Transcript Kal 2 modul 14

DERET BILANGAN:
Un= u1 + u2+ u3+ u4,………….+ un…
Deret bilangan bentuk umum
un = suku umum deret
Sn = u1 + u2+ u3+ u4,………….+ un = jumlah n suku pertama deret
Konvergensi Deret
un disebut konvergen ke S jika
Deret
.
Contoh – contoh :
Apakah deret konvergen atau divergen ?
). 1 + ½ + 1 4  18  ................
S1 = 1
S2 = 1 + ½ = 1 ½ = 2 – ½
1
S3 = 1 + ½ + = 1 = 2 - 4
S4 = 1 + ½ + = 1 = 2 - 1 8
…………………………………….
Sn = 2 - 1 n
lim Sn  lim 2 1n 2 1 20  2
n
n
-  jadi deret konvergen ke = 2

1
n
2.
= 1 + 1 + 1 + 1 + …………….
n 1
Sn = n  lim S  lim n 
 jadi deret divergen
n
n
3.

n
=n ! – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …………….
 (1)
n 1
S1 = 1
S2 = 1 -1=0
S3 = 1 -1+1 = 1
S4 = 1 – 1 + 1 – 1 = 0 lim S n tidak.ada jadi deret divergen
n

 n 
1
1
1
1
4.   n(n  1)  =  1.2  2.3  3.4  4.5  .....................
n 1 

U1 = 1- ½
U2 = ½ - 13
U3 = 13 -
1
4
Un = 1/n – 1/(n+1)
_________________ +
Sn = 1 – 1/n
Jadi deret konvergen ke : 1.
lim S n  lim (11 / n) 11 /  1
n
n
Deret – deret Istimewa

1. Deret hitung
1
 (n  1).b deret divergen
n 1
2.Deret ukur

 a. p
n 1
n 1
- Deret konvergen jika |p| < 1
-Deret divergen untuk |p| ≥ 1
3. Deret hiperharmonis

a(1  p n )
1 p
1
n
n 1
Sn =
k
- Deret konvergen jika k > 1
- Deret divergen untuk k 1
Ketentuan yang berlaku pada deret :
1.  un konvergen maka lim un  0 tetapi belum tentu sebaliknya.
n
2. Jika limnun  0 maka deret  un divergen
3. Jika  un konvergen maka  k.un konvergen . Jika  un divergen maka  kun divergen
4.Jika  un dan Jika  vn konvergen, maka  (Un  Vn) juga konvergen ; Jika  Un dan jika
Vn divergen maka (Un  Vn) divergen
Contoh:
1. Deret  Un
Karena deret

 n  1
 

n 1  n 
 n  1
lim 
 1
n
 n 

maka deret Un 
n 1
 n  1


 n 
divergen
Tes konvergensi dan divergensi deret :
I, Qoutien Test :
Dua buah deret positip  Un dan Vn
un
L
dengan n vn
lim
Maka : Jika L ≠ 0 maka keduanya konvergen atau keduanya divergen
Jika L = 0 dan Vn konvergen maka  Un juga konvergen.
II. Test Liebniz ( untuk deret berayun)
Suatu deret berayun  Un konvergen jika memenuhi persyaratan:
1). lim|un |0
n 
2). | U n 1 | | U n | untuk n  1
Catatan : deret berayun yaitu deret dengan suku –suku berganti tanda
positip, negatip, positip, negatip dan seterusnya
III. Test Rasio ( d’Alembert Test Ratio )
Bila pada deret  Un
dengan lim
n
un1
L
un
maka
Deret  Un Konvergen jika L < 1
Deret  Un Divergen jika L > 1
Jika L = 1 test gagal jadi harus menggunakan metode test yang lain.
Contoh-contoh :
Selidiki konvergensi deret berikut :

1). e  n
2
n 1
Jawab : dengan Qoutien Test :

Ambil deret hiperharmonis  12
2
n 1
n
yang konvergen maka
n
un
e
n2
lim
 lim
 lim 2 0
2
n  v
n


n n
n
1/ n
e

Jadi deret
 e n
n 1
2
juga konvergen ///

2).
n 1
1
2n 2  1
Jawab : dengan Qoutien Test :

Ambil deret hiperharmonis  12
n 1
n
yang konvergen maka
2
un
1
/(
2
n
1)
n2
1
lim
 lim

0
lim

2
n  v
n
n
1/ n
n 2n 2 1
2

Jadi deret
 2n
n 1
1
2
1
juga konvergen///
(1) n
3). 2
n 1 2n  1

Jawab : Deret tersebut merupakan deret berayun maka dengan Test Liebniz:
1
0
a). lim|un | nlim
 2n 2 1
n 
(1) n
(1) n
b). | U n 1 |

2(n  1) 2  1
2n 2  4n  2
( 1) n

2
n 1 2 n  1

Jadi deret
konvergen///
(1) n
 | Un |
2n 2  1
untuk n ≥ 1

4). (n) n  1  4  27  256  ..............
n 1
Jawab: Deret di atas merupakan deret berayun maka dengan Test Liebnis
n
lim |un | lim|(n)  
n 
n
Jadi deret
( 5  1)
2
n 1 2n  1

5).
n

 (  n)
n
 1  4  27  256  .............. divergen
n 1
Jawab : dengan Test Rasio
.
( 5  1)n
Un 
(2n 2  1)
Maka
U n 1 
( 5  1) n 1
( 5  1) n 1

(2(n  1) 2  1)
(2n 2  4n  3)
un1
( 5  1) n 1
 lim
n u
n   ( 2n 2  4n  3)
n
lim
( 5  1) n
( 2n 2  1)
/
2n  1
( 5  1) n 1
 lim
n   ( 2n 2  4n  3)
( 5  1) n
n

( 5  1)
Jadi deret 
deret divergen
2
n 1 2n  1
2
( 5  1) n 1 2n 2  1
 lim
n   ( 2n 2  4n  3)
1
 ( 5  1)  1
TUGAS:
Selidiki konvergensi deret berikut :

1
n 1 2n  1
1.
(1) n n
2. 3
n 1 2n  1

4
(1) n (3n  9)
3.
2n 2  1
n 1


(5) 2 n
4.
n 1 ( n  1)!
( 5  1)
n 1 (2n  1)!

5.
n