Transcript Document 9653479

Matakuliah : K0094 – Analisis Real
Tahun
: 2008/2009
Barisan dari Bilangan-Bilangan Real
Pertemuan 03
Sasaran
Pengkajian yang lebih mendalam tentang barisan dari
bilangan–bilangan real.
Pokok Bahasan
Barisan dari bilangan–bilangan real.
Barisan–barisan Monoton.
Bina Nusantara
Definisi
Barisan {an} disebut naik monoton bila an+1  an untuk
setiap bilangan alam n. Barisan {an} disebut turun
monoton bila an+1  an untuk setiap bilangan alam n.
Barisan {an} disebut monoton bila {an} naik monoton
atau turun monoton.
Bina Nusantara
Teorema
(Teorema Konvergensi Monoton)
Diberikan barisan {an} yang monoton.
Maka, {an} konvergen bila dan hanya bila {an}
terbatas.
Bina Nusantara
Definisi
Pandang barisan {an} dan ambil barisan dari bilangan
bilangan alam {nk} yang naik tajam, yaitu n1 < n2 < n3
< Maka barisan {bk} yang didefinisikan dengan bk =
ank untuk setiap bilangan alam k disebut barisan
bagian dari barisan {an}.
Bina Nusantara
Teorema-teorema
• Setiap barisan punya barisan bagian yang monoton.
• Setiap barisan terbatas punya barisan bagian yang
konvergen.
• (Teorema Bolzano – Weierstrass)
Misalkan a dan b adalah bilangan real dengan a < b.
Setiap barisan dalam interval [a,b] punya barisan
bagian yang konvergen ke suatu titik dalam [a,b].
Bina Nusantara
Proposisi
• Diberikan barisan {an} yang konvergen ke limit a.
Maka setiap barisan bagian dari {an} juga
konvergen ke limit yang sama a.
Bina Nusantara
Teorema
• (Teorema Nested Interval)
Untuk setiap bilangan alam n, misalkan an dan bn adalah
bilangan–bilangan sedemikian sehingga an < bn. Ambil In =
[an , bn]. Misalkan
In+1  In untuk setiap bilangan alam n.
Lim
Misalkan juga n   b n  a n   0 maka, terdapatlah dengan
tunggal satu titik x yang terletak di dalam semua interval In
dimana barisan-barisan {an} dan {bn} konvergen ke x
Bina Nusantara