪𝒙−‬‬
‫𝑬< 𝒙‪𝝁−‬‬
‫𝑬 < 𝒙 ‪−𝑬 < 𝝁 −‬‬
‫𝒙‪𝒙−𝑬 < 𝝁<𝑬+‬‬
‫وعليه تكون فترة الثقة هي‪:‬‬
‫)𝑬 ‪(𝒙 − 𝑬 ,𝒙 +‬‬
‫التقدير بفترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع االحصائي ‪µ‬‬
‫𝟐‬
‫أوال ‪ :‬اذا كان التباين للمجتمع 𝝈 معلوم‬
‫اذا اخذت عينه عشوائية حجمها ‪ n‬من مجتمع طبيعي ( 𝟐𝝈 ‪ ) ،‬حيث‬
‫تباينه‬
‫𝟐𝝈‬
‫معلوم وحجم العينة ‪ n 30‬او ‪ n  30‬فان تقدير فتره الثقة ( ‪)1-‬‬
‫للمتوسط الحسابي ‪ ‬هو ‪) 𝒙 - E ،𝒙 + 𝑬 ( :‬‬
‫تسمى القيمتان 𝑬 ‪ 𝒙 − 𝑬 , 𝒙 +‬طرفي فترة الثقة‬
‫الخطوات المتبعة إليجاد فترة الثقة‬
‫للمتوسط الحسابي ‪:‬‬
‫‪ -1‬نوجد القيمة الحرجة 𝟐𝜶𝒁 المناظرة لدرجة ثقه‪ 𝟗𝟓%‬وهي 𝟔𝟗 ‪𝟏.‬‬
‫𝝈‬
‫∙ 𝜶𝒁 = 𝑬‬
‫‪ -2‬نوجد هامش الخطأ‬
‫𝒏‬
‫𝟐‬
‫‪ -3‬نوجد فترة الثقة‬
‫مالحظة‬
‫عند إيجاد‬
‫فترة ثقة (‪)1-α‬‬
‫سنكتفي ب‬
‫درجة الثقة ‪95%‬‬
‫والتي تناظرها‬
‫القيمة الحرجة‬
‫‪1.96‬‬
‫تفسير فترة الثقة‬
‫عند اختيار عينات عشوائية مختلفة متساوية في الحجم ( ‪ ) n‬وحساب‬
‫حدود فترة الثقة لكل عينة فاننا نتوقع ان ‪ 95%‬من فترات الثقة هذه تحوي‬
‫القيمة الحقيقية للمتوسط الحسابيي للمجتمع ‪µ‬‬
‫فمثال عند اختيار ‪ 100‬عينة عشوائية ذات الحجم نفسه ( ‪ ) n‬وفي كل مرة‬
‫نحسب 𝒙 وفترة الثقة فإننا نتوقع ان ‪ 95‬فترة تحوي ‪ µ‬الحقيقية‬
‫و ‪ 5‬فترات ال تحويها‬
‫مثال ( ‪( 2‬‬
‫أجريت دراسة لعينة من اإلناث حول معدل النبض لديهن فإذا كان حجم عينة اإلناث‬
‫‪ n = 40‬واالنحراف المعياري لمجتمع اإلناث 𝟓‪𝝈=𝟏𝟐.‬‬
‫والمتوسط الحسابي للعينة 𝟑‪𝒙 = 𝟕𝟔.‬‬
‫باستخدام مستوى ثقة ‪𝟗𝟓%‬‬
‫‪ (1‬أوجد هامش الخطأ ‪.‬‬
‫‪ (2‬أوجد فترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع ‪. µ‬‬
‫‪ (3‬فسر فترة الثقة ‪.‬‬
‫الحل‬
‫‪ )1‬مستوى الثقة ‪𝟗𝟓%‬‬
‫القيمة الحرجة‬
‫𝟔𝟗 ‪𝒁𝜶 = 𝟏.‬‬
‫𝝈‬
‫∙ 𝜶𝒁 = 𝑬‬
‫نالحظ أن ‪ σ‬معلومة فيكون هامش الخطأ‬
‫𝒏‬
‫𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟓 ‪𝟏𝟐.‬‬
‫𝟎𝟒‬
‫هامش الخطأ‬
‫∙ 𝟔𝟗 ‪𝑬 = 𝟏.‬‬
‫𝟗𝟕𝟑𝟕𝟖‪E ≈ 𝟑.‬‬
‫‪ )2‬فترة الثقة هي‪)X-E , X+E( :‬‬
‫( 𝟖𝟑𝟕𝟖‪= ) 𝟕𝟔.𝟑 − 𝟑.𝟖𝟕𝟑𝟖 , 𝟕𝟔.𝟑 + 𝟑.‬‬
‫( 𝟖𝟑𝟕𝟏‪= ) 𝟕𝟐.𝟒𝟐𝟔𝟐 ,𝟖𝟎.‬‬
‫التفسير‬
‫‪ )3‬عند اختيار ‪ 100‬عينة عشوائية ذات الحجم نفسه وحساب حدود فترة‬
‫الثقة لكل عينة فإننا نتوقع أن ‪ 95‬فترة تحتوي القيمة الحقيقية للمتوسط‬
‫الحسابي للمجتمع ‪µ‬‬
‫حاول أن تحل ‪2‬‬
‫من المثال 𝟐‬
‫اذا أجريت دراسة لعينة اخرى من اإلناث حجمها 𝟓𝟐 = ‪n‬‬
‫واالنحراف المعياري لمجتمع اإلناث 𝟓‪𝝈=𝟏𝟐.‬‬
‫والمتوسط الحسابي للعينة 𝟒‪𝒙 = 𝟏𝟖.‬‬
‫‪ 1‬اوجد هامش الخطأ‬
‫‪ 2‬اوجد فترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع االحصائي‬
‫‪3‬‬
‫فسر فترة الثقة‬
‫الحــــــــــــل‬
‫‪ )1‬مستوى الثقة ‪𝟗𝟓%‬‬
‫القيمة الحرجة‬
‫نالحظ أن ‪ σ‬معلومة فيكون هامش الخطأ‬
‫𝟔 ‪𝟑.‬‬
‫هامش الخطأ‬
‫𝟓𝟐‬
‫𝟐𝟏𝟏𝟒‪E ≈ 𝟏.‬‬
‫𝟔𝟗 ‪𝒁𝜶 = 𝟏.‬‬
‫𝟐‬
‫𝝈‬
‫∙ 𝜶𝒁 = 𝑬‬
‫𝒏‬
‫𝟐‬
‫∙ 𝟔𝟗 ‪𝑬 = 𝟏.‬‬
‫(‪)X-E , X+E‬‬
‫‪ )2‬فترة الثقة هي‪:‬‬
‫( 𝟐𝟏𝟏𝟒‪= ) 𝟏𝟖.𝟒 − 𝟏.𝟒𝟏𝟏𝟐 , 𝟏𝟖.𝟒 + 𝟏.‬‬
‫التفسير‬
‫( 𝟐𝟏𝟏𝟖‪= ) 𝟏𝟔.𝟗𝟖𝟖𝟖. ,𝟏𝟗.‬‬
‫‪ )3‬عند اختيار ‪ 100‬عينة عشوائية ذات الحجم نفسه وحساب حدود فترة‬
‫الثقة لكل عينة فإننا نتوقع أن ‪ 95‬فترة تحتوي القيمة الحقيقية للمتوسط‬
‫الحسابي للمجتمع ‪µ‬‬
‫ثانيا ‪ :‬التباين للمجتمع 𝟐𝝈 غير معلوم وحجم العينة ‪n > 30‬‬
‫الخطوات المتبعة اليجاد فترة الثقة للمتوسط الحسابي ‪µ‬‬
‫𝜶𝒁‬
‫نوجد القيمة الحرجة‬
‫المناظرة لدرجة‬
‫ثقه ‪ 𝟗𝟓%‬وهي 𝟔𝟗 ‪𝟏.‬‬
‫𝟐‬
‫نوجد فترة الثقة‬
‫نوجد هامش الخطأ‬
‫𝑺‬
‫𝒏‬
‫∙ 𝜶𝒁 = 𝑬‬
‫𝟐‬
‫حيث 𝑺 االنحراف المعياري لللعينة‬
‫مثال ( ‪)3‬‬
‫عينة عشوائية حجمها 𝟔𝟑 فاذا كان المتوسط الحسابي للعينة 𝟎𝟔‬
‫وتباينها 𝟔𝟏 باستخدام مستوى الثقة ‪𝟗𝟓%‬‬
‫‪ 1‬اوجد هامش الخطأ‬
‫‪ 2‬اوجد فترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع االحصائي‬
‫‪3‬‬
‫فسر فترة الثقة‬
‫حجم العينة‬
‫‪,‬المتوسط الحسابي 𝟎𝟔 = 𝒙‬
‫𝟔𝟑 = 𝒏‬
‫التباين 𝟔𝟏 = 𝟐𝑺‬
‫𝟒=𝑺‬
‫‪ 1‬مستوى الثقة ‪95%‬‬
‫𝟔𝟗 ‪∴ 𝒁𝜶 = 𝟏.‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝝈 غير معلوم ‪𝒏 > 𝟑𝟎 ,‬‬
‫𝟔𝟔𝟑 ‪= 𝟏.‬‬
‫𝟒‬
‫𝟔𝟑‬
‫× 𝟔𝟗 ‪𝑬 = 𝟏.‬‬
‫𝑺‬
‫𝒏‬
‫∙ 𝜶𝒁 = 𝑬‬
‫𝟐‬
‫∴‬
‫∴ هامش الخطأ ≈ 𝟕𝟔𝟎𝟑 ‪𝟏.‬‬
‫‪2‬‬
‫فترة الثقة هي ‪:‬‬
‫) 𝑬 ‪( 𝒙 − 𝑬 ,𝒙 +‬‬
‫) 𝟕𝟔𝟎𝟑 ‪= ( 𝟔𝟎 − 𝟏. 𝟑𝟎𝟔𝟕 , 𝟔𝟎 + 𝟏.‬‬
‫التفسير‬
‫) 𝟕𝟔𝟎𝟑 ‪= ( 𝟓𝟖. 𝟔𝟗𝟑𝟑 , 𝟔𝟏.‬‬
‫‪3‬‬
‫عند اختيار ‪ 100‬عينة عشوائية ذات الحجم نفسه )𝟔𝟑 = 𝒏( وحساب حدود‬
‫فترة الثقة لكل عينة فإننا نتوقع أن ‪ 95‬فترة تحتوي القيمة الحقيقية للمتوسط‬
‫الحسابي للمجتمع ‪µ‬‬
‫حاول ان تحل ( ‪)3‬‬
‫اخذت عينة عشوائية من مجتمع طبيعي حجمها‬
‫𝟏𝟖 = 𝒏‬
‫ومتوسطها الحسابي 𝟎𝟓 وانحرافها المعياري 𝟗 = 𝑺‬
‫باستخدام مستوى الثقة ‪𝟗𝟓%‬‬
‫‪ 1‬اوجد هامش الخطأ‬
‫‪ 2‬اوجد فترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع االحصائي‬
‫‪3‬‬
‫فسر فترة الثقة‬
‫حجم العينة‬
‫‪,‬المتوسط الحسابي 𝟎𝟓 = 𝒙‬
‫𝟏𝟖 = 𝒏‬
‫𝟗=𝑺‬
‫‪ 1‬مستوى الثقة ‪95%‬‬
‫𝟔𝟗 ‪∴ 𝒁𝜶 = 𝟏.‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐𝝈 غير معلوم ‪𝒏 > 𝟑𝟎 ,‬‬
‫𝟔𝟗 ‪= 𝟏.‬‬
‫𝟗‬
‫𝟏𝟖‬
‫× 𝟔𝟗 ‪𝑬 = 𝟏.‬‬
‫𝑺‬
‫𝒏‬
‫∙‬
‫𝜶𝒁‬
‫𝟐‬
‫=𝑬‬
‫∴‬
‫هامش الخطأ ≈ 𝟔𝟗 ‪𝟏.‬‬
‫∴‬
‫‪2‬‬
‫فترة الثقة هي ‪:‬‬
‫) 𝑬 ‪( 𝒙 − 𝑬 ,𝒙 +‬‬
‫) 𝟔𝟗 ‪= ( 𝟓𝟎 − 𝟏. 𝟗𝟔 , 𝟓𝟎 + 𝟏.‬‬
‫) 𝟔𝟗 ‪= ( 𝟒𝟖. 𝟎𝟒 , 𝟓𝟏.‬‬
‫‪3‬‬
‫عند اختيار ‪ 100‬عينة عشوائية ذات الحجم نفسه )𝟏𝟖 = 𝒏( وحساب حدود‬
‫فترة الثقة لكل عينة فإننا نتوقع أن ‪ 95‬فترة تحتوي القيمة الحقيقية للمتوسط‬
‫الحسابي للمجتمع ‪µ‬‬
‫التفسير‬
‫ثالثا ‪ :‬اذا كان تباين المجتمع غير معلوم وحجم العينة ‪n ≤ 30‬‬
‫إذا أخذت عينة عشوائية حجمها ‪ n‬من مجتمع طبيعي‬
‫تباينه غير معلوم‬
‫وحجم العينة 𝟎𝟑 ≤ 𝒏‬
‫فإن توزيع العينة ال يؤول إلى التوزيع الطبيعي وفي هذه الحالة‬
‫يلزم استخدام توزيع آخر هو توزيع ‪ t‬للعينات الصغيرة التي‬
‫حجمها ‪ n ≤ 30‬ويكون تقدير فترة الثقة (‪ ( 1-α‬للمتوسط‬
‫الحسابي ‪ µ‬هو )𝑬 ‪(𝒙 − 𝑬 ,𝒙 +‬‬
‫خواص التوزيع‬
‫توزيع متماثل حول متوسطه‬
‫الحسابي والذي يساوي صفر‬
‫ويمتد الى ∞ من جهة اليمين‬
‫والى ∞‪ −‬جهة اليسار ويزداد‬
‫قربا من الصفر في الجهتين‬
‫‪t‬‬
‫انحرافه المعياري اكبر‬
‫من الواحد‬
‫خواص التوزيع ‪t‬‬
‫يعتمد هذا التوزيع على‬
‫درجات الحرية والتي تساوي‬
‫( حجم العينة ‪)1 -‬‬
‫اي ( ‪)n -1‬‬
‫التوزيع ‪ t‬يشبه التوزيع‬
‫الطبيعي اال ان قيمته اكثر‬
‫انخفاضا من التوزيع‬
‫الطبيعي‬
‫كلما زادت درجات الحرية اقترب هذا‬
‫التوزيع من التوزيع الطبيعي ويقترب‬
‫انحرافه المعياري الى الواحد الصحيح‬
‫إيجاد القيمة الحرجة من جدول توزيع ‪t‬‬
‫إليجاد القيمة الحرجة من جدول توزيع 𝒕 حيث يبن العمود األول‬
‫قيم درجات الحرية ( 𝟏 ‪) 𝒏 −‬وتبدأ من 𝟏 إلى 𝟎𝟑 وأكثر والصف‬
‫األول يمثل قيم 𝜶 ومنه يمكن تحديد 𝜶𝒕‬
‫𝟐‬
‫الحظ ان 𝜶‪𝒕𝜶 = 𝒕𝟏−‬‬
‫𝟐‬
‫𝟐‬
‫𝟐‬
‫اذا كان تباين المجتمع 𝟐𝝈 غير معلوم وحجم العينة‬
‫𝟎𝟑 ≤ 𝒏‬
‫هامش الخطأ للمتوسط الحسابي 𝝁 للمجتمع االحصائي ‪:‬‬
‫𝑺‬
‫∙ 𝜶𝒕 = 𝑬‬
‫حيث 𝑺 االنحراف المعياري للمجتمع‬
‫𝒏‬
‫𝟐‬
‫فترة الثقة للمتوسط الحسابي 𝝁 للمجتمع االحصائي ‪(𝒙 − 𝑬 , 𝒙 + 𝑬) :‬‬
‫نوجد درجات الحرية‬
‫الخطوات‬
‫المتبعة‬
‫إليجاد فترة‬
‫الثقة‬
‫نوجد القيمة الحرجة 𝟐𝜶𝒕 المناظرة لدرجة‬
‫ثقة ‪ 𝟗𝟓%‬من جدول ‪t‬‬
‫نوجد هامش الخطأ‬
‫نوجد فترة الثقة‬
‫)𝑬 ‪(𝒙 − 𝑬 , 𝒙 +‬‬
‫اخذت عينة عشوائية من مجتمع طبيعي حجمها 𝟓𝟐 = 𝒏 ‪ ,‬فاذا كان االنحراف‬
‫المعياري للعينة )𝑺( يساوي 𝟎𝟏 ومتوسطها الحسابي 𝟓𝟏 = 𝒙‬
‫استخدم مستوى ثقة ‪ 𝟗𝟓%‬اليجاد ‪:‬‬
‫هامش الخطأ‬
‫الحل‬
‫فترة الثقة للمتوسط الحسابي للمجتمع اإلحصائي‬
‫‪ σ 2‬غير معلوم 𝟎𝟑 ≤ 𝒏 ‪ ,‬فبالتالي نستخدم توزيع‬
‫درجات الحرية‬
‫𝜶‬
‫𝟓𝟐𝟎 ‪= 𝟎.‬‬
‫𝟐‬
‫𝟓𝟐 = 𝒏‬
‫𝟒𝟐 = 𝟏 – 𝟓𝟐 = 𝟏 – 𝒏‬
‫‪𝟏 − 𝜶 = 𝟗𝟓%‬‬
‫مستوى الثقة‬
‫𝟓𝟎 ‪𝜶 = 𝟎.‬‬
‫من جدول توزيع 𝒕 تكون قيمة 𝜶𝒕‬
‫𝟐‬
‫𝟓𝟗 ‪𝟏 − 𝜶 = 𝟎.‬‬
‫مناظرة للعدد 𝟔𝟒𝟎‪𝟐.‬‬
‫‪t‬‬
‫هامش الخطأ‬
‫𝑺‬
‫𝒏‬
‫𝟖𝟐𝟏 ‪= 𝟒.‬‬
‫∴ هامش الخطأ‬
‫‪ )2‬فترة الثقة هي‪:‬‬
‫𝟎𝟏‬
‫𝟓𝟐‬
‫∙ 𝜶𝒕 = 𝑬‬
‫𝟐‬
‫× 𝟔𝟒𝟎 ‪𝑬 = 𝟐.‬‬
‫𝟖𝟐𝟏‪𝑬 = 𝟒.‬‬
‫)𝑬 ‪(𝒙 − 𝑬 ,𝒙 +‬‬
‫)𝟖𝟐𝟏 ‪= ( 𝟏𝟓 − 𝟒. 𝟏𝟐𝟖 , 𝟏𝟓 + 𝟒.‬‬
‫) 𝟖𝟐𝟏‪= ( 𝟏𝟎.𝟖𝟕𝟐 ,𝟏𝟗.‬‬
‫‪44‬‬
‫أوجد فترة ثقة ‪ 95%‬للمتوسط الحسابي للمجتمع اإلحصائي إذا كان ــ‬
‫‪S = 0.3‬‬
‫‪n = 13‬‬
‫‪x = 8.4‬‬
‫الحل‬
‫‪ σ 2‬غير معلوم‪𝒏 ≤ 𝟑𝟎 ,‬‬
‫فبالتالي نستخدم توزيع‬
‫‪t‬‬
‫‪n= 13‬‬
‫درجات الحرية 𝟐𝟏 = 𝟏 –𝟑𝟏 = 𝟏 – 𝒏‬
‫مستوى الثقة‬
‫𝜶‬
‫𝟓𝟐𝟎 ‪= 𝟎.‬‬
‫𝟐‬
‫𝟓𝟎 ‪𝜶 = 𝟎.‬‬
‫من جدول توزيع 𝒕 تكون قيمة 𝜶𝒕‬
‫𝟐‬
‫‪45‬‬
‫‪𝟏 − 𝜶 = 𝟗𝟓%‬‬
‫𝟓𝟗 ‪𝟏 − 𝜶 = 𝟎.‬‬
‫مناظرة للعدد 𝟗𝟕𝟏‪𝟐.‬‬
‫𝑺‬
‫𝒏‬
‫هامش الخطأ‬
‫𝟖𝟏 ‪= 𝟎.‬‬
‫‪ )2‬فترة الثقة هي‪:‬‬
‫𝟑 ‪𝟎.‬‬
‫𝟑𝟏‬
‫∙ 𝜶𝒕 = 𝑬‬
‫𝟐‬
‫× 𝟗𝟕𝟏 ‪𝑬 = 𝟐.‬‬
‫)𝑬 ‪(𝒙 − 𝑬 ,𝒙 +‬‬
‫)𝟖𝟏 ‪= ( 𝟖. 𝟒 − 𝟎. 𝟏𝟖 , 𝟖. 𝟒 + 𝟎.‬‬
‫)𝟖𝟓 ‪= ( 𝟖𝟖. 𝟐𝟐 , 𝟖.‬‬