Transcript شرایط اولیه
به نام خدا
سمینار درس روشهای
عددی
عنوان :روش های بسط
سری
1
ارایه :وحید
اناری
مقدمه
2
مبانی روش های بسط سری بر اساس حل معادله
زیر شرح داده می شود:
معادله مشتق جزئی:
f
(که در آن Hاپراتور مشتق
H( f ) 0
t
است).
ئط مرزی و اولیه زیر حل شود:
شرایط اولیه:
)f ( x, t0 ) f 0 ( x
می بایست شرایط مرزی داده شده را نیز برقرار کند.
روش بسط سری
3
ایده اساس روش های بسط سری وابستگی فضایی تابع
به
یک ترکیب خطی از توابع معلوم
fو
) i (x
عنوان توابع بسط دهنده می باشد.
)f ( x, t ) ai (t )i ( x
i 1
توابعi ( x
)i 1
L2
می بایست فضای
را بگسترانند (.یک فضای هیلبرت با تعریف ضرب
داخلی توابع)
*
g , f g ( x) f ( x)dx
S
دهنده می بایست شرایط مرزی را برقرار کنند.
روش بسط سری
4
در روش های عددی محاسبه مجموع تعداد نامحدود
ممکن نیست ،پس توابع بسط را به Nتابع
N
محدود می کنیم:
)fˆ ( x, t ) ai (t )i ( x
i 1
ضرائب
یافتن( a1
بهt ),...,aN
در نتیجه حل معادله ) (t
در ادامه هدف کاهش خطای تقریب فوق است.
روش بسط سری
5
در راه حل
واقعی خطای
اگرچه مقدار
ˆf f
تقریبی قابل محاسبه نمی باشد ،راه های عملی
خطای باقیمانده می
برای حداقل کردن خطایی که ˆ
f
f
H( f ) 0
>=<
باشد وجود دارد H ( fˆ ) R( fˆ ):
t
t
تابع
معادله را از ˆf
حالت تساوی خارج میکندR = .
روش های حداقل کردن خطا:
1.) minimise the l2-norm of R
2.) collocation strategy
3.) Galerkin approximation
).شرح در اسالید های بعدی(
هریک از روش های فوق به یک دستگاه معادالت
Nتایی از معادالت دیفرانسیل معمولی از
توابع زمانی ai(t), i=1,…,Nمنتهی می شوند.
روش بسط سری
6
روش های محدود کردن مقدار باقیمانده:
محاسبه )ai(t
1.) Minimisation of the l2-norm of the residual
بطوریکه نرم 2زیر حداقل شود:
1/ 2
S R ( fˆ ( x)) R( fˆ ( x))dx
*
1/ 2
) ˆR( fˆ ) R( fˆ ), R( f
2
2.) Collocation method
محدود کردن باقیمانده بطوریکه در نقاط گسسته
ای از شبکه تعریف شده صفر باشد.
R( fˆ ( xi )) 0 for all i 1,...,N
3.) Galerkin approximation
ملزم کردن ، Rتابع باقیمانده به عمود بودن به
تابع.
هریک از توابع استفاده شده در بسط
for all i 1,..., N .
i , R( fˆ ) R( fˆ ( x)) * ( x)dx 0
i
S
روش بسط سری
7
له ( )1به فرم بسط سری:
ˆf
) ˆ H ( fˆ ) R( f
t
شروع کار با معادله روبرو
است که معادل رابطه ( )1است:
بسط در معادله و استفاده از روش گلرکین:
for all j 1,..., N
ˆ
f j , H ( fˆ ) j , R( fˆ ) 0
t
j,
)تقریب گلرکین( =0
for all j 1,..., N
N
da
*
*
i
dx
aii )dx 0
S j i dt S j H (
i 1
N
i 1
>=
روش بسط سری
8
اولیه در روش بسط سری:
)(2
شرایط اولیه:
)f ( x, t0 ) f 0 ( x
N
)f ( x, t0 ) ai (t0 )i ( x) r f 0 ( x
i 1
) fˆ ( x, t0
ضرایبai (t0 ), i
محاسبه 1,...,N ,
بطوریکه
f 0 ( x).
) fˆ ( x, t0
بهترین تقریب از شرایط
اولیه
باشد.محدودیت روش گلرکین بر
تکنیک دیگر اعمال
باقیمانده Rاست بطوریکه rرا حداقل کند.
) j , f ( x, t0 ) j , fˆ ( x, t0 ) j , r j , f 0 ( x
for all j=1,…, N.
)تقریب گلرکین( =0
afi(ˆ(tx0,)t0)i 1,. .,N
روش بسط سری
9
:شرایط اولیه
j , i 1 ai (t0 )i j , f 0
N
for all j=1,…, N.
N
*
*
a
(
t
)
(
x
)
(
x
)
dx
i 0 j i
j ( x) f 0 ( x)dx for all j=1,…, N.
S
i 1
S
w j ,i
=>
W a (t0 ) f 0
f0 j
روش بسط سری
10
ی از معادالت بدست آمده :
دله دیفرانسیل(:)1
for all j 1,..., N
N
dai
*
aii )dx 0
S i dx dt S j H (
i 1
*
j
شرایط اولیه:
for all j 1,..., N
dx a (t ) ( x) f ( x)dx
N
0
*
j
S
0
i
i
*
j
S
شرایط
مرزی:
کلیه توابع بسط دهنده باید
شرایط مرزی معادله را برقرار کنند.
تقریب پاسخ
i 1
N
i 1
روش بسط سری
11
آنچه تا کنون بدست آمده است:
تبدیل معادله مشتق جزیی به یک دسته معادله دیفرانسیل معمول
مزیت اصلی روش بسط سری در انتخاب توابع بسط دهنده بر اساس
تابع Hوشرایط مرزی مساله می باشد
اپراتور Hرا بدانیم
به عنوان مثال اگر توابع
ویژهH (ei ) i e
i
و آنها را به عنوان توابع بسط دهنده انتخاب کنیم مساله به شکل
for all j 1,..., N
N
dai
*
aii )dx 0
S i dx dt S j H (
i 1
for all j 1,..., N
*
j
dai
*
S e j ei dx dt i ai 0
i 1
N
N
i 1
روش بسط سری
اگر توابع
12
eiمتعامد و نرمالیزه باشند:
e j , ei e*j ( x)ei ( x)dx j ,i
S
1 for i j
0 for i j
i, j
where
مجموعه معادالت ( )12به Nمعادله دیفرانسیل
معمولی مستقل برای ضرایب aکه توابعی از زمان
هستند تبدیل می شود.
d
a j (t ) j a j (t ) 0 for all j 1,..., N
dt
این معادالت بطور تحلیلی
قابل حل هستند!!!
روش های The Spectral Method
13
طیفی
طیفی را از سایر روش های بسط
ویژگی که روش های
سری متمایز می کند :
متعامد هستند.
توابع بسط دهنده یک مجموعه
*
i ( x) j ( x)dx wi i, j
S
حالت دستگاه معادالت به شکل زیر
ساده میشود
for all j 1,..., N
N
H ( a )dx
i
i
i 1
*
j
S
da j
1
dt
wj
در این حالت معادالت صریحی بر حسب a jبدست می آید
The Spectral Method روش های
14
:طیفیزیر ساده می شوند
شرایط اولیه به شکل
1
*
a j (t0 )
for all j 1,..., N
j ( x) f 0 ( x)dx
wj S
<=>
Where
a (t0 ) f 0
i, j
1
wi
for i j
0
for i j
روش های The Spectral Method
15
طیفی معادله (:)1
خالصه ای از توصیف
طیفی
انتخاب توابع بسط دهنده از یک
مجموعه متعامد:
* ( x) ( x)dx w
i i, j
i
j
S
معادله دیفرانسیل زیر:
for all j 1,...,N
N
H ( a )dx
i
i
*
j
i 1
S
daj
1
dt
wj
شرایط اولیه:
for all j 1,..., N
شرایط مرزی:
( x) f ( x)dx
0
*
j
S
1
wj
a j (t0 )
کلیه توابع بسط باید شرایط مرزی را ارضا کنند.
نتیجه این انتخاب برقرار بوذن شرایط مرزی توسط پا
16
The Spectral Method روش های
طیفی
انتخاب خانواده توابع متعامد بسط دهنده وابسته به
شکل هندسی فضای پاسخ-1
شرایط مرزی مسئله-2
:مثال
Rectangular domain with periodic boundary conditions: Fourier series
Non-periodic domains: (maybe) Chebyshev polynomials
Spherical geometry: spherical harmonics
روش های The Spectral Method
مثال :1
بعدی
همرفتی حرارت یک
معادله
طیفی
سرعت انتقال : uثابت
)دامنه مسئله(
)شرایط مرزی متناوب(
f
f
u
0
t
x
0 x 2
) f ( x, t ) f ( x n 2 , t
H
u
Hتابع
اپراتور
در این مساله
x
17
توابع بسط دهنده را توابع ویژه اپراتور Hدر نظر م
imx
e imeimx
x
روش های The Spectral Method
18
همرفتی حرارت یک
مثال :1معادلهطیفی
یه بعدی(
ادامه)اپراتور مشتق هستند:
توابع ویژه
imx
e ime imx
x
متعامد نیز هستند:
2
einx , eimx e inx eimx dx 2 n ,m
0
پس تابع fرا با یک سری محدود از آنها Mتقریب می ز
imx
a
(
t
)
e
m
fˆ ( x, t )
m M
با اعمال تکنیک گلرکین به دستگاه معادالت زیر می ر
for all M m M
) dam (t
i m u am (t ) 0
dt
19
The Spectral Method روش های
طیفی
همرفتی حرارت یک
معادله:1 مثال
)بعدی( ادامه
da m (t )
i m u am (t ) 0 for all M m M
dt
:دالت به صورت تحلیلی حل می شوند
am (t ) am (0) e imut
f ( x, t )
M
am (0)e
m M
:بی بصورت زیر خواهد بود
i mu t i m x
e
M
i m( x u t )
a
(
0
)
e
f0 ( x u t)
m
m M
روش های The Spectral Method
غیر خطی
مثال :2معادلهطیفی
همرفتی حرارت یک بعدی
f
f
) u ( x, t
0
t
x
0 x 2
)دامنه پاسخ(
)f ( x,0) f 0 ( x
)شرایط اولیه (
)شرایط اولیه متناوب(
20
) f ( x, t ) f ( x n 2 , t
تقریب پاسخ fبه سری محدود فوریه و اعمال تکنیک
گلرکین:
2
M
im am u ( x, t ) ei ( m k ) x dx
0
m M
dak
1
dt
2
21
The Spectral Method روش های
طیفی
غیر خطی
معادله:2 مثال
بعدیuیک
حرارت
همرفتی
f بطور همزمان با تابع
تابع
اینکه
با فرض
M
:فوریه محدود زیر باشد
متناوب باشد و دارای بسط
u ( x, t ) un (t ) ein x
n M
dak
1
dt
2
<=>
M
M
m M n M
:آن در پاسخ بدست آمده
2
im un (t ) am (t ) ei ( n m k ) x dx
dak
i m un (t ) am (t )
dt
n mk , m , n M
0
2 nm,k
Compact, but costly to
evaluate, convolution sum!
با
تشکر
از