Transcript 超ロバスト計算原理プロジェクトRA 講究資料

有向マトロイドの
実現不可能性を判定する手法
超ロバスト計算原理プロジェクトRA
中山 裕貴
2005/10/19
今回の発表の流れ
• 背景
• 有向マトロイドとは 幾何的構造の組合せ的抽象化
• 有向マトロイドの
幾何的モデル
実現不可能性判定問題
計算は困難
ギャップ
組合せ的モデル
• 実現不可能性の十分条件
Grassmann-Plückerの多項式
– 代数的な立場より： 双二次最終多項式
– 幾何的な立場より： 非ユークリッド性
線形計画問題
• 計算機実験による結果
問題の背景
• 計算代数、計算幾何 それぞれの分野について、
ロバスト性を持つプログラムの実装がされている
計算代数
（例：計算代数ソフトAsir [高山、野呂ら]）
・ 有理数の多倍長表現
・ 多変数多項式の表現の工夫（再帰表現・分散表現）
・ 無理数（ など）について、浮動小数を用いず
「
の正の解」という情報で保持する etc…
計算幾何
（例： 幾何計算ソフトウェア [杉原]）
・ 座標の有理数表現（多倍長表現で正確性を保持）
・ 計算中、対象の位相的関係を正しく保存 etc…
アイデアとしては共通点も
多いが、双方はまだ独立して
考えられている
目標：
両者を統合して扱う
フレームワークの提案
組合せ構造とは
• 両者を統合する足がかりとして、有向マトロイド
による組合せ構造に着目
組合せ構造
幾何的対象（ここでは曲線とする）の集合があるとする。
各曲線間の位置関係が保たれるならば、曲線を変形したものも
相互に同じとみなす
ex.
と
は同じ組合せ構造を持つ
わずかな変形でも、それによって各曲線間の位置関係が崩れる場合、
異なる組合せ構造を持つ
ex.
と
は異なる組合せ構造を持つ
今回扱う問題：
有向マトロイドの実現可能性判定問題
• 問題（幾何的解釈）：
ある組合せ構造が（有向マトロイドとして）与えられたとき、
組合せ構造を保存したまま、すべての曲線（擬超平面）を
stretchして直線（超平面）に変形できるか？
• 問題（代数的解釈）
組合せ構造を連立代数不等式として表したとき、その
不等式系が実行可能解を持つか？
有向マトロイドの実現可能性判定問題を考えることにより、
計算幾何・計算代数の双方に有効な超ロバスト
アルゴリズムの実現が期待される
今回の発表の流れ
• 背景
• 有向マトロイドとは 幾何的構造の組合せ的抽象化
• 有向マトロイドの
幾何的モデル
実現不可能性判定問題
計算は困難
ギャップ
組合せ的モデル
• 実現不可能性の十分条件
Grassmann-Plückerの多項式
– 代数的な立場より： 双二次最終多項式
– 幾何的な立場より： 非ユークリッド性
線形計画問題
• 計算機実験による結果
有向マトロイドの
カイロトープ による表現
• 幾何的構造の符号への抽象化
•
中にn本のベクトルを配置し、その中の任意の
r本のベクトルについて、符号を以下で定める
ex.
では
z
r: ランク
v6 v
5
y v
4
v3
v2
v1
x
すべてのχの値の集合により
有向マトロイドは定義される
３項Grassmann-Plücker多項式
• 実空間上の任意のベクトル集合に対し、以下の
恒等式が成立する（３項Grassmann-Plücker多項式）：
任意の
について、
有向マトロイドの公理
（カイロトープの公理）
• 有向マトロイドが定義する組合せモデルは、
幾何的な配置よりも集合として広い
カイロトープの公理：
(B0)
(B1)
は交代性をみたす、つまり
(B2) ３項Grassmann-Plücker多項式の符号への抽象化：
以上を満たすχの集合すべてが有向マトロイドをなす
擬超平面配置と超平面配置
• 擬超平面： 超平面を曲げたもの（homeomorphicな変形）
擬超平面を伸ばして
超平面にする
超平面配置
擬超平面配置
（図：
中の擬超平面と球面
equiv
有向マトロイド全体
の交差） （図：
中の超平面と球面
equiv
幾何的表現全体
２つの集合には差があるか？
の交差）
今回の発表の流れ
• 背景
• 有向マトロイドとは 幾何的構造の組合せ的抽象化
• 有向マトロイドの
幾何的モデル
実現不可能性判定問題
計算は困難
ギャップ
組合せ的モデル
• 実現不可能性の十分条件
Grassmann-Plückerの多項式
– 代数的な立場より： 双二次最終多項式
– 幾何的な立場より： 非ユークリッド性
線形計画問題
• 計算機実験による結果
有向マトロイドの
実現可能性判定問題
• ある有向マトロイドには、幾何的配置が
存在しない場合もある（逆は必ず存在）
（有向マトロイドによる）組合せ的モデル
（行列などによる）幾何的モデル
• 与えられた有向マトロイドに対し、それが幾何的
な配置（ベクトル、超平面etc…)として与えられる
か判定する問題
＝実現可能性判定問題
実現不可能な有向マトロイドの例
• Pappusの配置 (r = 3, n = 9)
（超平面配置を上から見た図、円は三次元球の
表面）
（左図の一部）
• 擬超平面を超平面に（中央の線を直線に）しよう
とすると、必ず中央の点を通らなければならない
＝ 実現不可能
実現可能性の判定法：
単純な方法
• 有向マトロイドはカイロトープの形で与えられて
いるとする
行列を
と置き、連立方程式
が解を持つとき、またそのときに限り実現可能
計算が複雑（実はNP-hard [Mnev 1988]
誤差を含みうる(Robustでない）
実現可能性判定問題の代数的解釈
• 以下の２つは同値[Sturmfels 1987]
与えられた有向マトロイドが、
上のベクトルの集合として表せる
同値
多変数関数
がある有理数に対して零点を持つ
実現可能性判定の良いアルゴリズムが見つかれば、
様々な代数的問題についても応用ができそう（だが、難しそう）
実現不可能なものの一部しか見つけられない代わりに、
誤差を含まずに計算できるアルゴリズムの提案
今回の発表の流れ
• 背景
• 有向マトロイドとは 幾何的構造の組合せ的抽象化
• 有向マトロイドの
幾何的モデル
実現不可能性判定問題
計算は困難
ギャップ
組合せ的モデル
• 実現不可能性の十分条件
Grassmann-Plückerの多項式
– 代数的な立場より： 双二次最終多項式
– 幾何的な立場より： 非ユークリッド性
線形計画問題
• 計算機実験による結果
幾何的な立場からの十分条件として
非HK*性もあるが、今回は説明しない
どのようにして有向マトロイドの
実現可能性を効率よく判定するか
• 実現不可能性の十分条件となる性質を用いる
（実現不可能なものの一部でもいいので、
ある条件を満たすものを正確に判定したい）
• 代数的性質： 双二次最終多項式
– ３項Grassmann-Plückerの多項式を利用
– 線形方程式の求解に帰着
• 幾何的性質： 非ユークリッド性
– 通常の線形計画問題では決して起こらない、
非退化なサイクルを見つける
実現不可能性の十分条件：
双二次最終多項式
• 用いるアイデア：３項Grassmann-Plücker多項式
任意のベクトル
について、
が成立
ブラケット項
で表す、また
有向マトロイドが実現可能ならば、ベクトル配置が存在するはず
対偶
ベクトル配置が無いことが示せれば、有向マトロイドは実現不可能
３項Grassmann-Plücker多項式の抽象化
• 行列式を符号へ抽象化
任意のインデックス
について、
が成立
さらに、
を適切にpermutationすることによって
３つ全てが同時に0 or 1 が成立
以後、λは適切にpermutationされているものとする （normalizedという）
有向マトロイドを入力とした
連立不等式の生成
• 得られている情報：各カイロトープの符号のみ
normalizedな3項Grassmann-Plücker多項式
について
(1) ３つの項の符号がすべて+1のとき
２つの不等式
が成立
(2) 左辺の２項のどちらかの符号が0のとき
等式
が成立
全てのインデックスの組合せについて、(1)(2)どちらかにより
等式、不等式を生成する ⇒ 連立不等式
有向マトロイドを入力とした
連立線形不等式の生成
• 生成された連立不等式 → 連立線形不等式へ
対数をとる
変数とみる
• 得られた連立線形不等式を、LP-solverを用いて
実行可能であるか判定し、解が無ければ
その有向マトロイドは実現不可能
– LP-solver: cdd+[Fukuda], lrs[Avis]など。有理数演算を
利用して誤差を排除する（Robustなプログラム）
実現不可能な有向マトロイドの例：
(r = 4, n = 8)
1111211121121231112112123112123123411121121231121231234112123123412345
2223322332334442233233444233444555522332334442334445555233444555566666
3344434445555553444555555666666666634445555556666666666777777777777777
4555566666666667777777777777777777788888888888888888888888888888888888
0+++++++++++++++++++++++-++-+------+++++++---+---------+----+--------+
上４行がカイロトープの引数、下１行がカイロトープの値
上のχより導ける3項Grassmann-Plücker多項式の集合
各ブラケット
について
とソート済み
各ブラケットの値は
正 or ０ ([1234]のみ)
+
+
0
+
+
+
実現不可能な
有向マトロイドの例（続き）
[1234] = 0, それ以外のブラケットは＋
不等式を生成し、対数をとって線形化
上の線形不等式系の項は全て打ち消しあう ⇒ “0 < 0”、つまり解なし
このような場合、双二次最終多項式が存在し、
有向マトロイドは実現不可能
どのようにして有向マトロイドの
実現可能性を効率よく判定するか
• 実現不可能性の十分条件となる性質を用いる
• 代数的性質： 双二次最終多項式
– ３項Grassmann-Plückerの多項式を利用
– 線形方程式の求解に帰着
• 幾何的性質： 非ユークリッド性
– 通常の線形計画問題では決して起こらない、
非退化なサイクルを見つける
問題の背景：線形計画問題
ex.
y
(f)
(1)
(4)
(1)
(2)
(2)
x
(3)
(4,5)
(5)
(3)
(f)
斉次化
(4)
(1)
(f)
(1)
(5)
(2)
(2)
( f ) (3)
(3)
(4,5,g)
(g)
（球面
の上部から見た図）
球面が、中心を通る超平面により領域に分割される
有向マトロイドの
コサーキットC*による表現
v
z
6
v5 y
v4
v3
v2
ex.
v1
x
各ベクトルが法線ベクトルとなる超平面で、 空間を分割
⇒ 領域が平面に対しどちら側にあるかを符号で表す＝コベクトル
コサーキット（極小なコベクトル）の集合
による有向マトロイドの表現：
上の例では
この符号の集合は有向マトロイドを定義する、またχによる定義と同値
有向マトロイドの公理
（サーキットの公理）
以下の公理を全て満たす符号の集合のみが有向マトロイドをなす
(C0)
(C1)
(C2)
(C3)
Y の非零indexの集合
Y の負indexの集合
コサーキットの集合C*もサーキットの公理を満たす
有向マトロイド計画問題：
線形計画問題の抽象化
(0+0++ ++)
(4)
(1)
(12345 f g)
(+00++ ++)
(5)
(2)
(f)
球面上の領域 ＝ コベクトル
球面上の点 ＝ コサーキット
(3)
球面の上半分（超平面gに対して正 or ０）
にあるコサーキットのみ考える
(g)
(+++00 ‐+)
有向マトロイド計画問題：
ある実行可能なコサーキットC0*を初期解として、
目的関数 f に対して値を改善していき、最適なコサーキットを得る
有向マトロイド計画問題
をコベクトルの集合とする
アフィン空間：
増加する方向
(‐+‐0+ +0)
無限遠点：
(4)
(1)
(12345 f g)
(+00++ ++)
(5)
(2)
(f)
実行可能領域：
左の例では、12345全てが非負
(3)
目的関数が増加する方向：
(g)
(00+-- -+)
(+++00 ‐+)
有向マトロイド計画問題は
の三つ組みの形で与えられる
コベクトルの集合
有向マトロイド計画問題における
単体法アルゴリズム
入力： 有向マトロイド計画問題
出力： 目的関数 f に対して最適なコサーキット
Phase I:
実行可能なコサーキット
を一つ見つける、
存在しなければ実行可能解なし→アルゴリズム終了
Phase II:
(i) 現在のコサーキットと辺を共有し、かつ増加する方向を見つける
(ii) (i)の方向に対して非有界であれば最適解なし→アルゴリズム終了
(iii) 解を改善する方向に向かい、新たなコサーキットを得る
(iv) これ以上増加する方向がなければ、最適解を出力してアルゴリズム終了、
そうでなければ(i) に戻る
非退化なサイクル
• 単体法におけるステップ(Cold→Cnew)の分類：
degenerate ２つのコサーキットCold,Cnewが、同じ点で重なっている
horizontal {Cold,Cnew に共通する非零要素} Ｕ {f, g}が従属
strictly increasing 有向辺Cold→Cnew は目的関数が増加する方向、かつ
degenerateではない
非退化なサイクル：
ステップの列
について、
かつ
各ステップは{degenerate, horizontal, strictly increasing}のどれか、
さらに少なくとも１つのステップはstrictly increasing
C0
C3
C1 =C2
非ユークリッド性を用いた
有向マトロイドの実現不可能性の判定
• 通常の線形計画問題は、決して非退化な
サイクルをもたない
• 有向マトロイドが非退化なサイクルを持つならば、
その有向マトロイドは実現不可能
このような有向マトロイドを
非ユークリッドな有向マトロイドとよぶ
今回の発表の流れ
• 背景
• 有向マトロイドとは 幾何的構造の組合せ的抽象化
• 有向マトロイドの
幾何的モデル
実現不可能性判定問題
計算は困難
ギャップ
組合せ的モデル
• 実現不可能性の十分条件
Grassmann-Plückerの多項式
– 代数的な立場より： 双二次最終多項式
– 幾何的な立場より： 非ユークリッド性
線形計画問題
• 計算機実験による結果
各ランク、要素数(r, n)における
有向マトロイドの個数
n= 2 3 4 5
6
7
8
9
10
r=2 1 1 1 1
1
1
1
1
1
r=3
1 2 4 17 143
4890
461053
95052532
r=4
1 3 12 206
181472
…
…
r=5
r=6
1
4
25
6029
…
…
1
5
50
508321
...
ならばすべて
ユークリッド性をみたす
すべて実現可能
実現不可能な有向マトロイドを含み、かつユークリッド性を
満たさないものが存在する(r, n) = (4, 8)のケースについて、
計算機実験により実現不可能な有向マトロイドを列挙する
(r, n) = (4, 8)における「実現不可能な」
有向マトロイドの個数
uniform: χの値が常に 1or -1
#OM(4,8) = 181472
Uniform OMs 2628
Non-uniform OMs 178844
(non-realizable ??)
non-realizable 24
双二次最終多項式 24
双二次最終多項式 3944
非ユークリッド性 18
非HK*性 18
非ユークリッド性 3444
非HK*性 1364
非シャノン性 1
(非HK性 0)
(非HK性 0)
non-Euclidean, non-HK(*), non-Shannon: [Fukuda, Moriyama, Okamoto 2004]
BFP: [Nakayama, Moriyama, Fukuda, Okamoto 2005]
(r, n) = (4, 8)における「実現不可能な」
有向マトロイドの個数
• 計算機実験の結果より、
– 有向マトロイドがuniformである場合：
双二次最終多項式で全ての実現不可能なものを列挙
非ユークリッド性によっては列挙できないものもあり
– uniform, non-uniform両方の場合について
非HK*性を満たす ⇒ 非ユークリッド性を満たす
非ユークリッド性を満たす ⇒ 双二次最終多項式が存在
実現不可能性を示す性質の有用さとして、
双二次最終多項式 ＞ 非ユークリッド性 ＞ 非HK*性
が成り立つことを示唆している
双二次最終多項式 ＞ 非ユークリッド性については、理論的証明が完了
[Richter-Gebert 1993] [Nakayama, Moriyama and Fukuda, in preparation]
証明の方針は定まっておらず、rが大きくなると成り立たないかもしれない
まとめ
• 実現不可能な有向マトロイドを列挙するための性質
– 代数的手法： 双二次最終多項式
– 幾何的手法： 非ユークリッド性
の紹介
• 性質の間に真の強弱関係が存在することが
計算機実験により示唆された
参考文献
• A.Bjorner, M.Las Vergnas, B.Sturmfels, N.White and G.Ziegler:
Oriented Matroids, Encyclopedia of Mathematics (1993)
• K.Fukuda: Oriented Matroid Programming, Ph.D. Thesis (1982)
• K.Fukuda, S.Moriyama and Y.Okamoto: Non-LP orientations,
nonlinear shellings and non-representable oriented matroids,
Technical Group of Computation (2004)
• K.Fukuda, H.Nakayama and S.Moriyama: Every non-Euclidean
oriented matroid admits a biquadratic final polynomial, in preparation
• H.Nakayama, S.Moriyama, K.Fukuda and Y.Okamoto: Comparing the
strength of the non-realizability certificates for oriented matroids, in
proc. of 4th Japanese-Hungarian Symposium (2005)
• J.Richter-Gebert: Euclideanness and final polynomials in oriented
matroid theory, Combinatorica (1993)