Transcript Logaritma & Deret (point 1)

Logaritma &
Deret
(point 1)
Julian Adam Ridjal, SP., MP.
PS Agribisnis Universitas Jember
Pangkat, Akar & Logaritma
Pangkat adalah suatu indeks yang menunjukkan
banyaknya perkalian bilangan yang sama secara
berurutan.
Bentuk umum
a.a.a.a.a…. = an
Contoh : 7 X 7 X 7 X 7 = 74
Pangkat, Akar & Logaritma
• Akar dari suatu bilangan adalah basis yang
memenuhi bilangan tersebut berkenaan
dengan pangka akarnya
• Bentuk umum:
xa = m  x =
m
Pangkat, akar & Logaritma
Logaritma dari suatu bilangan adalah pangkat
yang harus dikenakan pada bilangan pokok
Logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut.
Contoh Logaritma
1. Hitunglah x untuk 3x+1 = 27
log 27 = 1,4314 dan log 3 = 0,4771
2. Carilah x jika ( 0,32 + x)15 = 789
log 789 = 2,8971
dan log (0,32 + x)15 = 15 log (0,32 + x)
3. Selesaikan x untk log (3x + 298) = 3
3 merupakan log 103
DERET
• Deret Hitung
- Suku ke-n dari DH
- Jumlah n suku
• Deret Ukur
- Suku ke-n dari DU
- Jumlah n suku
Dan penerapannya dalam dunia ekonomi
6
DEFINISI
• Deret : Rangkaian bilangan yang tersusun
secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah
tertentu.
• Suku : Bilangan-bilangan yang merupakan
unsur dan pembentuk deret.
• Macam-macam deret :
- Deret Hitung
- Deret Ukur
- Deret Harmoni
7
DERET HITUNG
Deret hitung : deret yang perubahan sukusukunya berdasarkan penjumlahan terhadap
sebuah bilangan tertentu.
Bilangan yang membedakan suku-suku dari
deret hitung dinamakan pembeda, yang tak lain
adalah selisih antara nilai dua suku yang
berurutan.
Contoh :
5, 10, 15, 20, 25, 30 (pembeda 5)
90, 80, 70, 60, 50, 40 (pembeda -10)
8
SUKU KE-N DARI DERET HITUNG
5, 10, 15, 20, 25, 30
S1, S2, S3, S4, S5, S6
S1 = 5 = a
S2 = 10 = a + b = a + (2 - 1)b
S3 = 15 = a + 2b = a + (3 - 1)b
S4 = 20 = a + 3b = a + (4 - 1)b
S5 = 25 = a + 4b = a + (5 - 1)b
S6 = 30 = a + 5b = a + (6 - 1)b
Sn = a + (n - 1)b
a = suku pertama / s1
b = pembeda
n = indeks suku
9
Jumlah n Suku
• Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan
suku tertentu tidak lain adalah jumlah
nilai suku-sukunya.
n
J n   S i  S1  S 2  ...........  S n
i 1
4
J 4   S i  S1  S 2  S3  S 4
i 1
5
J 5   S i  S1  S 2  S 3  S 4  S 5
i 1
6
J 6   S i  S1  S 2  S 3  S 4  S 5  S 6
i 1
10
Berdasarkan rumus suku ke-n 
Sn = a + (n - 1)b, maka dapat diuraikan
J4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 4a + 6b
J5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b)
= 5a + 10b
J6 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a +
5b)
= 6a + 15b
11
Masing-masing Ji dapat ditulis
4

J 4  4a  6b  4a  (4  1)b 
2

5
n

J 5  5a  10b  5a  (5  1)b  J n  na  (n  1)b
2
2

6

J 6  6a  15b  6a  (6  1)b 
2

n
atau J n  2a  (n  1)b
2
n
 a  a  (n  1)b
2
n
 (a  S n )
2
Sn
12
DERET UKUR
• Deret ukur : deret yang perubahan suku-sukunya
berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan
tertentu.
• Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret
ukur dinamakan pengganda.
Contoh :
1)5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda 2)
2)512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda 0,5)
13
SUKU KE-N DARI DERET UKUR
S1  5  a


S 2  10  ap
 ap2 1 
S 3  20  app
 ap2  ap31 

n-1
S

ap
 n
S 4  40  appp
 ap3  ap41 
S 5  80  apppp  ap4  ap51 

S 6  160  appppp ap5  ap61 

a  suku pert ama
p  pengganda
n  indeks suku
14
JUMLAH N SUKU
n
J n   Si  S1  S 2  S3  S 4 ...........  S n
i 1
berdasarkan rumus S n  ap
n-1
maka:
n2
J n  a  ap  ap  ap  ....... ap
2
3
n 1
 ap
(1)
jika dikalikandengan bilangan pengganda p, maka:
n 1
pJn  ap  ap  ap  ap  ....... ap
2
3
4
 ap
n
(2)
15
selisih antarapersamaan(1) dan persamaan(2)
selisih antarapersamaan(1) dan persamaan(2)
J n  pJn  a  ap
n
J n (1  p )  a (1  p )
n
a (1  p )
a ( p  1)
Jn 
atau J n 
1 p
p 1
n
p 1
n
p 1
16
MODEL PERKEMBANGAN USAHA
• Jika perkembangan variabel-variabel
tertentu dalam kegiatan usaha,
misalnya : produksi, biaya, pendapatan,
penggunaan tenaga kerja dll. Memiliki
pola seperti deret hitung, maka prinsipprinsip deret hitung dapat diterapkan
dalam menganalisis perkembangan
vaiabel tersebut.
17
Model Bunga Majemuk
setelah1 tahun: F1  P  P.i  P(1  i )
setelah 2 tahun: F2  P(1  i )  P(1  i )i  P(1  i ) 2
setelah3 tahun: F3  P(1  i ) 2  P(1  i ) 2 i  P(1  i )3
setelah n tahun: Fn  (.........)  (..........)  P(1  i ) n
• Jumlah di masa datang dari jumlah sekarang :
Fn  P(1  i)n
Sn  apn-1
Bunga dibayar 1x
setahun
18
•
Bila bunga dibayar lebih sekali dalam setahun, misal m kali, maka :
i mn
Fn  P (1 
)
m
m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun
Suku (1+i) dan (1 + i/m) disebut “faktor bunga
majemuk” (compounding interest factor), yaitu suatu
bilangan yang lebih besar dari 1, yang dapat dipakai
untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari
suatu jumlah sekarang.
19
• Dengan manipulasi matematis, bisa
diketahui nilai sekarang (present value) :
1
P
F
n
(1  i)
1
atau P 
F
mn
(1  i / m)
Suku 1/(1+i)n dan 1/(1+i/m)mn dinamakan “faktor
diskonto” (discount factor), yaitu suatu bilangan
lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk
menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa
datang.
20
MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK
Pt = P1 R t-1
Dimana
R =1+r
P1 = jumlah pada tahun pertama (basis)
Pt = jumlah pada tahun ke-t
r = persentase pertumbuhan per-tahun
t = indeks waktu (tahun)
21
Contoh Deret
dalam Ekonomi Pertanian
• Sn = a + ( n – 1) b
• Sebuah perusahaan “Mangga Jaya” yang mengolah buah
mangga menjadi minuman jus dapat menghasilkan 3000 jus
mangga pada bulan pertama produksinya. Dengan
penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktifitas,
perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 jus
setiap bulan. Apabila perkembangan produksinya konstan,
berapa jus mangga yang dihasilkan perusahaan pada bulan
kelima ? Berapa total jus “Mangga Jaya” yang dihasilkan
perusahaan sampai dengan bulan kelima ?
• Perusahaan “Sari Tiwul” memperoleh penerimaan
dari hasil penjualan tepungnya sebesar Rp. 720 juta
pada tahun kelima dan Rp. 980 juta pada tahun
ketujuh. Jika perkembangan penerimaan penjualan
tersebut berpola seperti deret hitung, berapa
perkembangan penerimaannya per tahun ? Berapa
besar penerimaan pada tahun pertama dan pada
tahun ke berapa penerimaannya sebesar Rp. 460 juta
?
Model Bunga Majemuk
• Fn = P (1+ i )n
• Jarwo berniat membuka usaha warung
pecel. Dia meminjam uang di BRI
sebanyak Rp. 5 juta untuk jangka waktu 3
tahun, dengan tingkat bunga 2 % per
tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang
harus dikembalikan Jarwo pada saat
pelunasan ? Seandainya perhitungan
pembayaran bunga bukan tiap tahun,
melinkan tiap semester, berapa jumlah
yang harus Jarwo kembalikan ?
• Selain digunakan untuk perputaran
modal usaha warung pecelnya,
Jarwo juga menyisihkan
keuntungannya untuk tabungan.
Tabungannya akan menjadi sebesar
Rp.532.400,- tiga tahun yang akan
datang. Jika tingkat bunga bank
yang berlaku 10 per tahun, berapa
tabungan Jarwo tersebut pada saat
sekarang ini ?
Model Pertumbuhan Penduduk
• Malthus menyatakan bahwa penduduk
dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur.
• Pt = Pt Rt-1
• Semisal penduduk di Kecamatan Wuluhan
Kabupaten Jember pada tahun 1991
sejumlah
1
juta
jiwa,
tingkat
pertumbuhannya 4 persen per tahun.
Hitunglah jumlah penduduk di Kecamatan
Wuluhan tersebut pada tahun 2006. Jika
mulai tahun 2006 pertumbuhannya
menurun menjadi 2,5 %, berapa jumlahnya
11 tahun kemudian ?
Deret Ukur
• Bila ada suatu deret ukur yang suku
pertamanya a=1 dan pengalinya p=2, maka
tentukan besarnya suku ke 5 dan jumlah 5
sukunya?
Bunga Majemuk
• Berapakah jumlah uang yang harus
dikembalikan oleh seorang yang meminjam
uang sebesar Rp. 2500,- pad tanggal 5 Juni
1992 dan dikembalikan pada tanggal 5
Februari 1993 dengan bunga sebesar 14
persen ?
Bunga Majemuk
• Setahun lagi Asbun akan menerima uang
sebesar Rp. 10.000,-. Berapakah besar nilai
sekarang dari uang tersebut jika tingkat bunga
adalah 13 persen setahun ?
Bunga Majemuk
• Semisal ada uang sebanyak Rp. 1000,dibungakan selama 6 tahun dengan bunga
majemuk sebesar 5 % per tahun dan diambil
setahun sekali, maka berapakah jumlah uang
tersebut setelah 6 tahun ?