Transcript Barisan dan Deret

Barisan
Barisan Tak Hingga
Kekonvergenan barisan tak hingga
Sifat – sifat barisan
Barisan Monoton
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
1
Barisan Tak Hingga
Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan
−bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli.
Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam
bentuk a1,a2,…,an. a1 menyatakan suku ke–1, a2 menyatakan suku
ke–2 dan an menyatakan suku ke–n.
Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana
daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga
adalah
an
n1
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
2
Barisan Tak Hingga
Contoh − contoh barisan
Barisan
2
,4
,6
,8
,

Bisa dituliskan dengan rumus
2n

n1
Barisan
1234
, , , ,
3456

Bisa dituliskan dengan rumus
 n 


2

n

n1
Penentuan an tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba
–coba.
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
3
Kekonvergenan barisan
tak hingga
Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila
lim
aL
n

 n
atau




0

N

0

n

N
,
a

L

n
{ untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga
untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara
an
dan
L akan kurang epsilon}
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
4
Kekonvergenan barisan
tak hingga
Contoh 1
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

2
 n 


n1n1
Jawaban
Karena
2
n
lim

n


n
1

 n 
 divergen
maka 
n

1

n1
2
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
5
Kekonvergenan barisan
tak hingga
Contoh 2
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

n 
 n
 e n1
2
Jawaban
Karena
n2 
lim
 merupakan bentuk tak tentu maka untuk
n
n

e 
menyelesaikannya digunakan teorema berikut :
f
n

L
f
x
Lmaka lim
Misal a
 ,bila lim
fn
n
n


x


untuk x  R.
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
6
Kekonvergenan barisan
tak hingga
Jawaban (lanjutan)
2
x
Jadi f x
dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka
x
e
2
x
2x
2
lim x  lim
limx0
x
x e
x
e
x

e
n2
0 .
Berdasarkan teorema maka lim
n
n

e
Karena nilai limitnya menuju 0, maka

n 
 n
 e n1
2
Konvergen menuju 0.
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
7
Kekonvergenan barisan
tak hingga
Contoh 3
Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut

1

cos
n



n


n
1
Jawaban
Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda
akibat dari nilai cos n, untuk n ganjil tandanya − , untuk n genap
cos
n
tidak ada tetapi minimal bernilai –1 dan
tandanya +. Nilai lim
n


1
maksimal bernilai 1. Sedangkan lim 0akibatnya untuk n nilai
n

1
n
, .cos
n akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0.
n
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
8
Sifat – sifat barisan
Misal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu
konstanta, maka
kk
1. lim
n


k
a

k
lim
a
2. lim
n
n


n

n


a

b

lim
a

lim
b
3. lim
n n n
n n
n
n








a
b

lim
a
lim
b
4. lim
nn
n
n

nn n




lim
a
a
n
n

 n

,lim
b

0
5. lim
n


n

n
b
lim
b
n
n

n
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
9
Barisan Monoton
Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan
menjadi 4 macam :
1. Monoton naik bila
2. Monoton turun bila
an an1
an an1
3. Monoton tidak turun bila
4. Monoton tidak naik bila
Rabu 23 Maret 2011
an an1
an an1
Matematika Teknik 2
Pu 1324
10
Deret Tak Hingga
Deret tak hingga merupakan jumlahan dariann1yaitu a1+a2+…+an .

Notasi deret tak hingga adalah


n1
an .
Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan
barisan jumlahan parsial yaitu ,
lim S n
n
,dimana :
S1 a1
S

a

a
2
1
2
S

a

a

a
3
1
2
3

S

a

a

a

...

a
n
1
2 3
n
Dan


S

S
,
S
,
...,
S
,
....
n
1
2
k
n

1
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
11
Deret Tak Hingga
Contoh

Selidiki apakah deret
1 1 
 

k
k

1


k
1

konvergen ?
Jawaban
1 n
S

1
 
n
n

1n

1
n
Karena lim
S

lim

1 , maka
n

 n
n


n

1


k1
1 1

k k1
adalah deret
konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu
deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba.
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
12
Deret Suku Positif

Sebuah
 a disebut deret suku positif, bila semua sukun1
n
sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang
sering digunakan :
1. Deret geometri
2. Deret harmonis
3. Deret-p
Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
13
Deret Suku Positif
Deret geometri

Bentuk umum :
a
r
a

a
r

a
r

a
r

...

a
r
....

k

1
2 3
n

1
k

1
Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut :
2
3
n

1
S

a

a
r

a
r

a
r

...

a
r
n
2 3
n

1 n
r
S

a
r

a
r

a
r

...

a
r

a
r
n
n
Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa S

r
S

a

a
r
n
n
.
sehingga
a1r
Suntuk
 r  1. Kekonvergenan dari deret geometri
n
1rr.
bergantung pada nilai
n
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
14
Deret Suku Positif
Deret geometri(lanjutan)
Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret
geometri :
–Bila r = 1, maka Sn= na sehingga lim
, sehingga deret
na


n


divergen
–Bila | r |<1, maka lim
, sehingga deret konvergen ke
rn
0
n


a
1 r
–Bila | r | >1, maka lim
, sehingga deret divergen
rn

n


Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
15
Deret Suku Positif
Deret harmonis
Bentuk umum :

1

n 1 n
Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari
Sn nya, yaitu
1
1
1
1
1
1
1 1
S

1








....

n
2
3
4
5
6
7
8 n
1
1
1
1
1
1
1
1 1







1









....


....
 




2
3
4
5
6
7
8
9 16






Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
16
Deret Suku Positif
Deret harmonis (lanjutan)
1
1
1
1
1
1
1
1 1






S

1









....


...






n
2
2
4
4
8
8
8
8
16
16






1111111 1

1








....

2222222 2
n
1
2
n
Karena, maka lim
. Sehingga deret harmonis divergen.
1


n

 2
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
17
Kedivergenan
Deret Tak Hingga

Bila
deret
 an
n 1
konvergen,
maka lim
.
a
0
n
n


kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah
Bila lim
,maka deret
a
0
n
n



 a n akan divergen.
n 1
Bila dalam perhitungan limit an–nya diperoleh nol,
maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu
dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
18
Kedivergenan
Deret Tak Hingga
Contoh
Periksa apakah

n

konvergen ?
2
n

1
n1
Jawaban
1
n
1
lim
a

lim

lim
 0
n
1
2
n

1
n

 n


n
2
2
n

Jadi
n

divergen
n12n1
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
19
Uji Deret Positif
1. Uji integral
2. Uji Banding
3. Uji Banding limit
4. Uji Rasio
5. Uji Akar
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
20
Uji Deret Positif
Uji integral

Misal  a n
merupakan deret suku positif dan monoton turun,
n 1
 , maka integral tak wajar dari f(x)
dimana a



f
n
n

B
n
adalah

b
1
1
.



x
dx

lim
f
x
dx
f

b


Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak
ada, maka deret divergen.
Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret
konvergen.
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
21
Deret Suku Positif
Contoh 1: Uji Integral Deret–p

Bentuk umum :
1
 p
n1 n
Kalau diperhatikan maka deret harmonis sebenarnya juga
merupakan deret–p dengan p=1. Kekonvergenan deret p akan
bergantung pada nilai p. Untuk menentukan pada nilai p berapa
deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu
1
n
Misal a
 p
fn
n
1
.
p
x
maka f x
Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1
sampai .
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
22
Deret Suku Positif
Deret–p (lanjutan)
Integral tak wajar dari f(x) adalah
 1
b 1
1pb
1

p
x
b
1
dx

lim
dx

lim

lim

 p
 p

b


1

p
1

p1

p
b




1 x
1x
1 b
Kekonvergenan deret–p ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar
tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen.
Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga
akan divergen.
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
23
Deret Suku Positif
Deret–p (lanjutan)
Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut :
– Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen
– Bila 0 p<1, maka
divergen
1

p
b
1
lim 
,sehingga deret
b


1

p1

p
– Bila p>1, maka
,
1

p
1
1
1
b
1

lim


lim 
p

1
p

1
p 1
1

p1

p b


b




p

1
b
sehingga deret konvergen.
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
24
Uji Deret Positif
Contoh 2

Tentukan kekonvergenan deret

n2
1
n lnn
Jawaban
Deret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji
integral yaitu :
1
Misal a
, maka

fn
n
n
ln
n
Perhitungan integral tak wajar :


2
1
f(x)
xln
x
b
1
1
b
dx lim
dx



lim
ln
ln
x

2
b

 xln
x
xlnx
b


Rabu 23 Maret 2011

2
Matematika Teknik 2
Pu 1324
25
Uji Deret Positif
Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral

tak wajarnya divergen. Sehingga deret
n2
divergen.
Rabu 23 Maret 2011

Matematika Teknik 2
Pu 1324
1
n lnn
juga
26
Uji Deret Positif
Uji Banding
Bila untuk n  N, berlaku bn  an maka


a. Bila  bn
konvergen, maka  an juga konvergen
b. Bila  an
divergen, maka  bn
n 1

n 1
n 1

juga divergen
n 1
Jadi pada uji banding ini, untuk menentukan kekonvergenan
suatu
deret,
bila
menggunakan
sifat
a
maka
deret
pembandingnya adalah yang bersifat konvergen.
Sedangkan bila menggunakan sifat nomor 2 maka deret
pembandingnya adalah yang bersifat divergen.
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
27
Uji Deret Positif
Contoh 1

Uji kekonvergenan 
n1
Jawaban
1
n2
Dalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih
yang paling mirip dengan deret yang akan diuji.

1
sebagai deret pembanding.
n1 3 n
Dapat dipilh
1
1
dan

n

2 3n

1
merupakan deret

n1 3 n
p yang divergen, maka disimpulkan deretnya juga divergen
Karena
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
28
Uji Deret Positif
Contoh 2

3
Uji kekonvergenan  n2 5
n1
Jawaban

3
Dengan uji banding, digunakan deret pembanding  2
,

n1 n
3
3
3
2
dimana
. Karena  2
merupakan deret
2
n 5 n 
n1 n
3
konvergen, maka 
juga konvergen.
2
n1 n 5
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
29
Uji Deret Positif
Contoh 3
1
tan
n
Uji kekonvergenan 
n2
n1
Jawaban



1
Karena untuk n


,tan
n
, maka deret pembanding yang
2
1
 

 
tan
n
2
2 dan
digunakan adalah  2 .Karena


2
2
n2
n2
n1 n
n1 n
1
 tan
n juga konvergen
merupakan deret konvergen, maka 
n2
n1
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
30
Uji Deret Positif
Uji Banding Limit


Misal  an dan  bn
, merupakan deret suku positif dan
n 1
n1
, liman berlaku
L
n
b
n
– Bila 0 < L <  , maka kedua deret bersama-sama konvergen
atau bersama-sama divergen

– Bila L = 0, dan  bn adalah deret konvergen, maka
n 1

 an.
n1
juga konvergen
– Bila L =  dan

 bn
n 1

adalah deret divergen maka
 an.
n1
juga divergen
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
31
Uji Deret Positif
Contoh 1

2
n
Uji kekonvergenan deret  3 2
n
n
3
n

15
Jawaban

2
 1
n
 dan
Deret pembanding yang digunakan adalah  3
n
n n
n

15

15

diketahui sebagai deret divergen ( sebagai  bn ).
3
n 1
5
n
L

lim

1 dan deret pembandingnya
.
3 2
n


5
n

n

3
2

n
divergen, maka 
.
juga divergen.
3
2
n
n
3
n

15
Karena
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
32
Uji Deret Positif
Contoh 2

Uji kekonvergenan deret

i1
1
n2 5
Jawaban

Deret pembanding yang digunakan adalah 
n

1
1

1
 dan
2
n

1 n
n
diketahui sebagai deret divergen (deret harmonis).
2
2
n
n
Karena
.
L

lim

lim

1
2
2
n


n


n

1
n

5
pembandingnya divergen, maka kedua deret
dan deret
bersama-sama
divergen .
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
33
Uji Deret Positif
Uji Rasio

Misal  an
a
n

a
n
merupakan deret suku positif dan limn1
n1
maka berlaku
– Bila <1, maka deret konvergen
– Bila >1, maka deret divergen
– Bila =1, maka uji gagal
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
34
Uji Deret Positif
Contoh
Uji kekonvergenan deret


i 1
Jawaban
n2
n!

2
2
(
n

1
)
n
!
(
n

1
)
lim

lim

0
Dengan uji rasio diperoleh 
2
2
n


n


(
n

1
)
!
n
(
n

1
)
n
2
n
Karena  = 0 < 1 , maka  n
konvergen.
i 1 n !
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
35
Uji Deret Positif
Uji Akar

Misal  an
n1
n
lim
a
merupakan deret suku positif dan r
,
n
n


maka berlaku

– Bila r < 1, maka deret  an konvergen
n1

– Bila r > 1, maka deret  an divergen
n1
– Bila r = 1, maka uji gagal
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
36
Uji Deret Positif
Contoh

Uji kekonvergenan deret
2n
en

i 1
Jawaban
Dengan uji akar diperoleh
2
r

1 , maka
Karena
e
Rabu 23 Maret 2011
n
2
2
n
rlim

n e
n

 e
n
2n
i 1
n

e
Matematika Teknik 2
Pu 1324
konvergen.
37
Uji Deret Positif
Panduan Pemilihan uji deret
Bila deret suku berbentuk rasional (fungsi polinom) maka
dapat dipilih uji banding atau uji banding limit
Bila deret suku positif mengandung bentuk pangkat n dan
atau faktorial maka dipilih uji rasio atau uji akar pangkat n
Bila uji – uji diatas tidak dapat digunakan dan suku –
sukunya monoton turun maka dapat dipilih uji integral
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
38
Deret Ganti Tanda
Uji-uji kekonvergenan deret positif hanya digunakan untuk
menguji deret-deret positif. Sedangkan untuk deret-deret
yang suku-sukunya berganti-ganti tanda, yaitu berbentuk
.a
dengan

a

a

a

... an> 0 untuk semua n dilakukan uji
1
2
3
4
tersendiri.
Notasi deret ganti tanda adalah

(1) an .
n1
i1
Deret ganti tanda dikatakan konvergen, bila
a.
b.
Rabu 23 Maret 2011
0

a
a
n

1
n
lim
a
0
n

atau .
n
(

1
)
 an
i1
(monoton tak naik)
n


Matematika Teknik 2
Pu 1324
39
Deret Ganti Tanda
Contoh

Tentukan kekonvergenan deret

3
n

1 n



1



n
n

1
n

1
Jawaban


3
n

1 n



1

merupakan deret ganti tanda


n
n

1
n

1
n3
a

dengan rumus suku ke–nnya adalah n
.
nn1
Deret akan konvergen bila memenuhi dua syarat berikut :
a.
.n
0

a
a
n

1
lim
a
0
n
b. Nilai n


Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
40
Deret Ganti Tanda
a.
n

4
n

3
0


n
n
n
n


1

2

1


a
n

4n
n

1
n

1


1


n
a
n

1
n

2

3
n
2


a
n
n

4
n

4
n
n

1



1
2




a
n

2
n

3
n

5
n

6
n
b.
an1
1
Karena
jadi {an} adalah monoton tak naik.
an
n

3
lim
a

lim 
0
n
n

 n




n
n

1
Karena kedua syarat dipenuhi maka deretnya konvergen.
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
41
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat

Deret
a

a

a

a

dikatakan konvergen

n
1
2
3
n

1

mutlak, bila deret mutlak 
a

a

a

|
a
| konvergen
n
1
2
3
n

1
(suku an bisa berupa suku positif atau tidak).

Hal tersebut tidak berlaku sebaliknya. Tetapi bila  a n

divergen, maka  .an juga divergen.
n1
n 1


n 1
n1
Kovergen bersyarat terjadi bila  a n konvergen tetapi  an
divergen.
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
42
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Contoh 1
cos
n
konvergen mutlak atau bersyarat ?
3
n
n1

Tentukan apakah 
Jawaban
cos
n

Deret mutlaknya adalah
. Dengan menggunakan uji
3
 1
n
n

1

banding, dimana deret pembandingnya adalah  3
maka
n 1 n
cos
n

1
diperoleh bahwa
 3untuk semua nilai n.
3
 cos
 1
n
n
n

Karena  3 merupakan deret konvergen, maka
3
n
n 1 n
 cos
n

1
n konvergen mutlak.
juga konvergen. Sehingga 
n1
Rabu 23 Maret 2011
n3
Matematika Teknik 2
Pu 1324
43
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Contoh 2

2n
Tentukan apakah 1
konvergen mutlak atau bersyarat
n!
n
1
?
n
Jawaban

2n
Deret mutlaknya adalah 
.
n

1
n
!
n1
2
n
!
2


lim

lim

Dengan uji rasio diperoleh
.0
n
n
!2 n

1
n

1
n




 2n
Karena =0<1, maka 
konvergen.
n1 n !

2n
Sehingga 1
n!
n
1
Rabu 23 Maret 2011
n
konvergen mutlak.
Matematika Teknik 2
Pu 1324
44
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Contoh 3

n



1

Tentukan apakah
n
1
Jawaban
1
nkonvergen mutlak atau bersyarat ?

1
yang merupakan deret divergen.

n 1 n
Pengujian kekonvergenan deret ganti tanda
Deret mutlaknya adalah
a.
(monoton tak naik)
0

a
a
n

1
n
Diperoleh
bahwa
benar
1 1
0
 deret
 ganti tandanya konvergen.
b.
Jadi
n1 n
1tandanya konvergen sedangkan deret
Karena
deret
ganti
lim
a

lim

0
n
n


n


n
mutlaknya divergen maka
konvergen bersyarat .
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
45
Uji rasio untuk
kekonvergenan mutlak

an1
Misal  an deret dengan suku tak nol dan rlim
,
n
 a
n1
n
tiga kondisi yang mungkin terjadi adalah :
•
•
•

 an konvergen mutlak
Bila r<1, maka
 n1
Bila r>1, maka  an
divergen
n1
Bila r=1, pengujian gagal ( tidak dapat disimpulkan)
Konvergen bersyarat tidak bisa ditentukan oleh uji rasio ini. .
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
46
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Contoh 1

3
nn
1 n
Tentukan apakah 
n1
Jawaban

konvergen mutlak atau divergen?
e
Dengan uji rasio mutlak diperoleh :
3n
n


1
e
n13
r
limn
lim 3

1
3
n

 e
n n
 ne
Karena
, maka
1
r  1
e
Rabu 23 Maret 2011

3
1

e
konvergen mutlak.
nn



1

n
n1
Matematika Teknik 2
Pu 1324
e
47
Konvergen Mutlak dan
Konvergen Bersyarat
Contoh 2

Tentukan apakah 1nn! konvergen mutlak atau divergen?
n
2
n

1
Jawaban
Dengan uji rasio mutlak diperoleh :
n
n
!2

1
n1

rlimn

lim


1
n
! n
n

2

 2

!
nn


Karena r > 1, maka 1 n divergen .
n1
Rabu 23 Maret 2011
2
Matematika Teknik 2
Pu 1324
48
Deret Pangkat
Bentuk umum :

n
2
n
a
x

a

a
x

a
x



a
x


n
0
1
2
n
n

0


n
2
n
a
x

b

a

a
x

b

a
x

b



a
x

b
..

n
0
1 2
n
n

0

 


 

Contoh deret pangkat
1.
2.
3.

n
2
n
x

1

x

x



x



n

0

2 46
x
xx


1

1








2
n
! 2
!4
!6
!
n

0
n
2





x

1
1
x

1
x

1
 


n

224 5
n

0
Rabu 23 Maret 2011
2
n
x
n
Matematika Teknik 2
Pu 1324
49
Deret Pangkat
Pada deret pangkat ini, kalau diperhatikan terdapat dua variabel,
yaitu n dan x. Untuk n , nilainya dari 0 sampai , sedangkan
nilai x dapat dicari dengan uji rasio untuk kekonvergenan mutlak,
yaitu pada saat r < 1.

Interval nilai x yang memenuhi kekonvergenan dari deret  an xn
n0
maupun

disebut interval kekonvergenan.

b
anx
Bentuk interval
kekonvergenan dari deret pangkat ini memiliki
n
n

0
ciri khusus dan hanya memiliki 3 variasi bentuk untuk masing –
masing deret.
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
50
Deret Pangkat
Tiga kemungkinan untuk interval kekonvergenan deret adalah :

Selang konvergensi untuk deret
•
•
•
 an xn
n0
Deret konvergen hanya di x = 0
Deret konvergen mutlak di x  R
Deret konvergen mutlak pada interval buka (–r,r) atau
ditambah pada ujung – ujung intervalnya.

Selang konvergensi untuk deret
•
•
•
anxb
n
n

0
Deret konvergen hanya di x = b
Deret konvergen mutlak di x  R
Deret konvergen mutlak pada interval buka (b–r,b+r)
atau ditambah pada ujung – ujung intervalnya.
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
51
Deret Pangkat
Contoh 1

n
x
Tentukan interval kekonvergenan deret 
n 0 n !
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
n

1
x
n
!
r
lim
n
n


!x
n

1
x
lim 0
n
n
1
Deret akan konvergen untuk semua nilai x
Atau x R
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
52
Deret Pangkat
Contoh 2

Tentukan interval kekonvergenan deret  n! xn
n0
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
n

1

! limx n1
x
n

1
r
lim
n
n

n

n
! x
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi
adalah x = 0 agar r < 1. Jadi deret konvergen untuk x = 0
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
53
Deret Pangkat
Contoh 3
n

x
n
Tentukan interval kekonvergenan deret 

 n
1

3
n

1
n

0
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
n

1 n


x
3
n

1
xn

1 x
r

lim
lim
 .11
n

1
n
3n

2 3
n


n


 x
3
n

2
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi
adalah –3 < x < 3.
Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara
terpisah.
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
54
Deret Pangkat
Pengujian deret pada saat x = 3 dan x = 3 adalah sebagai
berikut :

1
 Deret ini
n0 n1
diketahui sebagai deret harmonis yang divergen .

1
n 1  dengan
• Saat x = 3  deretnya menjadi 
n
1
n

0
uji deret ganti tanda diketahui bahwa deret ini konvergen.
n

x
n
Jadi interval kekonvergenan deret 
adalah

 n
1

3
n

1
n

0
•
Saat x = -3  deretnya menjadi 

3

x

3
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
55
Deret Pangkat
Contoh 4

Tentukan interval kekonvergenan deret
x5n

n1
n2
Jawaban
Pengujian dengan uji rasio mutlak :
n

1 2
2


x

5
n
n
r

lim 2

lim
x

52

x

5
.1

1
n
n




 n
n

1
x

5


n
2
n

1
Dari pengujian tersebut diperoleh bahwa nilai yang memenuhi
adalah 4 < x < 6.
Pada ujung – ujung interval, pengujian dilakukan secara
terpisah.
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
56
Deret Pangkat
Pengujian deret pada saat x = 4 dan x = 6 adalah sebagai
berikut :
•
1n
Saat x = 4  deretnya menjadi

1
.
2
n0 n
n1
1
n2
 karena
konvergen maka deret ganti tandanya juga
konvergen.
•

.

Saat x = 6  deretnya menjadi

n 1
1
n2
yang merupakan
deret-p yang diketahui konvergen.

Jadi interval kekonvergenan deret
4x
6
Rabu 23 Maret 2011
x5n

n1
Matematika Teknik 2
Pu 1324
2
n
adalah
57
Operasi-operasi
deret pangkat
1. Operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan,
pembagian, dan substitusi
2. Turunan deret :
 n

n

1
D
a
x

na
x

x
n 
n
n

0

1

n
3. Integral deret :



n
n
n

1
n
n
n
n

0
n

0
n

0
a
a
x
dx

a
x
dx

x

C




n

1
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
58
Deret Pangkat

Deret geometri
an = 1 .
x
n 1
n
adalah contoh deret pangkat x dengan
Dengan menggunakan rumus jumlah takhingga deret geometri,
maka diperoleh
1
23

1

x

x

x

...
1

x
x 1
Secara umum x bisa diganti dengan U dimana U adalah fungsi
yang memuat x.
1
23

1

u

u

u

...
1

u
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
u 1
59
Deret Pangkat
Contoh 1
Nyatakan
Jawaban
1
1 x
dalam deret pangkat
1
1

x
1

x 1


x
x
1
Dengan menggunakan deret geometri
1
1
23


1

x

x

x

... x 1
x
1

x 1

Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
60
Deret Pangkat
Contoh 2
Nyatakan
x
1 x
dalam deret pangkat
Jawaban
Dengan menggunakan jawaban sebelumnya


x
x
2
3
2
3
4


x
1

x

x

x

...

x

x

x

x

...


1

x
1


x
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
61
Deret Pangkat
Contoh 3
1x
Nyatakan ln

 dalam deret pangkat
1x
Jawaban
1

x






ln

ln
1

x

ln
1

x
 
1

x


1
1
1
2
3
2
3


ln
1

x


dx


1

x

x

x

...
dx


x

x

x

.
 
1

x
2
3
1
1
1
2
3
2
3


ln
1

x

dx

1

x

x

x

...
dx

x

x

x

..
 
1

x
2
3
Jadi
1

x
2
2


3
5




ln

ln
1

x

ln
1

x

2
x

x

x

...


1

x
3
5




Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324


62
Deret Pangkat
Contoh 4
Nyatakan
1
1 x
2
dalam deret pangkat
Jawaban
1
1 x2
adalah turunan dari 
1
1 x
sehingga
1


d

2
3
1 
d
1

x

x

x

... 23
1

x


 


1

2
x

3
x

4
x

..
2

1

x dx dx

Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324

63
Deret Taylor dan Maclaurin
Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = b dapat
digambarkan sebagai suatu deret pangkat dari (x–b) yaitu ,
2
3








f
x

a

a
x

b

a
x

b

a
x

b

0
1 2
3
dimana nilai-nilai a0,a1,a2,…
diperoleh dari penurunan f(x) di
x = b sampai turunan ke-n, yaitu
a0  f b
a1  f
a2 

b
f ''  b 
'
2!

an 
Rabu 23 Maret 2011
f
n
b 
n!
Matematika Teknik 2
Pu 1324
64
Deret Taylor dan Maclaurin
Atau f(x) bisa dituliskan sebagai
'
'
'
'
'



f
b
2 f
3
'







 b


f
x

f
b

f
b
x

b
 
x

b
x

b
2
!
3
!
n


f
b
n



 
x

b
n
!
Bentuk yang diperoleh di atas dikenal dengan bentuk polinomial
taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial
taylor, dinamakan deret taylor.
Bila b = 0, maka fungsi diperderetkan dalam deret maclaurin,
yaitu
'
'
'
'
'
n






f
0
f
0
0
2
3 f
n






f
x

f
0

f
0
x

x

x



x
2
! 3
!
n
!
Rabu 23 Maret 2011
'
Matematika Teknik 2
Pu 1324
65
Deret Taylor dan Maclaurin
Contoh 1
ex
Perderetkan fx
Jawaban
ke dalam deret maclaurin
x




f
x

e

f
0

1
'
x
'




f
x

e

f
0

1

'
'
x
'
'




f
x

e

f
0

1
'
'
'
x
'
'
'




f
x

e

f
0

1
n
x
n




f
x

e

f
0

1
23
n
x
x 
x

1

x





,
x



Sehingga e
2
!3
! n
n
!

0
x
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
66
Deret Taylor dan Maclaurin
Contoh 2
2
x

1
Perderetkan f
ke dalam deret Maclaurin / Taylor
x
e
Jawaban
Dari jawaban sebelumnya diperoleh bahwa

23
n

x
x
x
e

1

x





,
x



2
!3
! n
n
!

0
x
Dengan mengganti x dengan 2x–1 maka diperoleh
perderetannya adalah
2
3




2
x

1
2
x

1


e
1

2
x

1
  

2
x

1
2
!
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
3
!
67
Deret Taylor dan Maclaurin
Berikut adalah fungsi-fungsi yang diperderetkan ke dalam
deret Maclaurin
3
5
7 
2
n

1
x
x
x
x
n


sin
x

x







1
,
x




3
!
5
!
7
! n
2
n

1
!

0 

2
4
6
2
n
 x
x
x
x
n

 ,
cos
x

1







1
x




2
!
4
!
6
! n
2
n
!

0 
2
3
4 n

1
x
x
x
x
n



,
ln
1

x

x







1

1

x

1

2
3
4

1
n

0 n
3
5
7  2
n

1
x
x
x
n

1 x

 ,
tan
x

x







1

1

x

1

3
5
7
n

1
n

0 2


1
234
n

1

x

x

x

x


x
,x

1
1

x
n

0
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
68
Deret Taylor dan Maclaurin
Untuk memperderetkan suatu fungsi kedalam deret taylor atau
maclaurin, dapat digunakan operasi-operasi deret pangkat
seperti pada bagian sebelumnya, misal :

7
 x3 x5 x
dx   
2 4 6
 3
! 5
! 7
!


d
Sin
x
x
x x


Cosx 

1



dx
2
! 4
!6
!
dx
1
1
2
4
6
dx
tan x 

1

x

x

x


dx

2
1x
3 57
x
xx

x



357
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
69
Soal Latihan
A. Tentukan barisan-barisan berikut konvergen atau divergen
1.

3.
5.


 n  2.
 2 
2n 1n1
 n
n

sin


2
n

1
2


n

1
n1 4.
ln
 2 
 n n1


1
n
  2 


2
n1


Rabu 23 Maret 2011



n
e cos
nn

1
6.
n

2 
n
 
 n ! n1
Matematika Teknik 2
Pu 1324
70
Soal Latihan
A (Lanjutan)
7.


 n


n

2

n1
e2n2en 8.
 2n

e

6

n1


9.
n 
10.
 n 
 4 n1
11.

e 
 n
 2 n1
n
Rabu 23 Maret 2011

n

 1 

1



n




n1
12.
n n
n

1
Matematika Teknik 2
Pu 1324
71
Soal Latihan
A (Lanjutan)
13.


 n


1 1 14.



1


2
n
1


n

1

100n 
 2n 
 e n1
B. Tentukan deret berikut konvergen atau divergen ?
1.

ln n

n1 n

3.

2.
n
 3
n 5n 4.
n
13
Rabu 23 Maret 2011
1

n1 n n1
 3n1

3
n1n 6
Matematika Teknik 2
Pu 1324
72
Soal Latihan
B. (lanjutan)
 60n
5. 
n1 n!

6.
1
 n
e
n1
8.
cos
n
 3
n1 n
10.
n!2 2n

!
n1 2n2



7.
5n 2n

n!
n1


9.
lnn
 2n
n1 e
Rabu 23 Maret 2011
Matematika Teknik 2
Pu 1324
73
Soal Latihan
B. (lanjutan)
2
 5sin
n
11.

n!
n1


13.
n4!

n

12.
1

1814.

n5
n

12
n1 4!n!4
1
tan
n
 3
n1 n

15.
n
 5
n1 n 2
Rabu 23 Maret 2011
1
n1n1



16.
Matematika Teknik 2
Pu 1324
n

1
3
n
2
74
Soal Latihan
B. (lanjutan)
17.

1 e
n 
n
18.
n
1


19.
21.
3
n
1n
1
n
 
n
1
e
2
 cos
n5

n
1
Rabu 23 Maret 2011
5
n

n
1
 n 
n1 3

20.
1
 2
n1 3n n

22.
3
n1
Matematika Teknik 2
Pu 1324
1
6n2n
75
Soal Latihan
B. (lanjutan)
n
 3n2
 24.
23.

n1 2n1

1

n1 n5
C. Uji kekonvergenan deret-deret berikut, dan tentukan

konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen

1.
2.

1
n

1

4n
n1
n5

Rabu 23 Maret 2011
1
3.
3n
n

1

n

2

3
n

1


1

n
1


n

1
n
ncos
n
 2
n
1 n 1

4.
Matematika Teknik 2
Pu 1324
76
Soal Latihan
D. Cari interval kekonvergenan deret pangkat berikut
1.
1nxn


n0
n!

n2
n
n
n

1
x3n
 n
n0
Rabu 23 Maret 2011
2
xn
ln n

n

1
nx
2
n

0
n1


3.

4.

x

1
n

1
5.



1


2.

6.
n! n
 nx
n0 2
Matematika Teknik 2
Pu 1324
77
Soal Latihan
D. (Lanjutan)

2 3 4
x
x x
7. x
8.


2 34
2
3




x

3
x

3


1

x

3
  

2 4 6
x
x x
1


 

9.
10.
2
! 4
! 6
!
2
3





1
2
x

3
4
x

3
8
x

3
 



3 4
5
6
2
!
3
!
E. Perderetkan fungsi berikut dalam deret pangkat
1.

fx
ln
x
Rabu 23 Maret 2011
2.
e3x
fx
Matematika Teknik 2
Pu 1324
78
Soal Latihan
E. (Lanjutan)
3.
xe
fx
5.
 1 2 6.
fx
1

4x
x
1
fx
1x
4.


f
x

x
ln
1

x

7.
2
f
x
sin
x
8.
x2
f x
13x
9.
1

3
x

fx
e


f
x

x
ln
3
x
Rabu 23 Maret 2011
10.
Matematika Teknik 2
Pu 1324
79