Transcript fundamentos de la matemàtica financiera
UNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA DECANATO DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO DECANATO DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO ESPECIALIZACIÓN EN GERENCIA FINANCIERA
MODERADORA ING.KATHERINE RINCÓN,MSC.
Correo Electrónico: [email protected]
Blog: ingkatherinerincon.wordpress.com
Generalmente, las decisiones que se toman son el resultado de elegir una alternativa sobre otra. A menudo las decisiones reflejan la elección fundamentada de una persona sobre cómo invertir mejor fondos, también llamados
capital.
Así la matemática financiera implica formular, estimar y evaluar los resultados económicos cuando existan alternativas disponibles para llevar a cabo un propósito definido. Son un conjunto de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas, toda estas decisiones implican los elementos básicos de
flujos de
efectivo, tiempo y tasas de
interés
.
La gente computadoras, herramientas modelos de la toma las decisiones; ni las matemáticas u otras lo hacen.
Las técnicas y matemática financiera
ayudan a la gente a tomar decisiones
. Por lo tanto, en un análisis financiero los números constituyen las
mejores estimaciones de lo que se espera que ocurrirá
.
A menudo se dice que hecho, la
dinero llama dinero.
De afirmación es cierta, porque si hoy decidimos invertir esperamos tener dinero, intrínsecamente más dinero en el futuro. Si una persona o empresa solicita un crédito hoy, mañana deberá más que el capital del préstamo original.
La variación de la cantidad del dinero en un periodo de tiempo dado recibe el nombre de
valor
de dinero en el tiempo;
importante de la éste es el concepto más matemática financiera
Interés : Es el rédito que se paga por una suma de dinero tomada en préstamo, la cual depende de las condiciones contractuales, y varía en razón directa con la cantidad de dinero prestada (capital), el tiempo de duración del préstamo (plazo) y la tasa de interés aplicada.
Tasa de Interés : Es la tasa que se aplica en una operación comercial, la cual determina el interés a pagar, se expresa en tanto por ciento (%) y generalmente la tasa de interés se da por año.
Tiempo : Es el intervalo durante el cual tiene lugar la operación financiera en estudio, la unidad de tiempo es el año.
Periodo : Es el intervalo de tiempo en el que se liquida la tasa de interés (año, semestre, trimestre, bimestre, mes, quincena, semana, diario, etc.).
Capital : Es el dinero que se presta, comúnmente se le denomina valor presente.
Monto : Es el capital formado por el capital actual más los intereses devengados en el periodo, comúnmente se le denomina valor futuro.
Anualidad : Es el flujo de efectivo igual que se paga o se cobra cada cierto periodo.
El
interés
es la manifestación del valor del dinero en el tiempo. Desde una perspectiva de cálculo, el interés es la diferencia entre una cantidad final de dinero y la cantidad original. Si la diferencia es nula o negativa, no hay interés.
El un interés se
paga
cuando una persona u organización pide dinero prestado (obtiene préstamo) y paga una cantidad mayor.
El interés se
gana
cuando una persona u organización ahorra, invierte o presta dinero y recibe una cantidad mayor.
𝑇𝐴𝑆𝐴 𝐷𝐸 𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝐸𝑆 % = 𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝐸𝑆 𝐴𝐶𝑈𝑀𝑈𝐿𝐴𝐷𝑂 𝑃𝑂𝑅 𝑈𝑁𝐼𝐷𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝑇𝐼𝐸𝑀𝑃𝑂 X100% 𝑆𝑈𝑀𝐴 𝑂𝑅𝐼𝐺𝐼𝑁𝐴𝐿 La unidad de tiempo de la tasa recibe el nombre de Por ahora, el periodo de
periodo de
interés.
interés más comúnmente utilizado para fijar una tasa de interés es de un año. Es posible considerar periodos de tiempo más cortos, como 1% mensual. Por lo tanto, siempre debería incluirse el periodo de interés de la tasa de interés. Si tan sólo se fija la tasa, por ejemplo, 8.5%, se dará por supuesto un periodo de interés de un año.
Un empleado solicita un préstamo de $10,000 el de mayo y debe pagar un total de $10,700 exactamente un año después. Determine el interés y la tasa de interés pagada.
Solución
Aquí el problema se analiza desde la perspectiva del prestatario en virtud de que los $10,700 pagan un préstamo.
Interés
= $10,700 - $10,000 = $700
Tasa porcentual de interés
== $700 x 100% == 7% anual
Desde la perspectiva de un ahorrador, un prestamista, o un inversionista, el interés ganado es la cantidad final menos la cantidad inicial, o principal.
“Interés generado = cantidad total actual - cantidad original”
El interés generado durante un periodo específico de tiempo se expresa como porcentaje de la cantidad original y se denomina
tasa de rendimiento (TR).
𝑇𝐴𝑆𝐴 𝐷𝐸 𝑅𝐸𝑁𝐷𝐼𝑀𝐼𝐸𝑁𝑇𝑂 % = 𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝐸𝑆 𝐴𝐶𝑈𝑀𝑈𝐿𝐴𝐷𝑂 𝑃𝑂𝑅 𝑈𝑁𝐼𝐷𝐴𝐷 𝐷𝐸 𝑇𝐼𝐸𝑀𝑃𝑂 X100% 𝑆𝑈𝑀𝐴 𝑂𝑅𝐼𝐺𝐼𝑁𝐴𝐿 La unidad de tiempo para la tasa de retorno recibe el nombre de
interés, periodo de
el mismo nombre que cuando se ve desde la perspectiva del prestatario.
Aunque los valores término
tasa de
numéricos de las ecuaciones anteriores son los mismos, el
interés pagada
es más adecuado para la perspectiva del prestatario, y
tasa de retorno ganada
es mejor desde la perspectiva del inversionista.
Una consideración económica adicional para cualquier estudio de la matemática financiera es la
inflación.
Hay varios comentarios imprescindibles en esta etapa inicial sobre los fundamentos de la inflación: en primer lugar, ésta representa una disminución del valor de una moneda determinada.
El cambio en el valor de la moneda afecta las tasas de
En palabras sencillas, las tasas de
interés del mercado
.
interés bancario reflejan dos cosas: la llamada tasa real de rendimiento
más
la tasa de inflación esperada. La tasa real de rendimiento posibilita que el inversionista compre más de lo que hubiera podido comprar antes de invertir. La inflación contribuye a que ocurra lo siguiente:
La reducción del poder de compra.
El incremento en el IPC (índice de precios al consumidor).
El incremento en el costo del equipo y su mantenimiento.
El incremento en el costo de los profesionales asalariados y empleados contratados por horas.
La reducción en la tasa de retomo real sobre los ahorros personales y las inversiones corporativas.
En otras palabras, la empresarial.
inflación puede contribuir materialmente a modificar el análisis económico individual y
Las ecuaciones y procedimientos de la MATEMÁTICA FINANCIERA emplean los siguientes términos y símbolos. Incluyen unidades de muestra.
P
= valor o cantidad de dinero en un momento denotado como presente o tiempo 0.
También P recibe el nombre de valor presente (VP), valor presente neto (VPN), flujo de efectivo descontado (FED) y costo capitalizado (CC); unidades monetarias
F
= valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro.
unidades monetarias también recibe el nombre de valor futuro (VF);
A
= serie de cantidades de dinero consecutivas, iguales y del final del periodo. A también se denomina valor anual (VA) y valor anual uniforme equivalente (VAUE);unidades monetarias por año, unidades monetarias por mes
i n
= número de periodos de interés; años, meses, días = tasa de diario interés o tasa de retorno por periodo; porcentaje anual, porcentaje mensual; por ciento
t
= tiempo expresado en periodos; años, meses, días.
Los términos
interés
,
periodo de interés
y
tasa de interés
son útiles en el cálculo de sumas de dinero equivalentes para un periodo de interés en el pasado y un periodo de interés en el futuro . Sin embargo, para más de un periodo de interés, los términos
interés simple
e
interés compuesto
se toman importantes.
El
interés simple
cualquier se calcula utilizando exclusivamente el principal e ignorando interés generado en los periodos de interés precedentes. El interés simple total durante varios periodos se calcula de la siguiente manera:
Interés = (principal)(número de periodos)(tasa de interés)
“Donde la tasa de interés se expresa en forma decimal”
Monto Simple: El monto o valor futuro se obtiene al sumar los intereses al capital, es decir: F = P+I Sustituyendo (5) en (6) , obtenemos que: F = P + Pnr = P (1 + nr) donde: F = Monto Simple P = Capital n = Plazo r = Tasa Nominal Problema: Calcular el monto de un capital de $189,000 , con una tasa de interés de 20% simple anual en un tiempo de 11 meses.
Solución: P = $ 189, 000 r = 20% Anual n = 11 meses = 11/12 F = P(1+nr) = 189, 000 [1+(11/12)(0.20)] F = $ 223, 650.00
En el caso del
interés compuesto
, el cada periodo de interés generado durante interés se calcula sobre el
principal más el monto total del anteriores
.
Así, el interés compuesto es un interés sobre el interés. También refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo sobre el
interés acumulado en todos los periodos
interés. El interés para un periodo ahora se calcula de la siguiente manera:
Interés = (principal + todos los intereses acumulados)(tasa de interés)
El valor futuro se obtiene por la capitalización de intereses el cual es el proceso por el que el interés generado, pasa a formar parte del capital, incrementando con ello el capital inicial. El concepto de capitalización, por lo tanto, lleva implícito el manejo de interés compuesto, es decir, F = P (1+i) 𝑛 donde: F = Valor Futuro (Monto) P = Valor Presente (Capital) i% = Tasa de Interés (Compuesta) n = Plazo (1+i) 𝑛 ó : factor de crecimiento.
Problema : Calcular el valor futuro a interés compuesto de 10 años de un capital de $7500 a la tasa de 10% anual capitalizado trimestralmente.
Solución: P = $7, 500 i = 10% Anual cap/trimestre = 10,4% anual n= 10 años F =P (1+i) 𝑛 = 7500(1+0,104) 10 F=$ 20172.14
Es la cantidad que se debe invertir ahora para producir el valor futuro, el cual se puede calcular a partir de la formula P = F/(1+i) 𝑛 donde: P = Valor Presente F = Valor Futuro i% = Tasa de Interés (Compuesta) n = Plazo (1+i) 𝑛 : factor de crecimiento El plazo y la tasa de interés, deben expresarse en la misma base de tiempo. (La base: la unidad de medida es el periodo de capitalización).
La tasa mínima atractiva de retorno es el porcentaje que se usa para hacer las equivalencias entre cumplen con esta dinero condición.
de diferentes períodos; es la tasa de descuento derivada del costo de oportunidad del dinero; el dinero no debe invertirse en alguna alternativa si no puede tener rendimiento al menos tan grande como la TMAR, puesto que es razonable pensar que existan otras alternativas que si Para una corporación, la
TMAR establecida
utilizada como criterio para aceptar o rechazar una alternativa siempre será
superior al costo promedio ponderado del capital
con el que la corporación debe cargar para obtener los fondos de capital necesarios. Por lo tanto, la desigualdad
TIR ≥ TMAR ≥ costo del capital
debe satisfacerse para un proyecto aceptado.
Las entradas (ingresos) y salidas (costos) estimadas de dinero reciben el nombre de
flujos de efectivo
. Dichas estimaciones se realizan para cada alternativa. Sin estimaciones del flujo de efectivo durante un periodo establecido resulta imposible llevar a cabo un estudio de financiero. La variación esperada de los flujos de efectivo indica una necesidad real de un análisis de sensibilidad.
La información necesaria para llevar a cabo las estimaciones puede estar disponible en departamentos tales como contabilidad, finanzas, mercadotecnia, ventas, ingeniería, diseño, manufactura, producción, servicios de campo y servicios computacionales.
Flujo de efectivo neto
= ingresos - desembolso
= entradas de efectivo - salidas de efectivo
Puesto que los flujos de efectivo normalmente tienen lugar en puntos variables del tiempo dentro de un periodo de interés, se adopta un supuesto que simplifica el análisis.
El diagrama de flujo de efectivo
importante en un constituye una herramienta muy análisis económico, en particular cuando la serie del flujo de efectivo es compleja. No es mas que una representación gráfica de los flujos de efectivo trazados sobre una escala de tiempo. La dirección de las flechas del diagrama de flujo de efectivo resulta importante.
Una flecha vertical que apunta hacia arriba indica un flujo de
efectivo positivo
.
Por el contrario, una flecha que apunta hacia abajo indica un flujo de
efectivo negativo
.
El factor fundamental en la matemática financiera es el que determina la cantidad de dinero que se acumula un valor después de años (o periodos), a partir de único presente con interés compuesto una vez por año (o por periodo).
“Nota: interés compuesto se refiere al interés pagado sobre el interés”
FACTOR DE FONDO DE AMORTIZACIÓN
El factor de fondo de amortización de una serie uniforme es el reciproco del factor de cantidad compuesta de una serie uniforme:
F = A n
i
1 F = A n
i
1
FACTOR DE VALOR DE PRESENTE DE UNA SERIE UNIFORME
El factor de valor presente de una serie uniforme es el inverso del factor de recuperación de capital.
P = A
i
1
i
n
n
1 A = P ( 1
i
n
i
)
n
1
Un gradiente
aritmético
es una
serie de flujos de efectivo
que aumenta o disminuye en una cantidad constante. Es decir, el flujo de efectivo, ya sea ingreso o desembolso, cambia por la misma cantidad aritmética cada periodo.
El símbolo G para los gradientes se define como:
G = cambio aritmético constante en la magnitud de los ingresos o desembolsos de un periodo al siguiente; G puede ser positivo o negativo.
Comprender y emplear correctamente las tasas de interés efectivas es importante para la práctica de las finanzas personales. La tasa de
interés nominal, “r”, es una tasa de interés que no considera la capitalización de intereses.
𝒓 = 𝑻𝒂𝒔𝒂 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐)(𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒑𝒆𝒓𝒊𝒐𝒅𝒐𝒔)
Una tasa nominal puede fijarse para cualquier periodo: mes, 1 semana, 1 día, etcétera.
año, meses, trimestre, 1 Por ejemplo, la tasa nominal de r = 1.5% mensual es la misma que cada una de las siguientes tasas:
r = 1.5% mensual x 24 meses = 36% por un periodo de 2 años Mayor que 1 mes = 1.5% mensual x 12 meses = 18% anual = 1.5% mensual x 6 meses = 9% por medio año = 1.5% mensual x 3 meses = 4.5% trimestral = 1.5% mensual x 1 mes = 1.5% mensual = 1.5% mensual x 0.231 mes = 0.346% semanal Mayor que 1 mes Mayor que 1 mes Mayor que 1 mes Igual a 1 mes Menor que 1 mes
La tasa de interés efectiva es la tasa real aplicable a un periodo de tiempo establecido. La tasa de interés efectiva toma en cuenta la acumulación del interés durante el periodo de la tasa nominal correspondiente. Por lo general, se expresa como tasa anual efectiva ia' pero se puede utilizar cualquier periodo como base.
Periodo de tiempo: es el periodo en el que se expresa el interés.
Periodo de
tiempo capitalización o composición (PC): es la unidad de más corta durante la que se paga o gana interés, el cual se identifica por el término capitalización (o composición*).
Frecuencia de
composición: es el número de veces que la capitalización m ocurre dentro del periodo de tiempo t
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