Transcript Document 9653477

Matakuliah
Tahun
: K0094 / Analisis Real
: Tahun 2008
Pertemuan 19
Tes untuk Konvergensi Non-Absolut
Sasaran
Pengkajian tentang
Tes untuk Konvergensi Non-Absolut
Pokok Bahasan
Tes untuk Konvergensi Non-Absolut
Teorema
(Teorema Konvergensi Monoton)
Barisan monoton dari bilangan – bilangan
konvergen bila dan hanya bila barisan
monoton tersebut terbatas.
Definisi
Barisan dari bilangan – bilangan {an}
disebut Cauchy bila untuk setiap
bilangan positif  terdapat bilangan alam
N sedemikian sehingga
|an – am|< bila nN dan mN.
Proposisi
Setiap barisan yang konvergen adalah
Cauchy.
Lemma
Setiap barisan Cauchy adalah terbatas.
Teorema
(Kriteria Konvergensi Cauchy untuk Barisan)
Barisan dari bilangan – bilangan konvergen bila
dan hanya bila barisan tersebut Cauchy.
Proposisi

a

Misalkan deret
n 1
n
Lim an  0
konvergen. Maka n 
.
Proposisi
Untuk bilangan r dengan |r|<1,

1
k
r


1r
k0
.
Teorema
Misalkan {ak} adalah barisan dari bilangan – bilangan non

a

negatif. Maka deret
k 1
k
konvergen bila dan hanya bila
terdapat bilangan positif Msedemikian sehingga
a1+ …+ an  Muntuk setiap bilangan alam n.
Akibat
(Test Banding)
Misalkan {ak} dan {bk} adalah barisan – barisan dari bilangan – bilangan
sedemikian sehingga untuk setiap bilangan alam k,
0  ak  bk .


(i)
a

Deret
k 1
k

(ii)
b

Deret
k 1
k
b

konvergen bila deret
k 1
k
konvergen.

a

divergen bila deret
k 1
k
divergen.
Contoh


Diberikan deret k 1
1
k .
k 2
Karena untuk setiap bilangan

1
1

k
alam k,
k 2 k 2 , dan deret ukur
deret di atas juga konvergen.
1

k
2
k 1
konvergen, maka
Contoh

Diberikan deret
1

k
k 1 2 
. Karena untuk setiap bilangan

1
1

alam k2, 2  k 2k , dan deret harmonis
maka deret di atas juga divergen.
1

k 1 k
divergen,
Akibat
(Tes Integral)
Misalkan {ak} adalah barisan dari bilangan – bilangan non
negatif dan fungsi f:[1,)R turun monoton dan punya
sifat f(k) = ak untuk setiap bilangan alam k. Maka deret

a
k 1
k
konvergen bila dan hanya bila barisan
terbatas.

n
1

f ( x)dx
Gambar
Y
Y=f( x)
ak
0
1
f( x)
k
a k+ 1
x
k+1
X
Contoh
Dengan Tes Integral dapat diperlihatkan bahwa deret

1

k 1 (k  1) ln( k  1)
adalah divergen.
Akibat
(Tes – p)

1
p konvergen
Untuk bilangan positif p, deret 
k
k 1
bila dan hanya bila p>1.
Contoh
Dengan Tes – p dapat diperlihat-kan bahwa
deret

k

k
e
k 1
adalah konvergen.
Teorema
(Alternating Series Test)
Misalkan {ak} adalah barisan turun monoton dari
bilangan – bilangan non negatif yang konvergen ke 0. Maka
deret

k 1
(

1
)
ak

k 1
konvergen.
Contoh
Dengan Alternating Series Test tampak jelas
bahwa deret
(1)

k
k 1

konvergen.
k 1