Transcript Document 9653471

Matakuliah : K0094 – Analisis Real
Tahun
: 2008/2009
Fungsi-fungsi Monoton dan Teorema
Fundamental Pertama dalam Kalkulus
Pertemuan 13
Sasaran
Pengkajian tentang
Fungsi–fungsi Monoton Dan
Teorema Fundamental Pertama
Dalam Kalkulus
Bina Nusantara
Definisi
Suatu fungsi f: D R disebut monoton naik bila f(x1)
 f(x2) untuk semua titik – titik x1 dan x2 dalam D
sedemikian sehingga x1  x2 . Suatu fungsi f: D R
disebut monoton turun bila f(x1)  f(x2) untuk semua
titik – titik x1 dan x2 dalam D sedemikian sehingga x1
 x2 . Bila suatu fungsi monoton naik atau monoton
turun, fungsi ini disebut fungsi monoton.
Bina Nusantara
Teorema
Misalkan fungsi f: [a,b]  R adalah monoton. Maka
f: [a,b]  R adalah integrabel.
Bina Nusantara
Gambar
y
y = f(x)
f(b) – f(a)
(b – a)/n
0 a=x0 x1 x2 x3 x4
xn-2 xn-1 xn=b
x
U(f,P) – L(f,P) = (f(b) – f(a))(b – a)/n
Bina Nusantara
Contoh
Fungsi f: [0,1]  R dimana f (x)  e
untuk 0  x  1 adalah integrabel dengan menggunakan
teorema di atas dan monotonitas (naik) dari fungsi f.
x2
Bina Nusantara
Teorema
Misalkan fungsi f: [a,b]  R kontinu. Maka fungsi f
adalah integrabel.
Bina Nusantara
Akibat
Misalkan fungsi f: [a,b]  R terbatas dan fungsi f:
(a,b)  R kontinu. Maka fungsi f: [a,b]  R
integrabel.
Bina Nusantara
Contoh
Diberikan fungsi f: [0,1]  R di mana
Bila 0 < x  1
sin ( 1 ) bila x 0
x
f(x) 
4
Fungsi f: [0,1]  R adalah terbatas, dan fungsi f: (0,1)  R adalah
kontinu.
Berdasarkan Akibat 9.7, fungsi f: [0,1]  R integrabel.
Bina Nusantara
Contoh
Misalkan fungsi f: [a,b]  R berharga konstan k pada interval terbuka (a,b).
Jelas bahwa fungsi f: [a,b]  R tersebut adalah integrabel. Ambil partisi
sebarang P = { x0 , x1 ,..., xn } dari [a,b]. Maka untuk setiap indek i di mana
1  i  n, mi  k  Mi . Jadi dan dengan definisi dan integral,
b
f
 k (b  a ).
a
Bina Nusantara
Proposisi
Misalkan fungsi f: [a,b]  R terbatas. Untuk setiap bilangan alam n, misalkan
Pn adalah partisi dari [a,b]. Misalkan bilangan A punya sifat bahwa
Lim L( f , Pn )  A  LimU ( f , Pn ).
n
n
Maka fungsi f: [a, b]  R integrabel dan
b
f
a
Bina Nusantara
 A.
Contoh
1
1
xdx

. Ambil fungsi f: [0,1]
Dengan Proposisi 9.8 dapat dibuktikan bahwa 
2
0
 R di mana f(x) = x untuk setiap x dalam [0,1]. Fungsi f: [0,1]  R adalah
monoton naik.
1 1 n  i 1
L( f , Pn )   mi ( xi  xi 1 )  f ( xi 1 )   

n n i 1  n 
i 1
i 1
n
n
1 n
1 n(n  1) 1 1
 2  (i  1)  2 
  .
n i 1
n
2
2 2n
Bina Nusantara
Contoh (Lanjutan)
Juga diperoleh,
U ( f , Pn ) 
1 1
 .
2 2n
Jadi
1
LimL( f , Pn )  LimU ( f , Pn )  ,
n
n
2
1
1
1
1
xdx

,
yaitu
f

.

Sehingga 
2
2
0
0
Bina Nusantara
Teorema
(Teorema Fundamental Pertama dari
Kalkulus)
Misalkan fungsi f: [a,b]  R integrabel. Misalkan fungsi f: [a,b]  R kontinu,
dan fungsi f: (a,b)  R diferensiabel dengan
F(x) = f(x) untuk semua x dalam (a, b).
Maka
b
 f  F (b)  F (a).
a
Bina Nusantara
Contoh
Misalkan  > 0. Ambil fungsi f: [0,1]  R di mana f(x) = x untuk semua x
dalam [0,1]. Karena fungsi f: [0,1]  R kontinu maka fungsi itu differensiabel.
Dengan Teorema 9.9 di atas, dapat diperlihatkan bahwa
1

x
 dx
0
Bina Nusantara
1
 1
Akibat
Misalkan fungsi F: [a,b]  R kontinu, fungsi F: [a,b]  R diferensiabel, dan
derivatif F: (a,b)  R adalah kontinu dan terbatas. Maka
b
'
F
 (x)dx  F (b)  F (a).
a
Bina Nusantara