Transcript Document 9653481

Matakuliah
Tahun
: K0094 / Analisis Real
: Tahun 2008
Pertemuan 20
DERET FUNGSI
Sasaran
Pengkajian tentang
Teorema Stone-Weierstrass dan
Deret Pangkat
Pokok Bahasan
Teorema Stone-Weierstrass
dan
Deret Pangkat
Teorema
(Teorema Stone-Weierstrass)
Misalkan X adalah ruang metrik yang kompak dan A
adalah aljabar dari fungsi – fungsi yang bernilai real
dan kontinu pada X yang memisahkan titik – titik
dari X yang juga memuat fungsi – fungsi konstan.
Maka bila diberikan fungsi berharga real yang
kontinu sebarang pada X dan sebarang >0,
terdapat fungsi g dalam A sedemikian sehingga
untuk semua x dalam X berlaku |g(x) – f(x)| < .
Akibat
Setiap fungsi kontinu pada him-punan X yang
terbatas dan tertutup dalam Rn dapat didekati
secara uniform pada X dengan polinomi.
Definisi
Diberikan barisan dari bilangan – bilangan nyata
{ck} dengan k=0,1,2,…. Yang dimaksud dengan domain

konvergensi dari deret
c x
k 0
k
k
adalah himpunan dari
semua bilangan – bilangan x sedemikian sehingga deret
tersebut konvergen, dan diberi notasi D.
Definisi (Lanjutan)
Definisikan fungsi f:DR di mana
 n
k
f ( x )  Lim   c k x  
n
k 0


k
c
x
 k
k 0
untuk semua x dalam
D,
dan disebut ekspansi deret pangkat. D disebut domain dari
konvergensi ekspansi.
Contoh
(1)k x k
Pandang deret  k  2
k 0

. Tetapkan bilangan x. Karena
(1) k 1 x k 1
k 3
Lim
k 
(1) x
k2
k
k
x
,
maka dengan Tes Rasio untuk deret diperoleh bahwa deret di atas konvergen bila
|x|<1 dan divergen bila |x|>1. Untuk x=1, dengan Alternating Series Test diperoleh
bahwa deret di atas konvergen. Untuk x=-1, Tes Integral memperlihatkan bahwa
deret tersebut divergen. Jadi domain konvergensi dari deret pangkat di atas adalah
interval (-1,1].
Contoh

Pandang deret

k! x k
k 0
. Untuk bilangan sebarang yang tidak sama

dengan nol, suku – suku deret
 k! x
k 0
k
tidak konvergen ke 0, jadi deret

tidak konvergen. Jadi domain konvergensi dari deret pangkat
hanya terdiri dari titik x=0.

k 0
k! x k
Definisi
Misalkan A adalah himpunan bagian dari domain

k
c
x
konvergensi dari deret pangkat  k
. Definisikan fungsi
k 0
f:ARdengan

f ( x)   ck x k untuk semua x dalam A,
k 0
Definisi (Lanjutan)
dan untuk setiap bilangan alam n, definisikan fungsi s n:AR dengan
sn ( x ) 


k 0
ck x k
untuk semua x dalam A.

Deret
k
c
x
 k
k 0
dikatakan konvergen uniform pada A bila barisan dari
jumlah – jumlah parsial {sn:AR} konvergen uniform ke fungsi f:A R.
Lemma

Deret pangkat
c
k 0
k
x
k
konvergen uniform ke himpunan A
bila:
Terdapat bilangan positif M dan bilangan , 0   < 1 sedemikian sehingga untuk setiap bilangan alam k,
ck x  M 
k
k
untuk semua x dalam A.
Teorema
Misalkan bilangan x0 yang tidak sama dengan nol terletak dalam domain

k
x
c
 k
konvergensi dari deret pangkat k 0
. Misalkan r adalah bilangan positif
sebarang dan r<|x0|. Maka interval [-r,r] termuat dalam domain konvergensi

k
c
x
 k
dari deret pangkat k 0

dan juga termuat dalam domain konvergensi
k 1
k
c
x
 k
dari deret pangkat k 1
.
Teorema (Lanjutan)
Lebih dari itu, deret – deret pangkat


k
c
x
 k
k 0
dan
k 1
x
c
k
 k
k 1
konvergen uniform pada interval [-r,r].
Teorema
Misalkan r adalah bilangan positif sedemikian sehingga

k
c
x
(-r,r) terletak dalam domain konvergensi dari deret  k .
k 0
Definisikan

f ( x)   ck xk
k 0
bila |x|<r.
Teorema (Lanjutan)
Maka fungsi f:(-r,r)R punya derivatif dari semua tingkat.
Untuk setiap bilangan alam n,



dn
dn
k


f
(
x
)

c
x

bila |x|<r,
k
n
dxn
dx
k 0
sehingga pada khususnya
f ( n ) (0)
 cn .
n!
Teorema
Untuk setiap bilangan x, deret
(1)k 2k
x

k 0 (2k )!

konvergen. Definisikan
(1)k 2k
F(x)  
x untuk semua x.
k0 (2k)!

Teorema (Lanjutan)
Maka fungsi F:RR punya derivatif dari semua tingkat dan
memenuhi persamaan differensial



F’’(x) + F(x) = 0 untuk semua x,
F(0) = 1, F’(0) =0.