Deret dan Aproksimasi Deret MacLaurin Deret Taylor Tujuan • Kenapa perlu perkiraan? – Perkiraan dibentuk dari fungsi paling sederhana – polynomial. – Kita bisa mengintegrasikan dan mendiferensiasi dengan.
Download
Report
Transcript Deret dan Aproksimasi Deret MacLaurin Deret Taylor Tujuan • Kenapa perlu perkiraan? – Perkiraan dibentuk dari fungsi paling sederhana – polynomial. – Kita bisa mengintegrasikan dan mendiferensiasi dengan.
Deret dan
Aproksimasi
Deret MacLaurin
Deret Taylor
Tujuan
• Kenapa perlu perkiraan?
– Perkiraan dibentuk dari fungsi paling sederhana –
polynomial.
– Kita bisa mengintegrasikan dan mendiferensiasi
dengan mudah.
– Kita bisa gunakan saat kita tidak tahu fungsi
sebenarnya.
Polynomial Approximations
• Misalkan kita ingin membuat perkiraan untuk sebuah
fungsi yang kompleks pada sekitar x = 0;
• Perkiraan paling simple adalah menentukan sebuah
konstanta, sehingga:
p0 ( x) a0
• Catatan: perkiraan di atas disebut sebagai zero’th order
polynomial approximation;
• Lalu, nilai berapa yang harus kita berikan pada
konstanta itu?
Polynomial Approximations
• Kita inginkan angka paling akurat pada x = 0.
• Sehingga:
p ( x) f (0)
0
f(x)
2
1.5
y
p ( x)
1
0.5
-1
-0.5
0
x
0.5
Polynomial Approximations
• Contoh
1
f ( x)
1 x
1
f (0) 1 p0 ( x) 1
1
Polynomial Approximations
f(x)
2
Tidak akurat
Kurang akurat
1.5
y
p 0 ( x)
1
Sangat
akurat
0.5
-1
-0.5
0
x
0.5
Polynomial Approximations
• Sekarang kita tingkatkan dengan perkiraan
dengan menggunakan aproksimasi linier
(1st order approximation);
p1 ( x) a0 a1 x
• Sekarang kita pilih nilai sehingga perpotongan
dan garis nya semirip mungkin dengan fungsi
sebenarnya.
Polynomial Approximations
• Menyamakan perpotongan:
p1 (0) f (0) a0 a1 0 f (0)
a0 f (0)
• Menyamakan slope:
p1 (0) f (0) a1 f (0)
• Sehingga polinom nya:
p1 (0) f (0) f (0) x
Polynomial Approximations
• Contoh
1
f ( x)
1 x
p1 ( x) a0 a1 x
1
f (0)
1 a0 f (0) 1
1 0
1
f (0)
1 a1 f (0) 1
2
1 x
p1 ( x) 1 x
Ingat, Metode Newton Raphson
tangent
f(xi)
dy
tangent
f'
dx
f xi 0
f ' xi
xi xi1
rearrange
xi+1
xi
f xi
xi1 xi
f ' xi
Polynomial Approximations
f(x)
2
f(x)
2
p 1 ( x)
1.5
Masih ‘lumayan’ sampai disini
1.5
y
y
1
p 0 ( x)
1
0.5
-1
-0.5
0
0.5
x
0.5
-1
-0.5
0
x
0.5
p 0 ( x)
Polynomial Approximations
• Sekarang coba dengan perkiraan kuadratik:
p2 ( x) a0 a1x a2 x
2
• Kita inginkan perpotongan, gradient dan kurva
(turunan kedua) dari perkiraan kita dapat match
dengan fungsi sebenarnya pada x = 0.
Polynomial Approximations
• Menyamakan perpotongan:
p2 (0) f (0) a0 a1 0 a2 0 f (0)
2
a0 f (0)
• Menyamakan kemiringan:
p2 (0) f (0) a1 2a2 0 f (0)
Polynomial Approximations
• Mencocokkan kurva (turunan ke 2):
p2(0) f (0) 2a2 f (0)
1
a2 f (0)
2
• Memberikan polinom
1
p2 ( x) f (0) f (0) x f (0) x 2
2
Polynomial Approximations
• Contoh
1
f ( x)
1 x
2
p2 ( x) a0 a1x a2 x
• Dari sebelumnya: a0 1, a1 1
2
2a2 f (0) 2
3
1 x
a2 1
f ( x)
p2 ( x) 1 x x
2
Polynomial Approximations
f(x)
2
p 2 (x)f(x)
2
1.5
p 1 ( x)
Lebih ‘lumayan’ lagi ya..
p 1 ( x)
1.5
y
y
p 0 ( x)
1
p 0 ( x)
1
0.5
-1
0.5
-1
-0.5
-0.5
0
x
x
0
0.5
0.5
Polynomial Approximations
• Kita bisa teruskan penaksiran secara polinom
hingga n derajad.
• Kalau kita teruskan, kita akan mendapatkan
rumus:
f ( x) pn ( x) f (0) f (0) x
2
n
x
x
(n)
f (0) f (0)
2!
n!
Polynomial Approximations
• Akurasi perkiraan akan bertambah seiring
dengan penambahan polinom;
• Kita lihat polinom derajad 0, 1, 2 dan 6 (warna
hijau), dibanding fungsi asli nya f(x) (warna
biru).
2
Polynomial Approximations
f(x)
p 6 ( x)
p 2 ( x)
p 1 ( x)
1.5
y
p 0 ( x)
1
0.5
-1
-0.5
0
x
0.5
Maclaurin (Power) Series
• Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajad tak
hingga
f ( x) f (0) f (0) x
n
x2
x
f (0) f ( n ) (0)
2!
n!
• Notice: Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa
akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya,
bukan penaksiran lagi!
Taylor Series
• Dari awal kita selalu memulai
perkiraan pada nilai x 0
• Sesungguhnya, kita bisa membuat
deret polinom yang berasal dari
titik manapun. x x0
• Ini disebut Taylor Series.
• Jadi, Deret MacLaurin
merupakan Deret Taylor yang
berpusat pada x0=0
Taylor Series
• Rumus umum Deret Taylor:
( x x0 ) 2
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ) f ( x0 )
2!
n
(
x
x
)
0
f ( n ) ( x0 )
n!
n
(
x
x
)
0
f ( n ) ( x0 )
n!
n 0
Taylor Series
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
What is f(x) near x=0.35?
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
Taylor Series
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
What is f(x) near x=0.35?
1.0
T0 ( x) f (0.35)
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
Taylor Series
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
What is f(x) near x=0.35?
1.0
T1 ( x) f (0.35)
0.5
0.0
f '(0.35) x 0.35
-0.5
-1.0
0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
Taylor Series
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
What is f(x) near x=0.35?
1.0
T2 ( x) f (0.35)
0.5
0.0
f '(0.35) x 0.35
-0.5
-1.0
0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
f ''(0.35) x 0.35
1
2
2
Taylor Series
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
1.0
T10 ( x)
0.5
0.0
What is f(x) near x=0.35?
T2 ( x) f (0.35)
f '(0.35) x 0.35
-0.5
-1.0
0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
N
TN ( x)
i 0
f ''(0.35) x 0.35
1
2
f
(i )
a x a
i!
i
2
Taylor Series
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
Most Common: 1st Order
1.0
T1 ( x) f (a)
0.5
0.0
f '(a) x a
-0.5
-1.0
0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
• Look out for “approximate” or “when x is small”
or “small angle” or “close to” …
Contoh – Taylor Series
• Bentuklah Deret Taylor untuk:
f ( x) ln(x),
x0 1
• Cari nilai fungsi dan turunannya
untuk fungsi pada x0=1
Contoh – Taylor Series
f ( x) ln(x) f ( x0 ) ln(1) 0
1
f ( x0 ) 1
1
1
1
f ( x) 2 f ( x0 ) 2 1
x
1
2
2
f ( x) 3 f ( x0 ) 3 2
x
1
f ( x)
1
x
n 1
(
n
1
)!
(
1
)
f ( n ) ( x)
xn
n 1
(
n
1
)!
(
1
)
n 1
f ( n ) ( x0 )
(
n
1
)!
(
1
)
1n
Contoh – Taylor Series
• Gunakan Rumus Umum Deret Taylor:
( x x0 ) 2
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ) f ( x0 )
2!
n
(
x
x
)
0
f ( n ) ( x0 )
n!
( x 1) 2 2!( x 1)3
ln(x) 0 ( x 1)
2!
3!
n
n 1 ( x 1)
(n 1)!(1)
n!
2
3
( x 1) ( x 1)
ln(x) ( x 1)
2
3
n
(
x
1
)
(1) n 1
n
Truncated Taylor Series
• We cannot evaluate a Taylor series – it is
infinite!
• Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan
dari sebuah fungsi hingga n (derajat) tertentu
yang tidak tak terhingga;
• Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.
Truncated Taylor Series
• To find an nth order truncated Taylor series
( x x0 ) 2
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 ) f ( x0 )
2!
( x x0 ) n
(n)
f ( x0 )
n!
• Note: This is the same concept as the polynomial
approximations we introduced earlier.
Example – Truncated Taylor Series
• Find a cubic (degree 3) truncated
Taylor series for the function:
f ( x) cos(2 x)
centered at:
x
4
Example – Truncated Taylor Series
• For a degree 3 approximation:
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 )
( x x0 )
( x x0 )
f ( x0 )
f ( x0 )
2!
3!
2
3
• So we need to evaluate the function
and its first three derivatives at the
center.
Example – Truncated Taylor Series
• Evaluating these:
f ( x) cos(2 x)
f ( x) 2 sin(2 x)
f ( x) 4 cos(2 x)
f ( x) 8 sin(2 x)
f cos 0
4
2
f 2 sin 2
4
2
f 4 cos 0
4
2
f 8 sin 8
4
2
Example – Truncated Taylor Series
• … which gives:
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )(x x0 )
( x x0 ) 2
( x x0 )3
f ( x0 )
f ( x0 )
2!
3!
f ( x) 0 2 x
4
x
x
4
4
0
8
2!
3!
2
4
3
f ( x) 2 x x
4 3
4
3
Example – Truncated Taylor Series
t 3 ( x)
/4
1
p3 ( x)
0.8
cos(2 x)
0.6
f(x)
0.4
0.2
y
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-3
-2
-1
0
x
x0
1
4
2
3
Series Accuracy
• Kenapa mesti pakai Deret Taylor kalau bisa pakai
Maclaurin?
• Perkiraan kita akan makin jauh dari akurat jika semakin
jauh dari titik awal x0;
• Kita harus selalu memakai titik awal yang dekat dengan
titik yang akan diperkirakan dan juga mudah untuk
melakukan perkiraan.
TUGAS
• Perderetkan fungsi berikut ke dalam deret Mc
Laurin:
– f(x) = e2x
– f(x) = cos(x)
• Carilah Polinomial taylor pada x = b berikut
– f(x) = 1/x, pada b = -1
• Kumpulkan hari ini di locker recording.