Transcript Kuliah 12 Deret Taylor dan MacLaurin

Deret Taylor &
Maclaurin
Deret Taylor &
Maclaurin


Misalkan f(x) dan turunan-turunannya f’(x),
f’’(x), ..., f(n)(x) ada dan kontinu di dalam
interval tutup a ≤ x ≤ b, dan f(n+1)(x) juga
kontinu di a ≤ x ≤ b.
Maka berlaku:
f  x   f  a   f ' a   x  a  
f "a 
2!
 x  a   ... 
2
f
(n)
a
n!
 x  a   Rn
n
dimana Rn adalah sisanya yang berbentuk:
Deret Taylor &
Maclaurin
Rn 
Rn 
f
 
n 1
x  a
 n  1 !
f
( n  1)
( n  1)
n!
 
(B entuk Lagrange)
x   x  a
dimana   (a, x)
n
(B entuk C auchy)
Deret Taylor &
Maclaurin

f
Bukti:
Pertama-tama akan dibuktikan dahulu
bahwa :
x 

f "a 
f  a   f ' a   x  a  
f
(n)
a
n!
x  a 
n
1
2!
x  a
2
 ...
x
x  t f
n! a
n
( n  1)
 t  dt
........... 1)
Deret Taylor &
Maclaurin

Kemudian akan ditunjukkan bahwa
1
x
x  t f
n! a
n
( n  1)
 t  dt
mempunyai dua bentuk, yaitu bentuk
Lagrange dan bentuk Cauchy
Deret Taylor &
Maclaurin
Untuk membuktikan persamaan 1)
digunakan induksi matematika.
 Untuk n = 0
x
1
0
 0 1
f  x  f a 
x  t f
 t  dt

0! a

x
 f a 

f '  t  dt  f  a    f  t  
a
x
a
 f a  f
 x  f a 
f
x
Deret Taylor &
Maclaurin

f
Misalkan berlaku untuk n = k
x 

f "a 
f  a   f ' a   x  a  
f
(k )
a
k!
x  a 
k
1
2!
x  a
2
 ...
x
x  t f
k!a
k
( k  1)
 t  dt
Deret Taylor &
Maclaurin
Untuk n = k + 1
1
Perhatikan bentuk

x
x  t
k
f
( k  1)
k!a
misal: dv   x  t  dt
 t  dt
k
u  f
( k  1)
k!
t 
k 1
x  t
v
 k  1 !
du  f
(k 2)
 t  dt
Deret Taylor &
Maclaurin

1
x
x  t

k!
k
f
( k  1)
 t  dt

a

1
x
 k 1
t 
k 1
x  t
 k  1 !
a
f
x
x  t

 k  1 !
k 1
f
(k 2)
 t  dt
a

 k 1
x
a
1
k 1
k 1
(k 2)
x

a

x

t
f




 t  dt

 k  1 !
 k  1 ! a
f
Deret Taylor &
Maclaurin

f
dari n = k, diperoleh
x 

f  a   f ' a   x  a  
f
(k )
a
k!

1
x  a
k
x
x  t

 k  1 !
a
2!
 k 1
x  a
2
a
k 1
x  a
 k  1 !
f

k 1
f "a 
f
(k 2)
 t  dt
 ...
Deret Taylor &
Maclaurin

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa
1
x
x  t

n!
n
f
( n  1)
a
mempunyai 2 bentuk
 t  dt
Deret Taylor &
Maclaurin

Menurut teorema nilai rata-rata untuk
integral
x
x
 F  t  G  t  dt  F     G  t  dt ,
a

a
 n 1
  (a , x )
x  t
n
Misalkan F  t   f
t  , G t  
n!
maka
n
x
x
x  t
1
n
 n 1
 n 1
dt
x  t f
 t  dt   f
t 

n! a
n!
a
Deret Taylor &
Maclaurin
 f
 n 1
x
  
a

f

 n 1
x  t
n!
   x  a 
 n  1 !
n
 n 1
 x  t
 n 1
dt  f
   
 n  1 !

 n 1
Berarti diperoleh bentuk Lagrange untuk
sisa, yaitu
 n 1
 n 1
f
   x  a 
Rn 
,    a, x 
 n  1 !



x
a
Deret Taylor &
Maclaurin
Misalkan F  t  
maka

1
x
x  t

n!
n
f
 n 1
f
 n 1
t   x  t 
n!
x
 t  dt


a

f
 n 1
   x   

f
 n 1
   x   
n!
f
 n 1
n x
 dt 
a
n
x  a
,
G t   1
t   x  t 
n
.1 dt
n!
a
n!
n
f
 n 1
   x   
n!
n
 t a
x
Deret Taylor &
Maclaurin

Berarti diperoleh bentuk Cauchy untuk
sisa, yaitu
Rn 
f
 n 1
   x   
n!
n
 x  a  ,    a, x 
Deret Taylor &
Maclaurin

Sewaktu n berubah, maka umumnya  juga
berubah. Jika untuk semua x dan  di dalam
[a, b] kita mempunyai lim R n  0 , maka
n 
persamaan di awal dapat ditulis:
f  x   f  a   f 'a   x  a  

f "a 
2!
x  a 
2
f "'  a 
3!
 x  a   ...
Deret ini dinamakan deret Taylor atau
ekspansi Taylor dari f(x) di sekitar x = a.
Dalam kasus a = 0, deret tersebut
dinamakan deret Maclaurin
n
Deret Taylor &
Maclaurin

Walaupun semua turunan f(x) ada di x
= a, dan secara formal kita dapat
memperoleh deret di ruas kanan,
tetapi bisa saja terjadi deret tersebut
tidak konvergen ke f(x).
Deret Taylor &
Maclaurin

Contoh:

e
f x  

 0,
 1/ x
2
,
x0
x0
Buktikan bahwa deret Taylor di sekitar
x = 0 yang bersesuaian dengan f(x)
ada. Kemudian tunjukkan deret
tersebut tidak konvergen ke fungsi
yang diberikan untuk sebarang x  0
Deret-Deret Penting
Deret-deret berikut, konvergen ke fungsi
yanng diberikan di dalam interval yang
ditunjukkan

n 1
  1  x 2 n 1
1.sin x  x 


 ... 
3! 5 ! 7 !
 2 n  1!
n 1
2n2
2
4
6

1
x
 
x
x
x
2. cos x  1 


 ... 
2! 4! 6!
 2n  2 !
x
3. e  1  x 
x
3
x
x
2
2!
dll

5
x
x
7
3
3!
 ... 
x
 ...,
  x
 ...,
  x
n 1
 n  1 !
 ...,
  x
Deret Binomial

Bentuknya adalah
1  x 
a)
b)
p
 1  px 
p  p  1
2!
x  ... 
2
p  p  1  ...  p  n  1 
x  ...
n!
Jika p adalah sebuah bilangan bulat
positif atau nol, maka deret tersebut
akan berakhir
Jika p > 0 tetapi bukan bilangan bulat,
maka deret tersebut konvergen
mutlak untuk –1 ≤ x ≤ 1
n
Deret Binomial
c) Jika –1 < p < 0, maka deret tersebut
konvergen untuk –1 < x ≤ 1
d) Jika p ≤ –1 maka deret tersebut
konvergen untuk –1 < x < 1
Tugas: Tunjukkan sifat (a) , (b), (c), dan
(d)