Transcript DERET MATEMATIKA EKONOMI PTE 4109, Agribisnis UB MATERI YANG DIPERLAJARI Deret Hitung - Suku ke-n dari DH - Jumlah n suku  Deret Ukur - Suku ke-n.

DERET
MATEMATIKA EKONOMI
1
PTE 4109, Agribisnis UB
MATERI YANG DIPERLAJARI
Deret Hitung
- Suku ke-n dari DH
- Jumlah n suku
 Deret Ukur
- Suku ke-n dari DU
- Jumlah n suku
Dan penerapannya dalam dunia ekonomi

2
PTE 4109, Agribisnis UB
DEFINISI
 Deret
: Rangkaian bilangan yang
tersusun secara teratur dan memenuhi
kaidah-kaidah tertentu.
 Suku : Bilangan-bilangan yang
merupakan unsur dan pembentuk deret.
 Macam-macam deret :
- Deret Hitung
- Deret Ukur
- Deret Harmoni
3
PTE 4109, Agribisnis UB
DERET HITUNG
Deret hitung : deret yang perubahan sukusukunya berdasarkan penjumlahan
terhadap sebuah bilangan tertentu.
Bilangan yang membedakan suku-suku
dari deret hitung dinamakan pembeda,
yang tak lain adalah selisih antara nilai
dua suku yang berurutan.
Contoh :
5, 10, 15, 20, 25, 30 (pembeda 5)
90, 80, 70, 60, 50, 40 (pembeda -10)
4
PTE 4109, Agribisnis UB
SUKU
KE-N DARI
DERET HITUNG
5, 10, 15, 20, 25, 30
S1, S2, S3, S4, S5, S6
S1 = 5 = a
S2 = 10 = a + b = a + (2 - 1)b
S3 = 15 = a + 2b = a + (3 - 1)b
S4 = 20 = a + 3b = a + (4 - 1)b
S5 = 25 = a + 4b = a + (5 - 1)b
S6 = 30 = a + 5b = a + (6 - 1)b
Sn = a + (n - 1)b
a = suku pertama / s1
b = pembeda
n = indeks suku
5
PTE 4109, Agribisnis UB
JUMLAH N SUKU
 Jumlah
sebuah deret hitung sampai dengan
suku tertentu tidak lain adalah jumlah nilai
suku-sukunya.
n
J n   S i  S1  S 2  ...........  S n
i 1
4
J 4   S i  S1  S 2  S3  S 4
i 1
5
J 5   S i  S1  S 2  S 3  S 4  S 5
i 1
6
J 6   S i  S1  S 2  S 3  S 4  S 5  S 6
i 1
6
PTE 4109, Agribisnis UB
Berdasarkan rumus suku ke-n 
Sn = a + (n - 1)b, maka dapat diuraikan
J4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 4a + 6b
J5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b)
= 5a + 10b
J6 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b)
= 6a + 15b
7
PTE 4109, Agribisnis UB
Masing-masing Ji dapat ditulis
4

J 4  4a  6b  4a  (4  1)b 
2

5
n

J 5  5a  10b  5a  (5  1)b  J n  na  (n  1)b
2
2

6

J 6  6a  15b  6a  (6  1)b 
2

n
atau J n  2a  (n  1)b
2
n
 a  a  (n  1)b
2
n
 (a  S n )
2
Sn
8
PTE 4109, Agribisnis UB
DERET UKUR
 Deret
ukur : deret yang perubahan sukusukunya berdasarkan perkalian terhadap
sebuah bilangan tertentu.
 Bilangan yang membedakan suku-suku
sebuah deret ukur dinamakan pengganda.
Contoh :
1)5, 10, 20, 40, 80, 160 (pengganda 2)
2)512, 256, 128, 64, 32, 16 (pengganda 0,5)
9
PTE 4109, Agribisnis UB
SUKU KE-N DARI DERET UKUR
S1  5  a

2 1 
S 2  10  ap
 ap 
S 3  20  app
 ap2  ap31 

n-1
S

ap
n
3
4 1 
S 4  40  appp
 ap  ap 
4
5 1 
S 5  80  apppp  ap  ap

S 6  160  appppp ap5  ap61 

a  suku pert ama
p  pengganda
10
n  indeks suku
PTE 4109, Agribisnis UB
JUMLAH N SUKU
n
J n   Si  S1  S 2  S3  S 4 ...........  S n
i 1
berdasarkan rumus S n  apn-1 maka:
J n  a  ap  ap2  ap3  ....... apn  2  apn 1
(1)
jika dikalikandengan bilangan pengganda p, maka:
pJn  ap  ap2  ap3  ap4  ....... apn 1  apn
selisih antarapersamaan(1) dan persamaan(2)
(2)
11
PTE 4109, Agribisnis UB
selisih antarapersamaan(1) dan persamaan(2)
J n  pJn  a  ap
n
J n (1  p )  a (1  p )
n
a (1  p )
a ( p  1)
Jn 
atau J n 
1 p
p 1
n
p 1
n
p 1
12
PTE 4109, Agribisnis UB
MODEL PERKEMBANGAN USAHA

Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam
kegiatan usaha, misalnya : produksi, biaya,
pendapatan, penggunaan tenaga kerja dll. Memiliki
pola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret
hitung dapat diterapkan dalam menganalisis
perkembangan vaiabel tersebut.
• Pelajari Kasus 1 dan 2
13
PTE 4109, Agribisnis UB
MODEL BUNGA MAJEMUK

Modal pokok P dibungakan secara majemuk,
suku bunga perahun i, maka jumlah akumulatif
modal F setelah n tahun adalah:
set elah1 t ahun: F1  P  P.i  P(1  i )
set elah 2 t ahun: F2  P(1  i )  P(1  i )i  P(1  i ) 2
set elah3 t ahun: F3  P(1  i ) 2  P(1  i ) 2 i  P(1  i ) 3
set elah n t ahun: Fn  (.........)  (..........)  P(1  i ) n
• Jumlah di masa datang dari jumlah sekarang :
Fn  P(1  i)n
Sn  apn-1
Bunga dibayar
1x setahun 14
PTE 4109, Agribisnis UB
 Bila
bunga dibayar lebih sekali dalam setahun,
misal m kali, maka :
i mn
Fn  P (1 
)
m
m = frekuensi pembayaran bunga dalam setahun
Suku (1+i) dan (1 + i/m) disebut “faktor bunga
majemuk” (compounding interest factor), yaitu suatu
bilangan yang lebih besar dari 1, yang dapat dipakai
untuk menghitung jumlah dimasa mendatang dari
suatu jumlah sekarang.
15
PTE 4109, Agribisnis UB
 Dengan
manipulasi matematis, bisa
diketahui nilai sekarang (present value) :
1
P
F
n
(1  i)
1
atau P 
F
mn
(1  i / m)
Suku 1/(1+i)n dan 1/(1+i/m)mn dinamakan “faktor
diskonto” (discount factor), yaitu suatu bilangan
lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk
menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa
datang.
16
PTE 4109, Agribisnis UB
MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK
Pt = P1 R t-1
Dimana
R =1+r
P1 = jumlah pada tahun pertama (basis)
Pt = jumlah pada tahun ke-t
r = persentase pertumbuhan per-tahun
t = indeks waktu (tahun)
17
PTE 4109, Agribisnis UB
TERIMAKASIH
Selamat Belajar
18
PTE 4109, Agribisnis UB