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BIENVENIDOS
Matemáticas Financieras
A lo largo de este módulo,
aprenderás conceptos
básicos sobre Finanzas e
Inversiones, que te
ayudarán en tu trabajo
diario.
Tasa de Interés
La tasa de interés es el porcentaje al que
está invertido un capital en una unidad de
tiempo, determinando lo que se refiere como
"el precio del dinero en el mercado
financiero".
La tasa de interés es fijada por el Banco
central de cada país a los otros bancos y
estos, a su vez, la fijan a las personas por los
préstamos otorgados.
Una tasa de interés alta incentiva al ahorro y
una tasa de interés baja incentiva al
consumo.
BIENVENIDO
AL
INTERÉS SIMPLE
Interés Simple
Comencemos
revisando los
conceptos claves :
Capital, Interés y
Tasa de Interés.
Interés Simple
Si un amigo(a) te pide un préstamo de $10.000, podemos decir que el
CAPITAL que has prestado es de $10.000.
Interés Simple
Si tu amigo(a) promete devolverte $11.000 en un mes más, podemos decir
que obtendrás un interés de $1.000.
Interés Simple
Si tu amigo(a) promete devolverte $11.000 en un mes más, podemos decir
que obtendrás un interés de $1.000.
Interés Simple
Pero además hay otro concepto importante asociado a los dos anteriores.
LA TASA DE INTERÉS, que es el porcentaje que representa el interés sobre el
capital en un periodo determinado.
A este concepto de tasa de interés, también se le denomina RENTABILIDAD en
renta fija.
Interés Simple
En consecuencia, tenemos tres conceptos básicos que serán
permanentemente empleados en operaciones crediticias, Inversiones y
Finanzas en general.
Así abreviaremos :
No confundas interés con tasa de interés. Como
ves son muy diferentes. Cuando ustedes consultan
por rentabilidad, puedes asociarla con el concepto
de TASA DE INTERÉS.
Interés Simple
EJEMPLO : Imagina que vas al banco y ..............
Interés Simple
Veamos ahora si podemos reconocer y aplicar los conceptos revisados.
C
I
i
Interés Simple
A continuación veremos como opera el cálculo de intereses…………..
REVISEMOS EL SIGUIENTE GRÁFICO :
Interés Simple
En el interés simple, el
Capital y la Ganancia por el
interés permanece
invariable en el tiempo.
Interés Simple
Analicemos el caso de un Capital de $10.000 colocado a una Tasa de
Interés de 8% anual durante 5 años :
Veamos ahora cómo funciona, en el siguiente gráfico :
Interés Simple
En el ejemplo anterior, notaste que el interés simple era de $800.
Ello es así porque el interés simple es directamente proporcional al Capital,
a la tasa de interés y al número de períodos.
Matemáticamente, ello se expresa de la siguiente forma:
I=C
I
C
Interés Simple
Capital
x
i
i
n
x
n
Tasa de interés
Período
Interés Simple
El interés Simple posee las siguientes características :
A mayor
CAPITAL
Mayor INTERÉS
A mayor
TASA DE INTERÉS
Mayor INTERÉS
A mayor
N° DE PERÍODOS
Mayor INTERÉS
Interés Simple
Ejercicio 1 :
Si depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes
este ahorro durantes 5 años...
Es necesario precisar que la tasa de interés (i) se expresa
¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto año, si el interés a recibir es
endeporcentaje
(%) y para usarla en una fórmula, es
tipo “SIMPLE” ?
necesario expresarla en decimales.
Seleccionamos la fórmula :
Por Ejemplo :
6% = 0,06 (6 Dividido por 100)I = C x i x n
Reemplazando los valores en la fórmula :
I = 100.000 x 0.06 x 5
Efectuando los cálculos se obtiene :
I = $ 30.000
Interés Simple
A modo de práctica, resolvamos los siguientes ejercicios :
¿ Qué capital colocado al 24% anual producirá al cabo de 6 meses $
24.000 de Interés ?
¿ Qué fórmula usaras ?
¡Muy bien!
Verificando fórmula.....
$200.000 es el
CAPITAL
En este caso “n” = 6 meses o para
“homogeneizar”, 0,5 años.
Correcto, en este caso la incógnita es el Capital, al
despejarla de la fórmula de Interés Simple obtenemos la
fórmula seleccionada.
Interés Simple
Ejercicio 2 :
Si depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes
este ahorro durantes 5 días...
¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto día, si el interés a recibir es
de tipo “SIMPLE” ?
Seleccionamos la fórmula :
El interés que obtendría
usted
es de
I=Cxix
n / 360
$83
Reemplazando los valores en la fórmula :
I = 100.000 x 0.06 x 5 / 360
Efectuando los cálculos se obtiene :
I = $ 83,3
Interés Simple
Los ejemplos y actividades que verás, se
basan en el llamado tiempo ajustado, o
Tiempo comercial, que considera cada mes
como de 30 días. El denominado tiempo real
que tiene meses de entre 28 y 31 días, no se
usará por razones prácticas.
Interés Simple
OJO :
Debemos igualar las unidades de tiempo en
que están expresadas la tasa y el período.
BIENVENIDO
AL
INTERÉS COMPUESTO
Interés Compuesto
El interés simple es necesario de conocer, pero en la práctica se
emplea muy poco. La gran mayoría de los cálculos financieros se
basan en lo que se denomina INTERÉS COMPUESTO.
Al final de cada
período el capital
varía, y por
consiguiente, el
interés que se
generará será
mayor.
Interés Compuesto
Lo más importante que debes recordar es que para efectuar el cálculo de
cada período, el nuevo capital es = al anterior más el interés ganado en el
período.
Interés Compuesto
Revisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para
interés compuesto :
Interés Compuesto
Revisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para
interés compuesto :
Recuerda que el exponente de
(1+i) es igual al número de
períodos.
Interés Compuesto
Un concepto importante que debes recordar,
se refiere a la CAPITALIZACIÓN de los intereses,
es decir, cada cuánto tiempo el interés ganado
se agrega al Capital anterior a efectos de
calcular nuevos intereses.
En general la CAPITALIZACIÓN se efectúa a
Intervalos regulares :
• Diario
• Mensual
• Trimestral
• Cuatrimestral
• Semestral
• Anual
Interés Compuesto
Se dice entonces :
que el interés es “CAPITALIZABLE”, o convertible
en capital, en consecuencia, también gana interés
Obtenemos entonces la siguiente fórmula :
El interés aumenta periódicamente durante
el tiempo que dura la transacción.
IC
=
MC
–
C
El capital al final de la transacción se llama MONTO
Interés Compuesto = Monto Compuesto - Capital
COMPUESTO y lo designaremos MC.
A la diferencia entre el MONTO COMPUESTO y el
CAPITAL (C) se le conoce como INTERÉS
COMPUESTO y lo designaremos por IC.
Interés Compuesto
De acuerdo a lo que ya hemos revisado respecto a INTERÉS COMPUESTO:
Monto Compuesto, al
final del periodo “n”
estaría dado por :
MC = C*(1+i)^n
El factor
En los problemas de
Interés Compuesto el
Principio fundamental
Establece que la Tasa
De Interés y el Tiempo
deben estar en la misma
unidad que establece
la capitalización.
(1+i)^n
Se denomina FACTOR DE
CAPITALIZACIÓN COMPUESTO
Interés Compuesto
Ejercicio 1 :
¿ Cuál es el MONTO COMPUESTO de un CAPITAL de $250.000
depositado a una TASA del 2% mensual durante 8 meses, capitalizable
mensualmente ?
PARE :
Seleccionamos la fórmula :
MC = C * (1+i)^n
Recuerde respetar las prioridades
Operacionales
Reemplazando los:valores en la fórmula :
MC = 250.000
* (1+0.02)^8
1° Resolvemos
el paréntesis.
2° Multiplicamos.
Efectuando los cálculos se obtiene :
MC = $ 292.915
Interés Compuesto
Ejercicio 2 :
Un CAPITAL de $200.000, colocados a una TASA DE INTERÉS COMPUESTO
del 3,5%, capitalizable mensualmente, se convirtió en un MONTO COMPUESTO
de $ 237.537 ¿Cuánto TIEMPO duró la operación?
Seleccionamos la fórmula :
N = Log MC – Log C / Log (1+i)
Reemplazando los valores en la fórmula :
N = Log 237.537 – Log 200.000
/ Log 1,035
Efectuando los cálculos se obtiene :
N = 5,375731267 – 5,301029996
/ 0,01494035 = 4,999969739 = 5
Interés Compuesto
Ejercicio 3 :
Un CAPITAL de $200.000, colocados durante 5 MESES en un banco, se convirtió
en un MONTO COMPUESTO de $ 237.537, capitalizable mensualmente. ¿Cuál
es la TASA DE INTERÉS de la operación?
Seleccionamos la fórmula :
i = (MC / C ) ^ 1/n - 1
Entonces la TASA DE INTERÉS fue de un 3,5 %
mensual.
Reemplazando los valores en la fórmula :
i = ((237.537 / 200.000) ^ (1/5)) - 1
Efectuando los cálculos se obtiene :
i = 1,187685 ^ 1/5 - 1
i = 1,034999772 – 1 = 0,0349998 = 0,035
Interés Compuesto
Ejercicio 4 :
¿ Cuánto CAPITAL depositó una persona, a una TASA DE INTERÉS del 12%
anual, si al cabo de 2 AÑOS tiene un MONTO COMPUESTO de $ 250.000,
capitalizable anualmente ?.
Seleccionamos la fórmula :
Entonces el CAPITAL DEPOSITADÓ fue de
C = MC / (1 + i)^n
$ 199.298
Reemplazando los valores en la fórmula :
C = 250.000 / (1 + 0,12)^2
Efectuando los cálculos se obtiene :
C = 250.000 / 1,2544 = $ 199.298
Interés Real y Nominal
El ultimo concepto que revisaremos en esta lección se refiere a INTERÉS REAL.
Los
conceptos
y ejercicios
que hemos
Como
muchos
otros bienes,
el dinero se deprecia
en el tiempo
(tiene
un menor valor).
En el caso
del dinero,
esto se produce
desarrollado
hasta
ahora,
siempre
han
por el efecto que tiene sobre él un fenómeno denominado INFLACIÓN.
considerado el interés NOMINAL.
La inflación tiene un efecto directo sobre la rentabilidad que exigirá
un Inversionista respecto de su inversión.
No obstante, ustedes se deben interesar
El interés
que se pacta
normalmente,
no o
tiene
en cuenta el efecto de
siempre
por
el interés
rentabilidad
la INFLACIÓN. Se le denomina INTERÉS NOMINAL.
REAL de su inversión.
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Inflación y tasas de interés
Inflación:
Aumento sostenido en el nivel general de precios.
Normalmente medido a través del cambio en el IPC
En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o poder
adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un año
más.
Periodo 0
Periodo 1
(Año 0)
(Año 1)
$100
$100
Si π = 25%
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Inflación y tasas de interés
...continuación...
La tasa de interés (conocida como tasa nominal) deberá
incorporar:
A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un monto ahora o
en el futuro (valor dinero en el tiempo) (tasa real)
B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poder
adquisitivo (tasa inflación)
La ecuación que relaciona las tasas nominal y real, es conocida
en la literatura con el nombre de igualdad de Fischer:
1  i   1    * 1  r 
B
A
Donde
i = tasa de interés nominal
r = tasa de interés real
 = Tasa de inflación
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Inflación y tasas de interés
...continuación...
RESUMEN:
2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real)
* Poder adquisitivo
(inflación)
Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10%
Año 0
Si
r = 10%
$1000
Año 1
$1100
Paso 2: Valora costo de oportunidad y además;
Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25%
Año 1
$1100
Si
π = 25%
Año 1
$1375
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Inflación y tasas de interés
...continuación...
Ejemplo:
Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interés
nominal anual del 37,5% y me encuentro en una economía
donde la inflación es del 25% anual.
¿ Cuál es la tasa real correspondiente ?
¿ cuánto es mi capital nominal al final del año ?
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Inflación y tasas de interés
...continuación...
Si: ( 1 + i ) = ( 1 + ) * ( 1 + r )
Donde =0,25 y i =0,375
Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r)
(1+r) = 1,1
r = 10%
Si el capital inicial es C0 = $ 500
Entonces: C1 = C0*(1+i)
= 500*(1,375)
C1= $ 687,5
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Inflación y tasas de interés
...continuación
Nota importante
La evaluación de proyectos utiliza tasas de interés reales y
por tanto flujos reales, de esta forma se evita trabajar con
inflaciones que normalmente tendrían que ser estimadas a
futuro con el consiguiente problema de incertidumbre.
Interés Real y Nominal
El interés REAL, es el ajuste que debe efectuarse
al interés NOMINAL para que refleje correctamente
la inflación del período.
En otras palabras, el interés REAL refleja el “PODER
ADQUISITIVO” de la rentabilidad obtenida en una
inversión.
Si la inflación es positiva, siempre el interés REAL
será menor que el interés NOMINAL.
Interés Real y Nominal
El impacto de la inflación se puede estimar. Ello es
necesario, para muchas decisiones financieras donde
lo que realmente importa es la rentabilidad REAL.
Interés Real y Nominal
IPM
REAL
IPC
NOMINAL
REAL
NOMINAL
INFERIOR
IPC
NOMINAL
SIMPLE
NOMINAL
REAL
REAL
INFERIOR
IPM
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
MATEMÁTICA FINANCIERA
Temario
 Valor del dinero en el tiempo
 Valor futuro y valor actual
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor del dinero en el tiempo
Corresponde a la rentabilidad que un agente
económico exigirá por no hacer uso del dinero
en el periodo 0 y posponerlo a un periodo futuro
 Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro.
 Un monto hoy puede al menos ser invertido en el banco
ganando una rentabilidad.
La tasa de interés (r) es la variable requerida para
determinar la equivalencia de un monto de dinero en dos
periodos distintos de tiempo
La sociedad es un participante más que también tiene
preferencia intertemporal entre consumo e inversión
presente y futura.
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor del dinero en el tiempo
...continuación...
Ejemplo
Un individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) de $1.000 por una sola vez
y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner el dinero en
el banco.
a) ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasa
rentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de
10% ?
1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad)
100 + 1000 = 1.100 (valor dentro de un año)
Periodo 0
(Año 0)
$1.000
Si r = 10%
Periodo 1
(Año 1)
$1.100
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor del dinero en el tiempo
...continuación
b) ¿ Cuál sería el monto final disponible para consumir dentro de un
año si consume $200 hoy ?
1.100
1.000
(200, 880)
800
Consumo total= 200 + 880 = 1.080
400
(800, 220)
200
Periodo 0
1.000
900
800
700
600
500
400
300
0
200
Si C0=200,
C1=(1000-200)*1,1= 880
(500, 550)
100
Entonces
C1 = (Y0 – C0)*(1+r)
600
0
Periodo 1
Si :
 Sólo hay sólo 2 periodos
 Ingreso sólo hoy (Y0=1.000)
 Puede consumir hoy o en un año
(C0, C1)
 Rentabilidad exigida por no
consumir hoy: r=10%
1.200
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
VALOR FUTURO
Sólo 1 periodo
Año: 0
1
VA
VF
VF  VA * 1  r 
Donde:
r = tasa de interés
Año: 0
Si son 3 periodos
1
2
3
VF
VA
VF  VA * 1  r 1  r 1  r   VA 1  r 
Caso General:
VF  VA * 1  r 
n
3
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
...continuación...
VALOR ACTUAL
Año: 0
Caso 1 periodo
VA
1
VF
VA 
Año: 0
Caso 3 periodos
1  r 
1
Donde:
r = tasa de interés
2
3
VF
VA
VA 
Caso General:
VF
VF
1  r  * 1  r  * 1  r 
VA 
VF
1  r 
n

VF
1  r 3
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
...continuación...
Ejemplos VF y VA:
a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%.
¿Cuál será su valor al final del tercer año?
Año
Año
Año
Año
0:
1:
2:
3:
1.000
1.000 * (1+0,12) = 1.120
1.120 * (1+0,12) = 1.254
1.254 * (1+0,12) = 1.405
Alternativamente:
VF= 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
...continuación
Ejemplos VF y VA:
b) Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa de
interés anual es de 15%.
¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?
Año
Año
Año
Año
Año
4:
3:
2:
1:
0:
3.300
3.300 / (1+0,15) = 2.869,6
2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3
2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8
2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8
Alternativamente:
VA= 3.300 / (1+0,15)4 = 3.300 / 1,749 = 1.886,8
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
...continuación
Ejemplos VF y VA:
Caso especial
c) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3.
¿Cuál será la tasa de interés anual relevante?
VF=
1.000 * (1+r)3 = 1.643
(1+r)3 = 1,64
(1+r) = (1,64)1/3
1+r = 1,18
r = 0,18
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Tasas de interés compuesta y simple
Tasa de interés compuesta
Corresponde al mismo concepto asociado a la conversión de un valor
actual (VA) en un valor final (VF) y viceversa.
El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así por ejemplo,
luego del primer periodo se suma el capital más los intereses ganados
y este total es el que gana intereses para un segundo periodo.
VF  VA * 1  r 
VA 
VF
1  r n
n


VF = Monto capitalizado (valor final)
VA = Inversión inicial (valor actual)
r = tasa de interés del periodo
n = número de períodos
(1+r) n : Factor de capitalización
1
(1+r) n : Factor de descuento
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Tasas de interés compuesta y simple
...continuación...
Tasa de interés simple
Concepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención,
pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo.
El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalice
periodo a periodo con los intereses ganados
VF  VA * (1  r * n )
VA 
VF
1  r * n 

VF = Monto acumulado (valor final)
VA = Inversión inicial (valor actual)
r = tasa de interés del periodo
n = número de períodos

1
(1+r*n) : Factor descuento simple
(1+r*n) : Factor acumulación simple
PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Tasas de interés compuesta y simple
...continuación...
Ejemplo tasa interés compuesta versus tasa interés simple
Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%.
¿Cuál será su valor al final del tercer año?
Con tasa interés compuesta:
C = 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405
1000
1120
1+r
1254
1+r
1405
1+r
Intereses ganados:
Año 1: $ 120
Año 2: $ 134
Año 3: $ 151
Con tasa interés simple:
C = 1.000 * (1+0,12*3) = 1.000 * 1,36 = 1.360
1000
1360
1+r*3
Intereses ganados:
Año 1: $ 120
Año 2: $ 120
Año 3: $ 120
Interés Real y Nominal
A continuación resolveremos unos
ejercicios, que nos ayudarán a determinar
si has adquirido los conocimientos
entregados en esta LECCIÓN.
NIVEL II
Responde las siguientes preguntas para que puedas verificar tu avance :
La diferencia fundamental entre interés SIMPLE y COMPUESTO
es que en el cálculo del interés SIMPLE, el capital es constante,
en cambio en el interés COMPUESTO, el capital va aumentando
según se capitalizan los intereses ganados.
El cálculo del interés COMPUESTO es poco empleado en la
practica.
Los conceptos claves para resolver problemas de INTERÉS
SIMPLE son : CAPITAL, INTERÉS, TASA DE INTERÉS y PERÍODO
TIEMPO.
La fórmula básica para resolver un problema de interés simple
es :
i=C*I*n
Ejercicios
¿ Cuál es la alternativa correcta ?
Si una persona invierte $30.000 a un interés
simple de 7% anual, al final de un período de
30 años, habrá obtenido un interés de :
a) $63.000
b) $90.000
c) $42.000
d) $65.000
e) Ninguna de las anteriores
Ejercicios
¿ Qué opciones son correctas ?
Marca aquellas sentencias que consideres
correctas, respecto al interés compuesto:
a) Es aquella que se utiliza en las aplicaciones
financieras prácticas.
b) Debe especificar un período de capitalización
c) Si la inflación es 0, el interés nominal siempre
será mayor al interés real en un mismo período
de tiempo.
d) Ninguna de las anteriores
Ejercicios
¿ Qué opciones son correctas ?
Marca aquellas sentencias que consideres
correctas, respecto al interés real:
a) El interés real es siempre compuesto.
b) Es aquel que tiene incorporado el efecto de la
inflación.
c) Si la inflación medida por el IPC, es positiva, el
interés nominal será siempre mayor que el real.
d) Ninguna de las anteriores.
CONCLUSIÓN FINAL
En este módulo hemos revisado conceptos
claves que son permanentemente utilizados
en tú desarrollo profesional :
1) Definimos Capital, Interés y Tasa de Interés
2) Interés Simple y ejemplos.
3) Interés Compuesto y ejemplos.
4) Analizamos el impacto de la inflación sobre el
interés o la rentabilidad de una inversión.
5) Interés nominal v/s Interés real.