Transcript Document 9653476

Matakuliah : K0094 – Analisis Real
Tahun
: 2008/2009
Barisan dan Deret Bilangan-bilangan
Pertemuan 14
Sasaran
Pengkajian tentang Barisan dan Deret
dari Bilangan-bilangan
Bina Nusantara
Teorema (Teorema Konvergensi
Monoton)
Barisan monoton dari bilangan-bilangan
konvergen bila dan hanya bila barisan monoton
tersebut terbatas.
Bina Nusantara
Definisi
Barisan dari bilangan-bilangan {an} disebut Cauchy
bila untuk setiap bilangan positif terdapat
bilangan alam N sedemikian sehingga |an – am| <
 bila n N dan m  N
Bina Nusantara
Proposisi
Setiap barisan yang konvergen adalah Cauchy.
Lemma
Setiap barisan Cauchy adalah terbatas.
Bina Nusantara
Teorema
(Kriteria Konvergensi Cauchy untuk Barisan)
Barisan dari bilangan-bilangan konvergen bila dan
hanya bila barisan tersebut Cauchy.
Proposisi

Misalkan deret
a
n 1
Bina Nusantara
n
konvergen. Maka
lim a n  0.
n 
Proposisi
Untuk bilangan r dengan | r | 1,

1
r 
.

1 r
k 0
k
Bina Nusantara
Teorema
Misalkan a k adalah barisan dari bilangan-bilangan
non-negatif.

Maka deret
terdapat
a
k 1
k
konvergen bila dan hanya bila
bilangan positif M sedemikian sehingga untuk setiap
bilangan alam n.
Bina Nusantara
Akibat (Test Banding)
Misalkana k  dan bk  adalah barisan-barisan dari bilanganbilangan sedemikian sehingga untuk setiap bilangan alam k,
0  ak  bk .

i. Deret
a
k 1
ii. Deret
b
konvergen bila deret
k 1

k
konvergen.
divergen bila deret  a k divergen.
b
 k
k 1

k 1
Bina Nusantara
k

Contoh

Diberikan deret
k,
1
2k
2
k 1
1
k
k
. Karena untuk setiap bilangan alam
1
 k , dan deret geometri
k 2
deret di atas juga konvergen.
Bina Nusantara


k 1
1
k konvergen, maka
2
Contoh
Diberikan deret
k  2,
1
2
berlaku
1
2 k
k
. Karena untuk setiap bilangan alam

1
1 dan deret harmonis  k
k 1

,
2k
divergen, maka deret di atas juga divergen.
Bina Nusantara
Akibat (Tes Integral)
Misalkana k  adalah barisan dari bilangan-bilangan non-negatif
dan fungsi f :[1, )  R turun monoton dan punya sifat
f (k )  a k untuk setiap bilangan alam k. Maka deret
 f (x) dx

a
k 1
k
n
konvergen bila dan hanya bila barisan
Bina Nusantara
1
terbatas.
Contoh
Dengan Tes Integral dapat diperlihatkan bahwa deret

1

k 1 k  1 ln k  1
Bina Nusantara
adalah divergen
Akibat (Tes-p)

Untuk bilangan positif p, deret
dan hanya
bila p  1.
Bina Nusantara
1

p
k
k 1
konvergen bila
Contoh
Dengan Tes-p dapat diperlihatkan bahwa deret

k
adalah konvergen.

k
k 1 e
Bina Nusantara
Teorema (Tes Deret Alternating)
Misalkana k  adalah barisan turun monoton dari
bilanganbilangan non-negatif yang konvergen ke 0. Maka
deret
k 1

  1 ak
k 1
Bina Nusantara
adalah konvergen.
Contoh
Dengan Tes Deret Alternating tampak jelas bahwa
deret

k 1
  1
k 1
Bina Nusantara
1
k
adalah konvergen.
Teorema
(Kriteria Konvergensi Cauchy untuk
Deret)

Deret
setiap
a
k 1
k
konvergen bila dan hanya bila untuk
bilangan positif  terdapat bilangan alam N
sedemikian sehingga
an1  an2    ank  
k.untuk semua dan semua
Bina Nusantara
Definisi

Deret a k
deret k 1
konvergen.
Bina Nusantara

ak |
dikatakan konvergen absolut
 |bila
k 1
Akibat (Tes Konvergensi Absolut)

Deret a k
k 1
konvergen.
Bina Nusantara

ak |
konvergen bila
 |deret
k 1
Contoh

sin k
Deret 2
dapat dibuktikan konvergen
k 1 k
menggunakan
Tes
Konvergensi Absolut.
Bina Nusantara
Teorema

Untuk deret a k ,
k 1
dengan
misalkan terdapat bilangan r
0  r 1
dan bilangan alam N sedemikian
an1  r an
sehingga

 ak
untuk semua
k 1
Maka deret
Bina Nusantara
konvergen absolut.
Akibat (Tes Rasio untuk Deret)

Untuk deret
a
k 1
k
,
misalkan
an1
lim
 l.
n a
n

•
Bilal  1, deret  a k konvergen absolut.
k 1

•
Bilal  1, deret
Bina Nusantara
a
k 1
k
divergen.