Transcript kal 2 MODUL 15

DERET FUNGSI:
Bentuk umum :
un (x) = u1(x)+ u2(x)+ u3(x)+ u4(x),………….+ un(x)…
un (x) = suku umum deret fungsi berupa fungsi dari x.
Contoh – contoh :
Deret kuasa :
1. Cn xn = C0+ C1 x + C2 x2 + C3 x3 + …………
Deret kuasa dalam (x-a)
2. Cn (x-a)n = C0+ C1 x + C2 x2 + C3 x3 + …………

Interval Konvergensi Deret kuasa :  C n x
n0
Dengan Test Rasio :
Jika lim
n 
C n 1
L
maka deret
 Un
Cn
Konvergen jika |L x | < 1  |x| <
Divergen jika |L x | > 1 |x| > 1
L
1
L
n
Cn
Atau dengan cara yang sama :Jika
lim

n 
maka deret
 Un
C n 1
Konvergen jika |L x | < 1  |x| < 
Divergen jika |L x | > 1 |x| > 
Untuk x =  dan x = -  deret diselidiki lebih lanjut konvergensinya.
disebut jari-jari konvergensi
Contoh :
Selidiki interval konvergensi dari x untuk deret fungsi berikut:


n 1
2
Jawab:
n 1
n
2
  lim
n 
x
n
1
Cn
C n 1
 lim (
x 
2
(n
2
n 1
( n  1)  1
2
 1)
2
n
)  1/ 2
Deret konvergen |x| < ½  - ½ < x < ½
Untuk x = ½ deret menjadi


n 1
2
n 1
n
2
x
n
1



n 1
2
n 1
(1 / 2 )
n 1
2
n


 2(n
n 1
1
2
 1)
Dicek konvergensi dengan Qoutien Test :
Ambil deret hiperharmonis  1
yang konvergen maka
 n2
n 1
lim
n 
un
vn
 lim
n 
1 /( 2 ( n  1))
2
1/ n
 lim
2
2
n
n 
2 ( n 1)
2

1
0
2
Jadi untuk x = ½ deret konvergen.

Untuk x = -½ deret menjadi =

n 1
2
n 1
n
2
x
n


1

2
n 1
(1 / 2)
n
n 1
2
n 1



n 1
(  1)
2 ( n  1)
Merupakan deret berayun dengan menggunakan Test Liebniz:
( a ). lim |u n |
n 
( b ) U n )1 
lim |
n 
(  1)
(  1)
2 ( n 1)
n
2{( n  1)  1}
2
n
2

| 0
(  1)
n
2n  4n  3
2
>
U
Jadi untuk x = - ½ deret juga konvergen///
Kesimpulan:
Deret konvergen - ½ ≤ x ≤ ½
Deret divergen x < ½ atau - ½ < x
n

(  1)
2(n
2
n
 1)
n
untuk n>1
2
2. Selidiki interval konvergensi dari x untuk deret fungsi berikut:


n 1
Jawab:
  lim
n 
Cn

lim
n 
( 2 n  1)!
1
( 2 n  1)!
x
n 1
( 2 n  1)!
 
1
C n 1
Deret konvergen -
<x<
Menguraikan

Fungsi menjadi deret Pangkat
Suatu fungsi f(x) dapat diuraikan menjadi deret pangkat dalam x dan dalam
(x – a) , jika fungsi f(x) ada turunan-turunannya di x=0 dan x=a.
1.Deret Taylor:
Fungsi f(x) diuraikan ke dalam deret pangkat (x-a) disebut deret Taylor sebagai berikut :
.f(x) = f(a) +
f '(a )
(x  a) 
1!
f " (a )
3
(x  a) 
2
f (a )
2!
( x  a )  .........
3
3!



n0
n
f (a )
(x  a)
n!
Deret Mac Laurin:
Fungsi f(x) diuraikan ke dalam deret pangkat dalam x disebut deret Mac- Laurin
sebagai berikut :
.
f (0)
f ' (0)
f " (0)
f (0)
x
f ( x )  f (0) 
x
x 
x  .........  
n!
1!
2!
3!

3
2
n
n
3
n0
n
. Contoh:
1.Deretkan ke deret Taylor f(x) = lnx di a = 1
Jawab :
deret Taylor sebagai berikut :
.
3
f '(a )
f " (a )
f (a )
2
3
f(x) = f(a) +
(x  a) 
(x  a) 
( x  a )  ......... { di a =1 }
1!
2!
3!
.f(1) = ln 1 = 0
. f’(x ) = 1  f’(1) = 1 = 0 !
x
.f”(x) = -
x
. f 3(x) = 2
 f”(1) = -1 = - 1!
1
2
1
x
3
 f3(1)= 2 = 2!
1
. f (x) = - 2 . 3 x 4  f 4 (1) = - 2. 3 = -3 !
deret Taylor sebagai berikut :
f(x)= ln x = 0 + 0! ( x  1)  1! ( x  1) 2  2! ( x  1) 3
4
.
1!
2!
3!
 .........


atau Ln x =
n 1
(  1)
n
n 1
( x  1)
n
. 2.Deretkan ke deret Mac Laurin f(x) = e-x
Jawab
.f(0)= e0 = 1
f’(x ) = - e-x  f’(0) = -1
.f”(x) = e-x  f”(0) = 1
. f 3(x) = - e-x  f3(0)= -1
. f 4 (x) = e-x  f 4 (0) = 1
deret Mac Laurin sebagai berikut :
3
f(x) = f(0) + f ' ( 0 ) x  f " ( 0 ) x 2  f ( 0 ) x 3  .........
1!
e-x
1
=1-
1!
2!
x 
1
2!
3!
x
2

1
x

3
 .........
3!
TUGAS:
Selidiki interval konvergensi deret fungsi berikut :

1. 
n 1

2. 
n 1
8
n 1
x
n
3n  1
n
3 x
n 1
( 2 n  1)
2

e-x
= 
n0
(  1)
n!
n
x
n
1
. 3. Deretkan ke deret Taylor f(x) = 4 x  8 di a = 2
4. Deretkan ke deret Mac Laurin f(x) = sin2 x
5. Deretkan ke deret Mac Laurin f(x) = ln (x+1)