Transcript 第13回（7月18日）

統計学
回
第１３
西
山
サイコロ：
平均（μ）＝3.5
分散（σ2）＝2.92
小テスト２―問題１
小テスト２―問題２
←平均と分散
期末試験では、どちらかの類題
を出します（記述式）。
前回までの要点
統計的な仮説検定の方法
検定とは二択問題です．つまり二つの命題のど
ちらかをデータをみて選びます．
正しいと仮定する命題を帰無仮説と呼び、もう一
方の命題を対立仮説と呼びます．
母平均を仮置きする値が帰無仮説です。
サンプル平均が棄却域に入れば帰無仮説は棄
却できます。棄却域は、普通、5％分もうけます。
【例題】棄却域の作り方がポイント
あるメーカーの新型電池は耐久時間を1000時間と表示
している。最近、「すぐ切れる」というクレームが相次い
で寄せられた。そのため、20個のサンプルをとって、計
測してみると、以下の結果になった。
X  980
ˆ  720
2
こんなサンプル、
しょっちゅう出ますか？
電池の生産に異常はないと言えるか？
検定の要点
帰無仮説（＝仮置き）・対立仮説として二択にする
サンプル平均の分布図で
棄却域を両側・右側・左側に作るか決める
上に合わせて標準値・T値の
限界値を決める
サンプル平均を標準化して
結論を下す
検定を二択にする
H 0 :   1000 vs H1 :   1000
帰無仮説
（正常）
仮置き！
対立仮説
（短い）
【考え方】寿命が長すぎても問題
なし
帰無仮説（＝仮置き値）： μ＝1000時間
有意水準
５％
異常
5%
限界値
正常
95%
1000
【解答】
限界値はT分布で決めると厳密！
980  1000
T0 
 3.3
720
20
このサンプルは偶然ではない
異常発生！
練習問題【１】両側検定が適
切
下に7個のデータが与えられている。このデータは平
均が０である集団（＝母集団）から得られたものだろ
うか．それとも０とは異なる平均をもつ集団から得ら
れたデータだろうか．但し、元の母集団の分散σ2は
１であるとしなさい．
-1.11, 2.09, 0.11, 1.21, 1.91, 0.02, -0.24
ヒント：
標本平均＝0.57
不偏分散＝1.418
教科書167ページの数値例
【解答】
二択を確かめよ！
H 0 :   0 vs H1 :   0
1
7
標準誤差
Z0 
棄却域
採択域
仮置き
0
X  0
棄却域
2 /n

0.57  0
1/ 7
 1.5
練習問題
【２】
下に５個のデータが与えられている。このデータは
平均が０である集団（＝母集団）から得られたものだ
ろうか．それとも０より大きい平均をもつ集団から得
られたデータだろうか．但し、母集団の分散σ2は１で
ある．
1.11, 0.27, 0.81, 0.08, 0.63
ヒント：
標本平均＝0.58
不偏分散＝0.171
右側に棄却域をつくって片側検定！
H 0 :   0 vs H1 :   0
標準値を出すところまでは同じ
Z0 
基本
X  0
 /n
2

0.58  0
1/ 5
 1.30
両側で±２
片側で＋1.65、あるいは－1.65
シグマハットを使うならT分布で「色をつける」
教科書171頁の例題44
検定の第2段階
検定ミス(＝判断ミス）の可能性を調べます。
 第1種の過誤
 第2種の過誤
 検出力（＝異常を発見できる確率）
例題【２】
無作為に5台の自動車を抜き取りブレーキ性能検
査をする．60Km/hからの停止距離の基準は60メー
トルである．
いま工場内に異常があり、停止距離が平均で2メー
メートルも基準値を超えている。ブレーキ検査をし
をして、この異常に気がつくだろうか？但し、ブレー
キを踏むタイミングなどから、停止距離の測定値は
2メートルの標準偏差でばらつく．
H 0 : 元の平均（） 60
正常
vs
H 1 : 元の平均（） 62
異常
教科書176ページ以降を参照
例題【２】の考え方
この限界値は
61.47です．なぜ？
判断ミスに二通りあり
必要のない検査をした
意味では生産者危険
欠陥車に気が
つかないので
消費者危険
検査結果
正常
授業・試験範囲
は
ここまで
以下は参考
真
相
異常
第1種の
正常(H0) あいまい 過誤（α）
異常(H1)
第2種の
過誤（β）
検出
例題【２】の解答
第2種の過誤（β）
 PX  61.47 | H 1 
61.47  62 

 P Z 

0.894 

 PZ   0.56
 0.29
10回に3回は異常に
気がつかない！
検出力＝1-0.29＝0.71
例題に関するクイズ
無作為に5台の自動車を抜き取りブレーキ性能検査をする．
60Km/hからの停止距離の基準は60メートルになっている．
5回の測定値の結果は
59.3、 59.6、 62.7、 62.7、 62.3
となった。以下の検定を行いなさい。但し、ブレーキを踏
むタイミングなどから、停止距離の測定値は2メートルの
標準偏差でばらつく．
H 0 : 元の平均（） 60
正常
X  61.32
ˆ  2.85
2
vs
H 1 : 元の平均（） 62
異常
どんな結果は異常と決めましたか？
クイズの解答
異常なしと仮定して
Z0 
61.32  60.0
2
2
5
1.32

 1.48
0.894
限界値1.645を超えていないので、結果正常
検出漏れの確率は３０％
どんな判断ミスが
心配？
検査結果
正常
真
相
異常
第1種の
正常(H0) あいまい 過誤（α）
異常(H1)
第2種の
過誤（β）
検出