u - Blog Mahasiswa UI
Download
Report
Transcript u - Blog Mahasiswa UI
Uniform Convergence of Series:
Tests and Theorems
Pengujian M Weierstrass
• Definisi:
Jika sebuah barisan konstanta-konstanta
positif M1, M2, M3, .... dapat dicari sehingga di
dalam suatu interval berlaku:
a) |un(x)| ≤ Mn, n >= N
b) Mn konvergen
maka un(x) konvergen uniform dan
konvergen mutlak di dalam interval tersebut
Pengujian M Weierstrass
• Bukti:
Rn x S x S n x
u n 1 x u n 2 x ....
u n 1 x u n 2 x ....
M n 1 M n 2 ....
untuk n N
(karena
M
n
konvergen)
Pengujian M Weierstrass
N tidak bergantung pada x
un(x) konvergen uniform
|un(x)| ≤ Mn, n = 1, 2, 3, ...
Mn konvergen, maka menurut uji
perbandingan |un(x)| konvergen
un(x) konvergen mutlak
Pengujian M Weierstrass
• Example 1:
cos nx
n
konvergen uniform dan konvergen
mutlak di dalam [0, 2] karena cos nx 1 dan
n
n
1
n konvergen
2
n 1
2
2
2
Pengujian M Weierstrass
• Example 2:
x
Test for uniform convergence of n
Jawab:
Dengan uji rasio, deret ini konvergen pada
interval 1 ≤ x ≤ 1
Untuk semua x pada interval ini, berlaku
x
x
1
1
. Dengan memilih M
, Mn
n
n
n
n
konvergen, sehingga deret yang di atas, menurut
pengujian M-Weierstrass konvergen uniform dan
konvergen mutlak pada interval 1 ≤ x ≤ 1
n
3/2
n 1
n
3/ 2
n
3/ 2
3/ 2
n
3/ 2
Pengujian Dirichlet
• Barisan {an} adalah barisan konstanta positif
yang menurun secara monoton dan
mempunyai limit nol
• Terdapat konstanta P sedemikian sehingga
untuk a ≤ x ≤ b berlaku:
|u1(x) + u2(x) + u3(x) + ... + un(x)| < P untuk
semua n > N
Maka deret a u x a u x ... a u x
konvergen uniform di dalam a ≤ x ≤ b
1 1
2
2
n
n 1
n
Pengujian Dirichlet
• Bukti: Tugas
Pengujian Dirichlet
• Example 3:
Jika deret pangkat a x konvergen untuk x =
x0 . Buktikan bahwa deret tersebut
a) konvergen mutlak pada interval |x| < |x0|
b) konvergen uniform pada interval |x| ≤ |x1|
dimana |x1| < |x0|
n
n
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
• Teorema 1:
Jika {un(x)} , n = 1, 2, 3, ... kontinu di dalam
[a, b] dan jika un(x) konvergen uniform ke
jumlah S(x) di dalam [a, b], maka S(x) kontinu
di dalam [a, b]
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
• Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa S(x) kontinu di dalam [a, b]
S(x) = Sn(x) + Rn(x), sehingga:
S(x + h) = Sn(x + h) + Rn(x + h)
S(x + h) – S(x) = Sn(x + h) – Sn(x) +
Rn(x + h) – Rn(x)
dimana h dipilih x, x + h ϵ [a, b]
Karena u1(x), u2(x), ..., un(x) fungsi-fungsi yang
kontinu maka Sn(x) = u1(x) + u2(x) + ... + un(x) adalah
fungsi yang kontinu juga.
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
Artinya bila diberikan > 0 maka dapat dicari >
0 |Sn(x + h) – Sn(x)| < /3 bila |h| <
Karena un(x) konvergen uniform, maka dapat
dipilih N |Rn(x)| < /3 dan |Rn(x + h)| < /3
untuk n > N
Maka diperoleh bahwa
|S(x + h) – S(x)| ≤ |Sn(x + h) – Sn(x)| +
|Rn(x + h)| + |Rn(x)|
< /3 + /3 + /3 = untuk|h| <
S(x) kontinu dalam [a, b]
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
• Teorema 2:
Jika {un(x)} , n = 1, 2, 3, ... kontinu di dalam
[a, b] dan jika un(x) konvergen uniform ke
jumlah S(x) di dalam [a, b], maka
b
b
S x dx u
atau
( x ) dx
n 1 a
a
b
n
b
u x dx u
n
a n 1
n 1 a
n
( x ) dx
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
• Bukti:
Sn(x) = u1(x) + u2(x) + ... + un(x)
u1(x), u2(x), ..., un(x) kontinu dalam [a, b] maka
Sn(x) juga kontinu dalam [a, b]. Menurut teorema
1 maka S(x) juga kontinu dalam [a, b]
Karena S(x), Sn(x), dan Rn(x) kontinu, maka:
b
b
b
S x dx S x dx R x dx
n
a
a
n
a
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
Dalam hal ini akan ditunjukkan bahwa
b
b
S x dx S x dx
n
a
,
untuk n N
a
Karena un(x) konvergen uniform, maka
|Rn(x)| < /(b-a) untuk n > N (N yang tidak
bergantung pada x di dalam [a, b])
sehingga diperoleh:
b
b
R x dx
n
a
a
b
R n x dx
b a dx
a
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
b
b
S x dx S x dx
n
a
b
R x dx
,
n
a
n N
a
b
b
berarti S x dx lim S x dx
n
n
a
a
b
lim
n
n
u x dx
k
a k 1
n
lim
atau
b
n
a
n 1 a
n
( x ) dx
b
u x dx u x dx
k
k
k 1 a
k 1 a
b
b
S x dx u
b
atau u
a n 1
n
b
x dx u n ( x ) dx
n 1 a
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
• Teorema 3:
Jika {un(x)} , n = 1, 2, 3, ... kontinu dan mempunyai
turunan-turunan kontinu di dalam [a, b] dan jika
un(x) konvergen ke S(x) sedangkan un‘(x)
konvergen uniform di dalam [a, b], maka di dalam [a,
b] akan berlaku
S ' x u n '( x )
n 1
atau
d
d
u x
u x
dx
dx
n
n 1
n
n 1
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
• Bukti:
Misalkan g(x) = un‘(x) . Karena un‘(x) konvergen
uniform dalam [a, b] maka menurut teorema 2
diperoleh:
x
x
g x dx u
n
'( x ) dx
n 1 a
a
u
( x) un (a )
n
( x)
n 1
(karena
x
n
n 1
u
u
n
(a ) S ( x) S (a )
n 1
u
n
( x ) konvergen ke S ( x ))
g x dx S x S a , maka
a
g x S ' x
Teorema pada Barisan Konvergensi
Uniform
• Teorema 1, 2, dan 3 untuk deret di atas dapat
juga diformulasi untuk barisan. Jika {un(x)} ,
n = 1, 2, 3, ... konvergen uniform di dalam
[a, b], maka
b
lim
n
dan
b
u
n
( x ) dx
a
lim
n
lim u
n
n
( x ) dx
a
d
dx
un ( x)
d
dx
lim u n ( x )
n
Teorema pada Deret Konvergensi
Uniform
• Example 4:
sin nx
Diketahui f x
. Buktikan bahwa
n 1
f x dx 2
0
n 1
1
2 n 1
4
n
3
Teorema pada Barisan Konvergensi
Uniform
• Example 5:
Diketahui u x nxe , n 1, 2, 3, ..., 0 x 1
a) Tentukan apakah lim u ( x ) dx lim u ( x ) dx
b) Jelaskan hasil pada bagian a)
nx
2
n
1
1
n
n
0
n
0
n
Teorema pada Barisan Konvergensi
Uniform
• Example 6:
Diketahui u x x , n 1, 2, 3, ..., 0 x 1
Tunjukkan bahwa {un(x)} konvergen tetapi
tidak uniform pada [0, 1]
n
n
Exercise
Advanced Calculus, 2nd ed, no. 11.92 – 11.99