Transcript Pertemuan 3 dan 4

MATEMATIKA BISNIS
PROGRAM STUDI
MANAJEMEN/AKUNTANSI
UNIVERSITAS PGRI ADI BUANA
SURABAYA
Dosen : Permadina Kanah Arieska, S.Si, M.Si
SILABUS MATERI DERET
DERET (Pertemuan 3 dan 4)
Deret Hitung
Deret Ukur
Bunga Majemuk
Aplikasi Deret pada Bisnis dan Ekonomi
DERET
Deret
 Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara
teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.
 Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan
pembentuk sebuah deret dinamakan suku.
Deret dilihat dari jumlah suku
Deret dilihat dari segi
pola perubahan bilangan pada suku
Deret hitung
Deret berhingga
DERET
DERET
Deret tak terhingga
Deret ukur
Deret harmoni
4
Deret
 Deret hitung (DH)
 Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya
berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan
tertentu.
 Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung
ini dinamakan pembeda, yaitu selisih antara nilai-nilai dua
suku yang berurutan.
 Contoh:
1) 7, 12, 17, 22, 27, 32
2) 93, 83, 73, 63, 53, 43
3) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
(pembeda = 5)
(pembeda = - 10)
(pembeda = 2)
5
Deret
 Suku ke-n dari deret hitung
 Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung
dapat dihitung melalui sebuah rumus.
Sn = a +(n-1)b
 a : suku pertama atau S1
 b : pembeda
 n : indeks suku
 Sebagai contoh, nilai suku ke-10 (S10) dari
deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 adalah
 S10 = a + (n - 1)b
 S10 = 7 + (10 - 1)5
 S10 = 7 + 45
 S10 = 52.
 Suku ke-10 dari deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 adalah
52.
6
Deret
 Jumlah n suku deret hitung
 Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu adalah
jumlah nilai suku-sukunya, sejak suku pertama (S1 atau a) sampai
dengan suku ke-n (Sn) yang bersangkutan.
 Menghitung jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku
tertentu n, terdapat empat bentuk rumus yang bisa digunakan
n
n
J n  2a  n - 1b
J n   Si
2
Jika Sn
i 1
n
belum diketahui
n
J n  na  n - 1b
J n  a  S n 
2
2
 Jumlah deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 sampai suku ke-10
adalah
 J 10 = 10/2 (7 + S10)
 J10 = 5 (7 + 52)
 J10 = 295
7
Deret
 Deret ukur (DU)
 Deret ukur ialah deret yang perubahan suku-sukunya
berdasarkan perkalian terhadap sebuah bilangan tertentu.
 Bilangan yang membedakan suku-suku sebuah deret ukur
dinamakan pengganda, yakni merupakan hasil bagi nilai
suatu suku terhadap nilai suku di depannya.
 Contoh
5, 10, 20, 40, 80,160
(pengganda = 2)
512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda = 0,5)
2, 8, 32, 128, 512
(pengganda = 4)
8
Deret
 Suku ke-n dari DU
Rumus penghitungan suku tertentu dari sebuah deret ukur:
• Sn = apn-1
 a : suku pertama
 p : pengganda
 n : indeks suku
Contoh
• Nilai suku ke 10 (S10) dari deret ukur 5, 10, 20, 40, 80,160
adalah
 S10 = 5 (2)10-1
 S10 = 5 (512)
 S10 = 2560
• Suku ke 10 dari deret ukur 5, 10, 20, 40, 80,160 adalah
2560
9
Deret
 Jumlah n suku deret hitung
 Jumlah sebuah deret ukur sampai suku tertentu adalah jumlah
nilai sukunya sejak suku pertama sampai dengan suku ke-n yang
bersangkutan.
 Rumus jumlah deret ukur sampai dengan suku ke-n, yakni:
a(1 p n )
a(pn  1)
Jn 
at au J n 
1 p
p -1
 Jika p <1, penggunaan rumus yang di sebelah kiri akan lebih
mempermudah perhitungan. Jika p >1, menggunakan rumus yang
di sebelah kanan.
 Contoh:
 Jumlah n suku dari deret hitung 5, 10, 20, 40, 80, 160 adalah
J10
J10
5 (210  1 )

2 -1
5 (1 0 2 3 )

 5115
1
10
Deret dalam Penerapan Ekonomi
 Model Perkembangan Usaha
 Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha
(produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman
modal) bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.
 Model Bunga Majemuk
 Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus
simpan-pinjam dan kasus investasi.
 Dengan model ini dapat dihitung; misalnya, besarnya pengembalian kredit di
masa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk
mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan
diterima di masa datang.
 Model Pertumbuhan Penduduk
 Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah
dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan
oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur.
11
Deret dalam Penerapan Ekonomi
 Model Perkembangan Usaha
 Contoh
 Sebuah perusahaan jamu “roso" menghasilkan 3.000 bungkus jamu
pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja
dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu meningkatkan
produksinya sebanyak 500 bungkus setiap bulan. Jika
perkembangan produksinya tetap, berapa bungkus jamu yang
dihasilkannya pada bulan kelima? Berapa bungkus yang telah
dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?
 Diketahui:
 a = 3.000
 b = 500
n = 5
Sn = a +(n-1)b
S5 = 3.000 + (5 - 1)500 = 5.000
J5 
n
J n  a  S n 
2
5
3.000  5.000   20.000
2
 Jumlah produksi pada bulan kelima adalah 5.000 bungkus,
sedangkan jumlah seluruh jamu yang dihasilkan sampai dengan
bulan tersebut 20.000 bungkus.
12
Deret dalam Penerapan Ekonomi
 Model Bunga Majemuk
 Jumlah di masa datang dari suatu jumlah sekarang
adalah
 Fn = P(1 + i)n
P : jumlah sekarang
i : tingkat bunga per tahun
n : jumlah tahun
 Nilai sekarang (present value) dari suatu jumlah uang
tertentu di masa datang adalah:
1
P
F
n
F : jumlah di masa datang
1  i 
i : tingkat bunga per tahun
n : jumlah tahun
13
Deret dalam Penerapan Ekonomi
 Model Bunga Majemuk
 Seorang nasabah meminjam uang di bank sebanyak Rp 5 juta
untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat bunga 2% per
tahun. Berapa jumlah seluruh uang yang harus
dikembalikannya pada saat pelunasan?
 Dikteahui:
 P = 5.000.000
n = 3
 i = 2% = 0,02
 Penyelesaian:
 F = P (1 + i )n
 F = 5.000.000 (1 + 0,02)3
 F = 5.000.000 (1,061208)
 F = 5.306.040
14
Deret dalam Penerapan Ekonomi
 Model Bunga Majemuk
 Tabungan seorang mahasiswa akan menjadi sebesar
Rp.532.400 tiga tahun yang akan datang. Jika tingkat
bunga bank yang berlaku 10% per tahun, berapa
tabungan mahasiswa tersebut pada saat sekarang ini?
 F = 532.400
n = 3
 i = 10% = 0,1
P
1
1  i 
n
F
P
1
1  0.1
3
 532.400
 P = 400.000
 Jadi besarnya tabungan sekarang adalah Rp. 400.000,00.
15
Deret dalam Penerapan Ekonomi
 Model Pertumbuhan Penduduk
 Pt = P1 R t-1
Dimana
R=1+r
 Pi : Jumlah pada tahun pertama (basis)
 Pt : Jumlah pada tahun ke-t
 r : persentase pertumbuhan per tahun
 t : indeks waktu (tahun)
16
Deret dalam Penerapan Ekonomi
 Model Pertumbuhan Penduduk
 Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahun 1991,
tingkat per tumbuhannya 4% per tahun. Hitunglah jumlah
penduduk kota tersebut pada tahun 2006. Jika mulai tahun
2006 pertumbuhannya menurun menjadi 2,5%, berapa
jumlahnya 11 tahun kemudian ?
 Pt = P1 R t-1
 P1 = 1 juta
 r = 0,04
 R = 1,04
 P1= 1.800.943
 r = 0,025
 R = 1,025
Dimana: R = 1 + r
P tahun 2006 = P16 = 1 juta (1,04)15
= 1 juta (1,800943)
= 1.800.943 jiwa
P 11 tahun kemudian = P11
P11 = 1.800.943 (1,025)10
P11 = 2.305.359 jiwa
17
KERJAKAN SOAL-SOAL DIBAWAH INI !
1. Perusahaan minuman “ Segar Buana ” menghasilkan 2400 botol
minuman pada bulan pertama produksinya. Dikarenakan kelemahan
dalam bersaing dengan perusahaan lain, produksi berkurang
sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika penurunan produksi
berlangsung konstan, berapa botol minuman yang dihasilkan pada
bulan ke empat? Berapa botol minuman yang telah dihasilkan
sampai dengan bulan tersebut ?
2. Besarnya penerimaan PT. Buana Sejahtera dari hasil penjualan
barangnya Rp 720 juta pada tahun ke lima dan Rp 980 juta pada
tahun ke tujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan
tersebut berpola seperti deret hitung, berapa perkembangan
penerimaannya per tahun? Berapa besar penerimaan pada tahun
pertama dan pada tahun ke berapa penerimaannya sebesar Rp 460
juta ?
18
Lanjutan ……….
3. Pabrik sepatu “Buana Jaya”memproduksi 12.000 pasang sepatu
pada tahun pertama operasinya. Namun karena situasi
perekonomian yang tidak menguntungkan, produksinya terus
menyusut 400 pasang setiap tahun. Berapa produksinya:
a. Pada tahun ketiga ?
b. Pada tahun kelima belas ?
c. Berapa yang telah diproduksi sampai dengan tahun kesepuluh ?
4. Perusahaan “ Buana Keramik” memproduksi 10 (dalam ribuan)
keramik pada bulan pertama operasinya. Karena situasi
perekonomian yang bagus, produksinya terus meningkat setiap
bulan seperti deret ukur dengan pembanding 2.
a. Berapa produksi pada bulan ke sepuluh ?
b. Berapa jumlah yang telah diproduksi sampai dengan bulan
kesepuluh ?
19
Lanjutan ….
5. Orang tua saudara menabung di Bank pada saat saudara berumur
5 tahun sebesar Rp 100.000,- dengan bunga majemuk sebesar 16
%/tahun . Untuk bisa kuliah orang tua
saudara mengambil
simpanan tersebut sebagai biaya sumbangan pendidikan pada
tahun 2013. Berapa uang yang diterima orang tua saudara ?
( catatan : tuliskan tahun lahir saudara )
6. Seorang nasabah meminjam uang di Bank sebanyak 5 juta rupiah
untuk jangka waktu 3 tahun dengan tingkat bunga 2% pertahun.
Berapa jumlah seluruh uang yang akan dikembalikan pada saat
pelunasan? Seandainya perhitungan pembayan bunga .bukan tiap
tahun, melainkan tiap semester, berapa jumlah yang harus
dikembalikan ?
20
Lanjutan ..
7. Dina ingin jalan-jalan ke Brunei pada ulang tahun ke 21, 25 bulan
yang akan datang. Perkiraan biayanya Rp 6.600.000 untuk tiket dan
akomodasi, dan Rp 1.000.000 untuk fiskal. Jika saat ini ia sudah
memiliki uang Rp. 2.800.000, berapa Dina harus menabung tiap
bulannya ?
8. Gusta memiliki hutang sebesar Rp 1.000.000 dengan bunga 7 %
per tahun. Jka ia berniat melunasi hutangnya setelah 2.5 tahun
menunggak, berapa besar jumlah yang harus ia bayar?
21