Transcript u - Blog Mahasiswa UI

Uniform Convergence of Series:
Tests and Theorems
Pengujian M Weierstrass
• Definisi:
Jika sebuah barisan konstanta-konstanta
positif M1, M2, M3, .... dapat dicari sehingga di
dalam suatu interval berlaku:
a) |un(x)| ≤ Mn, n >= N
b) Mn konvergen
maka un(x) konvergen uniform dan
konvergen mutlak di dalam interval tersebut
Pengujian M Weierstrass
• Bukti:
Rn  x   S  x   S n  x 
 u n  1  x   u n  2  x   ....
 u n  1  x   u n  2  x   ....
 M n  1  M n  2  ....

untuk n  N
(karena
M
n
konvergen)
Pengujian M Weierstrass
N tidak bergantung pada x
un(x) konvergen uniform
|un(x)| ≤ Mn, n = 1, 2, 3, ...
Mn konvergen, maka menurut uji
perbandingan |un(x)| konvergen
un(x) konvergen mutlak
Pengujian M Weierstrass
• Example 1:
cos nx
 n
konvergen uniform dan konvergen
mutlak di dalam [0, 2] karena cos nx  1 dan
n
n
1
 n konvergen

2
n 1
2
2
2
Pengujian M Weierstrass
• Example 2:
x
Test for uniform convergence of  n
Jawab:
Dengan uji rasio, deret ini konvergen pada
interval 1 ≤ x ≤ 1
Untuk semua x pada interval ini, berlaku
x
x
1
1


. Dengan memilih M 
, Mn
n
n
n
n
konvergen, sehingga deret yang di atas, menurut
pengujian M-Weierstrass konvergen uniform dan
konvergen mutlak pada interval 1 ≤ x ≤ 1

n
3/2
n 1
n
3/ 2
n
3/ 2
3/ 2
n
3/ 2
Pengujian Dirichlet
• Barisan {an} adalah barisan konstanta positif
yang menurun secara monoton dan
mempunyai limit nol
• Terdapat konstanta P sedemikian sehingga
untuk a ≤ x ≤ b berlaku:
|u1(x) + u2(x) + u3(x) + ... + un(x)| < P untuk
semua n > N
Maka deret a u  x   a u  x   ...   a u  x 
konvergen uniform di dalam a ≤ x ≤ b

1 1
2
2
n
n 1
n
Pengujian Dirichlet
• Bukti: Tugas
Pengujian Dirichlet
• Example 3:
Jika deret pangkat  a x konvergen untuk x =
x0 . Buktikan bahwa deret tersebut
a) konvergen mutlak pada interval |x| < |x0|
b) konvergen uniform pada interval |x| ≤ |x1|
dimana |x1| < |x0|
n
n
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
• Teorema 1:
Jika {un(x)} , n = 1, 2, 3, ... kontinu di dalam
[a, b] dan jika un(x) konvergen uniform ke
jumlah S(x) di dalam [a, b], maka S(x) kontinu
di dalam [a, b]
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
• Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa S(x) kontinu di dalam [a, b]
S(x) = Sn(x) + Rn(x), sehingga:
S(x + h) = Sn(x + h) + Rn(x + h)
 S(x + h) – S(x) = Sn(x + h) – Sn(x) +
Rn(x + h) – Rn(x)
dimana h dipilih  x, x + h ϵ [a, b]
Karena u1(x), u2(x), ..., un(x) fungsi-fungsi yang
kontinu maka Sn(x) = u1(x) + u2(x) + ... + un(x) adalah
fungsi yang kontinu juga.
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
Artinya bila diberikan  > 0 maka dapat dicari  >
0  |Sn(x + h) – Sn(x)| < /3 bila |h| < 
Karena un(x) konvergen uniform, maka dapat
dipilih N  |Rn(x)| < /3 dan |Rn(x + h)| < /3
untuk n > N
Maka diperoleh bahwa
|S(x + h) – S(x)| ≤ |Sn(x + h) – Sn(x)| +
|Rn(x + h)| + |Rn(x)|
< /3 + /3 + /3 =  untuk|h| < 
 S(x) kontinu dalam [a, b]
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
• Teorema 2:
Jika {un(x)} , n = 1, 2, 3, ... kontinu di dalam
[a, b] dan jika un(x) konvergen uniform ke
jumlah S(x) di dalam [a, b], maka

b
b
 S  x  dx    u
atau
( x ) dx
n 1 a
a
b
n


b
  u  x  dx    u
n
a n 1
n 1 a
n
( x ) dx
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
• Bukti:
Sn(x) = u1(x) + u2(x) + ... + un(x)
u1(x), u2(x), ..., un(x) kontinu dalam [a, b] maka
Sn(x) juga kontinu dalam [a, b]. Menurut teorema
1 maka S(x) juga kontinu dalam [a, b]
Karena S(x), Sn(x), dan Rn(x) kontinu, maka:
b
b
b
 S  x  dx   S  x  dx   R  x  dx
n
a
a
n
a
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
Dalam hal ini akan ditunjukkan bahwa
b
b
 S  x  dx   S  x  dx
n
a
 ,
untuk n  N
a
Karena un(x) konvergen uniform, maka
|Rn(x)| < /(b-a) untuk n > N (N yang tidak
bergantung pada x di dalam [a, b])
sehingga diperoleh:
b
b
 R  x  dx
n
a


a
b
R n  x  dx 

 b  a dx  
a
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
b
b
  S  x  dx   S  x  dx
n
a
b
 R  x  dx

 ,
n
a
n N
a
b
b
berarti  S  x  dx  lim  S  x  dx
n
n 
a
a
b
 lim
n 
n
  u  x  dx
k
a k 1
n
 lim
atau
b
n 

a
n 1 a
n
( x ) dx
b
  u  x  dx    u  x  dx
k
k
k 1 a
k 1 a
b
b
 S  x  dx    u

b

atau   u
a n 1

n
b
 x  dx    u n ( x ) dx
n 1 a
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
• Teorema 3:
Jika {un(x)} , n = 1, 2, 3, ... kontinu dan mempunyai
turunan-turunan kontinu di dalam [a, b] dan jika
un(x) konvergen ke S(x) sedangkan un‘(x)
konvergen uniform di dalam [a, b], maka di dalam [a,

b] akan berlaku
S '  x    u n '( x )
n 1
atau
d


d
u x  
u x

dx
dx
n
n 1
n
n 1
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
• Bukti:
Misalkan g(x) = un‘(x) . Karena un‘(x) konvergen
uniform dalam [a, b] maka menurut teorema 2
diperoleh:

x

x
 g  x  dx    u
n
'( x ) dx 
n 1 a
a
u
( x)  un (a ) 

n
( x) 
n 1
(karena
x
n
n 1


 u
u
n
(a )  S ( x)  S (a )
n 1
u
n
( x ) konvergen ke S ( x ))
 g  x  dx  S  x   S  a  , maka
a
g  x   S ' x 
Teorema pada Barisan Konvergensi
Uniform
• Teorema 1, 2, dan 3 untuk deret di atas dapat
juga diformulasi untuk barisan. Jika {un(x)} ,
n = 1, 2, 3, ... konvergen uniform di dalam
[a, b], maka
b
lim
n 
dan
b
u
n
( x ) dx 
a
lim
n 
 lim u
n 
n
( x ) dx
a
d
dx
un ( x) 
d
dx
lim u n ( x )
n 
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
• Example 4:
sin nx
Diketahui f  x   
. Buktikan bahwa

n 1


 f  x  dx  2 
0
n 1
1
 2 n  1
4
n
3
Teorema pada Barisan Konvergensi
Uniform
• Example 5:
Diketahui u  x   nxe , n  1, 2, 3, ..., 0  x  1
a) Tentukan apakah lim  u ( x ) dx   lim u ( x ) dx
b) Jelaskan hasil pada bagian a)
 nx
2
n
1
1
n
n 
0
n 
0
n
Teorema pada Barisan Konvergensi
Uniform
• Example 6:
Diketahui u  x   x , n  1, 2, 3, ..., 0  x  1
Tunjukkan bahwa {un(x)} konvergen tetapi
tidak uniform pada [0, 1]
n
n
Exercise
Advanced Calculus, 2nd ed, no. 11.92 – 11.99