Transcript Deret dan Aproksimasi Deret MacLaurin Deret Taylor Tujuan • Kenapa perlu perkiraan? – Perkiraan dibentuk dari fungsi paling sederhana – polynomial. – Kita bisa mengintegrasikan dan mendiferensiasi dengan.

Deret dan
Aproksimasi
Deret MacLaurin
Deret Taylor
Tujuan
• Kenapa perlu perkiraan?
– Perkiraan dibentuk dari fungsi paling sederhana –
polynomial.
– Kita bisa mengintegrasikan dan mendiferensiasi
dengan mudah.
– Kita bisa gunakan saat kita tidak tahu fungsi
sebenarnya.
Polynomial Approximations
• Misalkan kita ingin membuat perkiraan untuk sebuah
fungsi yang kompleks pada sekitar x = 0;
• Perkiraan paling simple adalah menentukan sebuah
konstanta, sehingga:
p0 ( x)  a0
• Catatan: perkiraan di atas disebut sebagai zero’th order
polynomial approximation;
• Lalu, nilai berapa yang harus kita berikan pada
konstanta itu?
Polynomial Approximations
• Kita inginkan angka paling akurat pada x = 0.
• Sehingga:
p ( x)  f (0)
0
f(x)
2
1.5
y
p ( x)
1
0.5
-1
-0.5
0
x
0.5
Polynomial Approximations
• Contoh
1
f ( x) 
1 x
1
f (0)   1  p0 ( x)  1
1
Polynomial Approximations
f(x)
2
Tidak akurat
Kurang akurat
1.5
y
p 0 ( x)
1
Sangat
akurat
0.5
-1
-0.5
0
x
0.5
Polynomial Approximations
• Sekarang kita tingkatkan dengan perkiraan
dengan menggunakan aproksimasi linier
(1st order approximation);
p1 ( x)  a0  a1 x
• Sekarang kita pilih nilai sehingga perpotongan
dan garis nya semirip mungkin dengan fungsi
sebenarnya.
Polynomial Approximations
• Menyamakan perpotongan:
p1 (0)  f (0)  a0  a1  0  f (0)
 a0  f (0)
• Menyamakan slope:
p1 (0)  f (0)  a1  f (0)
• Sehingga polinom nya:
p1 (0)  f (0)  f (0) x
Polynomial Approximations
• Contoh
1
f ( x) 
1 x
p1 ( x)  a0  a1 x
1
f (0) 
 1  a0  f (0)  1
1 0
1
f (0) 
 1  a1  f (0)  1
2
1  x 
 p1 ( x)  1  x
Ingat, Metode Newton Raphson
tangent
f(xi)
dy
tangent 
 f'
dx
f  xi   0
f '  xi  
xi  xi1
rearrange
xi+1
xi
f  xi 
xi1  xi 
f '  xi 
Polynomial Approximations
f(x)
2
f(x)
2
p 1 ( x)
1.5
Masih ‘lumayan’ sampai disini
1.5
y
y
1
p 0 ( x)
1
0.5
-1
-0.5
0
0.5
x
0.5
-1
-0.5
0
x
0.5
p 0 ( x)
Polynomial Approximations
• Sekarang coba dengan perkiraan kuadratik:
p2 ( x)  a0  a1x  a2 x
2
• Kita inginkan perpotongan, gradient dan kurva
(turunan kedua) dari perkiraan kita dapat match
dengan fungsi sebenarnya pada x = 0.
Polynomial Approximations
• Menyamakan perpotongan:
p2 (0)  f (0)  a0  a1  0  a2  0  f (0)
2
 a0  f (0)
• Menyamakan kemiringan:
p2 (0)  f (0)  a1  2a2  0  f (0)
Polynomial Approximations
• Mencocokkan kurva (turunan ke 2):
p2(0)  f (0)  2a2  f (0)
1
 a2  f (0)
2
• Memberikan polinom
1
p2 ( x)  f (0)  f (0) x  f (0) x 2
2
Polynomial Approximations
• Contoh
1
f ( x) 
1 x
2
p2 ( x)  a0  a1x  a2 x
• Dari sebelumnya: a0  1, a1  1
2
 2a2  f (0)  2
3
1  x 
 a2  1
f ( x) 
 p2 ( x)  1  x  x
2
Polynomial Approximations
f(x)
2
p 2 (x)f(x)
2
1.5
p 1 ( x)
Lebih ‘lumayan’ lagi ya..
p 1 ( x)
1.5
y
y
p 0 ( x)
1
p 0 ( x)
1
0.5
-1
0.5
-1
-0.5
-0.5
0
x
x
0
0.5
0.5
Polynomial Approximations
• Kita bisa teruskan penaksiran secara polinom
hingga n derajad.
• Kalau kita teruskan, kita akan mendapatkan
rumus:
f ( x)  pn ( x)  f (0)  f (0) x
2
n
x
x
(n)
 f (0)    f (0)
2!
n!
Polynomial Approximations
• Akurasi perkiraan akan bertambah seiring
dengan penambahan polinom;
• Kita lihat polinom derajad 0, 1, 2 dan 6 (warna
hijau), dibanding fungsi asli nya f(x) (warna
biru).
2
Polynomial Approximations
f(x)
p 6 ( x)
p 2 ( x)
p 1 ( x)
1.5
y
p 0 ( x)
1
0.5
-1
-0.5
0
x
0.5
Maclaurin (Power) Series
• Deret Maclaurin adalah penaksiran polinom derajad tak
hingga
f ( x)  f (0)  f (0) x
n
x2
x
 f (0)    f ( n ) (0)  
2!
n!
• Notice: Deret infinite (tak hingga) menyatakan bahwa
akhirnya deret ini sama dengan fungsi sebenarnya,
bukan penaksiran lagi!
Taylor Series
• Dari awal kita selalu memulai
perkiraan pada nilai x  0
• Sesungguhnya, kita bisa membuat
deret polinom yang berasal dari
titik manapun. x  x0
• Ini disebut Taylor Series.
• Jadi, Deret MacLaurin
merupakan Deret Taylor yang
berpusat pada x0=0
Taylor Series
• Rumus umum Deret Taylor:
( x  x0 ) 2
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )(x  x0 )  f ( x0 )
2!
n
(
x

x
)
0
   f ( n ) ( x0 )

n!
n
(
x

x
)
0
  f ( n ) ( x0 )
n!
n 0

Taylor Series
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
What is f(x) near x=0.35?
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
Taylor Series
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
What is f(x) near x=0.35?
1.0
T0 ( x)  f (0.35)
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
Taylor Series
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
What is f(x) near x=0.35?
1.0
T1 ( x)  f (0.35)
0.5
0.0
 f '(0.35)  x  0.35
-0.5
-1.0
0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
Taylor Series
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
What is f(x) near x=0.35?
1.0
T2 ( x)  f (0.35)
0.5
0.0
 f '(0.35)  x  0.35 
-0.5
-1.0
0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
 f ''(0.35)  x  0.35 
1
2
2
Taylor Series
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
1.0
T10 ( x)
0.5
0.0
What is f(x) near x=0.35?
T2 ( x)  f (0.35)
 f '(0.35)  x  0.35 
-0.5
-1.0
0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
N
TN ( x)  
i 0
 f ''(0.35)  x  0.35 
1
2
f
(i )
 a  x  a 
i!
i
2
Taylor Series
f(x)=sin(2x)
• Approximate function? Copy derivatives!
Most Common: 1st Order
1.0
T1 ( x)  f (a) 
0.5
0.0
f '(a)  x  a 
-0.5
-1.0
0.00
0.25
0.50
0.75
X 1.00
• Look out for “approximate” or “when x is small”
or “small angle” or “close to” …
Contoh – Taylor Series
• Bentuklah Deret Taylor untuk:
f ( x)  ln(x),
x0  1
• Cari nilai fungsi dan turunannya
untuk fungsi pada x0=1
Contoh – Taylor Series
f ( x)  ln(x)  f ( x0 )  ln(1)  0
1

 f ( x0 )   1
1
1
1
f ( x)   2  f ( x0 )   2  1
x
1
2
2
f ( x)  3  f ( x0 )  3  2
x
1

f ( x) 
1
x
n 1
(
n

1
)!
(

1
)
f ( n ) ( x) 
xn
n 1
(
n

1
)!
(

1
)
n 1
 f ( n ) ( x0 ) 

(
n

1
)!
(

1
)
1n
Contoh – Taylor Series
• Gunakan Rumus Umum Deret Taylor:
( x  x0 ) 2
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )(x  x0 )  f ( x0 )
2!
n
(
x

x
)
0
   f ( n ) ( x0 )

n!
( x  1) 2 2!( x  1)3
 ln(x)  0  ( x  1) 

2!
3!
n
n 1 ( x  1)
   (n  1)!(1)

n!
2
3
( x  1) ( x  1)
 ln(x)  ( x  1) 

2
3
n
(
x

1
)
   (1) n 1

n
Truncated Taylor Series
• We cannot evaluate a Taylor series – it is
infinite!
• Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan
dari sebuah fungsi hingga n (derajat) tertentu
yang tidak tak terhingga;
• Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.
Truncated Taylor Series
• To find an nth order truncated Taylor series
( x  x0 ) 2
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )(x  x0 )  f ( x0 )
2!
( x  x0 ) n
(n)
   f ( x0 )
n!
• Note: This is the same concept as the polynomial
approximations we introduced earlier.
Example – Truncated Taylor Series
• Find a cubic (degree 3) truncated
Taylor series for the function:
f ( x)  cos(2 x)
centered at:
x

4
Example – Truncated Taylor Series
• For a degree 3 approximation:
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )(x  x0 )
( x  x0 )
( x  x0 )
 f ( x0 )
 f ( x0 )
2!
3!
2
3
• So we need to evaluate the function
and its first three derivatives at the
center.
Example – Truncated Taylor Series
• Evaluating these:
f ( x)  cos(2 x)
f ( x)  2 sin(2 x)
f ( x)  4 cos(2 x)
f ( x)  8 sin(2 x)
 
 
 f    cos   0
4
2
 
 
 f    2 sin    2
4
2
 
 
 f    4 cos   0
4
2
 
 



 f    8 sin    8
4
2
Example – Truncated Taylor Series
• … which gives:
f ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )(x  x0 )
( x  x0 ) 2
( x  x0 )3
 f ( x0 )
 f ( x0 )
2!
3!


 f ( x)  0  2   x  
4





x 
x 
4
4


 0
 8
2!
3!
2
  4
3


 f ( x)  2 x     x  
4  3
4

3
Example – Truncated Taylor Series
t 3 ( x)
 /4
1
p3 ( x)
0.8
cos(2 x)
0.6
f(x)
0.4
0.2
y
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-3
-2
-1
0
x
x0 
1

4
2
3
Series Accuracy
• Kenapa mesti pakai Deret Taylor kalau bisa pakai
Maclaurin?
• Perkiraan kita akan makin jauh dari akurat jika semakin
jauh dari titik awal x0;
• Kita harus selalu memakai titik awal yang dekat dengan
titik yang akan diperkirakan dan juga mudah untuk
melakukan perkiraan.
TUGAS
• Perderetkan fungsi berikut ke dalam deret Mc
Laurin:
– f(x) = e2x
– f(x) = cos(x)
• Carilah Polinomial taylor pada x = b berikut
– f(x) = 1/x, pada b = -1
• Kumpulkan hari ini di locker recording.