Transcript Kuliah 11 Power Series

Power Series (Deret Pangkat)
Deret Pangkat
• Definisi:
Sebuah deret yang mempunyai bentuk:
a0  a1 x  a2 x 2  ...   an x n
n 0
dimana a0 , a1 , a2 ,... adalah konstanta, dinamakan deret
pangkat (power series) di dalam x.
• Pada umumnya deret pangkat konvergen untuk |x| <
R dan divergen untuk |x| > R, dimana konstanta R
disebut jari-jari konvergensi dari deret tersebut.
• Untuk |x| = R, deret tersebut dapat konvergen dan
dapat juga divergen
Teorema Mengenai Deret Pangkat
• Teorema 1:
Sebuah deret pangkat konvergen uniform dan
konvergen mutlak di dalam setiap interval
yang terletak seluruhnya di dalam interval
konvergensinya
Bukti: Tugas
Teorema Mengenai Deret Pangkat
• Teorema 2:
Sebuah deret pangkat dapat didifferensialkan
atau diintegralkan suku demi suku pada
sebarang interval yang terletak seluruhnya di
dalam interval konvergensinya. Juga jumlah
dari deret pangkat konvergen kontinu di
dalam sebarang interval yang terletak
seluruhnya di dalam interval konvergensinya.
Teorema Mengenai Deret Pangkat
• Teorema 3 (Teorema Abel):
Bila sebuah deret pangkat konvergen sampai
ke sebuah titik ujung, maka interval
konvergensi uniformnya juga akan
membentang sampai mengikutsertakan titik
ujung ini.
Bukti: Tugas
Teorema Mengenai Deret Pangkat
• Teorema 4 (Teorema Limit Abel):
Jika anxn konvergen di x = x0 yang merupakan
titik di dalam atau di ujung interval
konvergensinya, maka





n
n
lim  an x    lim an x   an x0n
x  x0
n 0
 n 0
 n0 x x0
Operasi Pada Deret Pangkat
• anxn dan bnxn dapat dijumlah dan dikurangkan
suku demi suku  x yang termasuk pada intervalinterval konvergensinya
• anxn dan bnxn dapat dikalikan menjadi cnxn,
dimana:
cn = a0bn + a1bn-1 + a2bn-2 + ... + anb0
dan hasil tersebut berlaku  x di dalam interval
konvergensi bersama dari kedua deret pangkat
tersebut.
Example 1
3
5
7
x
x
x
tan 1 x  x     ...
3 5 7
• Buktikan bahwa
dimana deret ini konvergen uniform pada
1 ≤ x ≤ 1

1 1 1
• Buktikan bahwa 4  1  3  5  7  ...
Example 2
• Hitung
 x2
1 e
0 x 2
1
dx
sampai akurasi 3 desimal
Exercise
Advanced Calculus, 2nd ed, no. 11.100 – 11.107