Transcript Document
Тема Тема урока Так как показательная функция является монотонной(возрастает при а0 и убывает при 0а1), то она имеет обратную функцию. Чтобы найти эту обратную функцию из формулы выразим х через в: т.е. корень уравнения ( где в0) называется а называется показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получилось число в. Формулу называют основным логарифмическим тождеством Более 300 лет логарифмы использовались для облегчения вычислений. Их основное достоинство- способность сводить умножение к сложению. Были составлены обширные таблицы логарифмов чисел, с помощью которых легко переходить от чисел к их логарифмам и обратно. Французский математик Лаплас говорил, что изобретение логарифмов удлинило жизнь вычислителям. 1) 2) 3) Упражнение №1 Исходя из определения логарифма, найдите число, логарифм которого: А) по основанию 6 равен 2: В) по основанию 3 равен 4: С) по основанию 2 равен -2: Упражнение №2 Логарифм числа 25 по основанию а равен 2. Найдите а: А) В) Логарифм числа 5 по основанию а равен Найдите а: Упражнение №3 Следующие равенства перепишите в виде логарифмических: А) Б) В) Г) Д) Упражнение №4 Найдите логарифм следующих чисел по основанию 3: 1) 9; 2)1 ; 3) Упражнение №5 Вычислите:1) 3) 2) 4) 5) log 2 log 3 81 = Упражнение №6 Проверьте справедливость равенств: 1) 5) 2) 6) 3) 7) 4) 8) При любом a 0 (а1) ,любых х>0, y>0 и любом р: 1° 5° 2° 3° 4° 6° - формула перехода от одного основания логарифма к другому Упражнение №7 Найдите х: 1) 2) 3) 4) 5) Примеры перевода от одного основания к другому : Упражнение №8 Сравните выражения: А) В) С) D) Упражнение №9 Найдите значение 1) 8 2) 9 3)27 4) 4 Тема урока Пусть а- положительное число, не равное 1. Определение Функцию, заданную формулой , называют логарифмической функцией с основанием а Определение Десятичными называются логарифмы по основанию 10 и обозначаются . Целая часть десятичного логарифма называется его характеристикой, а дробная – мантиссой. 2-характеристика; 0,7536-мантисса Свойства логарифмической функции 1° Область определения- множество всех положительных чисел =(0;+∞) 2 ° Область значения- множество всех действительных чисел = (–∞; +∞) 3° при а>0 –логарифмическая функция возрастает; при 0<а< 1 –логарифмическая функция убывает 4° Логарифмическая функция непрерывна на всей области определения Область определения функции есть: (3; +∞) 2. [3; +∞) 3. (–∞; +∞) 4. (0; +∞) 1. Область значений функции есть: 1. (0; +∞) 2. [0; +∞) 3. (- ∞; +∞) 4. [½; +∞) Какие из перечисленных ниже функций являются возрастающими и какие убывающими: Упражнение №4 1) Выразите lg 12 через lg 3 и lg 4 2) Выразите 3) Выразите lg 8 через lg 2 через lg 7 и lg 8 1) 2) 3) 4) 5) 6) Сравните значения выражений: 1 4 (1/2) > 2 1 8 >(1/2) 3 lg (1/2) 2 > lg (1/2) 3 2 lg ½ > 3 lg ½ 2 >3 1. 2. 3. 4. 5. 6. Найдите область определения функции: Решите графически уравнение: 1. Ответ: Х=2 2. Ответ: Х= 1 Тема урока Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. ОДЗ: основание а0,а1; число под знаком логарифма 0 1. Решение простейших логарифмических уравнений (по определению) 2. Приведение логарифмических уравнений к простейшим с помощью свойств 3. Приведение логарифмических уравнений к квадратному - I Вариант II Вариант Вычислите: Вычислите: 1) 1) Найдите область определения функции: 2) Найдите область определения функции: 2) Решите логарифмические уравнения: 3) 4) 5) Решите логарифмические уравнения: 3) 4) 5) Тема урока Логарифмирование- это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных. Пример: Найти lg x, если а>0, b>0, c>0 , Потенцирование- это преобразование, обратное логарифмированию. Пример: Найти выражение для х , если Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим. При а1-функция возрастает (знак сохраняется) При 0а1- функция убывает (знак меняется) 1. Решение простейших логарифмических неравенств (по определению) Решение: 1. 2. т.к а=5>1; функция возрастает Х 8 Х 2. Приведение логарифмических неравенств к простейшим с помощью свойств 3. Приведение логарифмических неравенств к квадратному Тема урока Существует такое число, большее 2 и меньшее 3(обозначается е), что показательная функция в точке 0 имеет производную равную 1. Приближённое значение числа е = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … 2,71828…(факториал n! = 1×2×3×… ×n) Логарифмы по основанию е называются натуральными Свое обозначение число е получило в честь математика Леонарда Эйлера. Число е ≈2,7183 часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества. Причина «вездесущности» числа e заключается в том, что формулы математического анализа, содержащие экспоненциальные функции или логарифмы, записываются проще, если логарифмы брать по основанию e, а не 10 или какому-либо другому основанию. Логарифмическая спираль имеет уравнение r = aekj. Она пересекает все лучи, выходящие из точки О, под одинаковыми углами α. Чешуйки сосновых шишек и завитки раковин многих моллюсков располагаются по логарифмическим спиралям. Леонард Фибоначи около 1220 г. определил 3 первых точных десятичных знака числа пи. В IVI в. Андриан Антонис определил 6 точных десятичных знаков числа пи, а Франсуа Виет вычислил первые 10 точных десятичных знаков этого числа. Но китайским математикам уже в V в. были известные 6 точных знаков числа я. После Виета в Европе началась гонка за вычислением точных десятичных знаков числа пи. Но математическим подвигом можно назвать вычисления голландского математика Лудольфа ван Цейлина, который получил 35 точных десятичных знаков числа пи. В его честь число пи было названо современниками "Лудольфово число". 3,141592653 589 793 238 462 643… Открывателями числа пи можно считать людей доисторического времени, которые при плетении корзин заметили, что для того, чтобы получить корзину нужного диаметра, необходимо брать прутья в три раза длиннее его. Найдены таблички из обожженной глины в Месопотамии, на которых зафиксирован данный факт. Египтяне почти за две тысячи лет до нашей эры заметили, что диаметр окружности не содержится точно три раза в ее длине. С этого времени начинается изучение числа пи, которое продолжается и до наших дней. Жрецы Древнего Вавилона посчитали, что солнечный диск укладывается на небосводе от рассвета до заката 180 раз и ввели новую единицу измерения — градус, равный его угловому размеру. Размеры природных образований — песчаных дюн, холмов и гор — увеличиваются с каждым шагом в среднем в 3,14 раза. Фундаментальные константы нашего мира известны не только физикам, но и лирикам. Так, иррациональное число π, равное 3,14159265358979323846…, вдохновило выдающегося польского поэта ХХ в. Виславу Шимборскую на создание стихотворения „Число Пи“: π — число, достойное восхищения: Три запятая один четыре один. Каждая цифра даёт ощущение начала — пять девять два, ведь до конца не дойти никогда. Взглядом всех цифр не объять — шесть пять три пять. Арифметических действий — восемь девять — уже не хватает, и трудно поверить — семь девять — что не отделаться — три два три восемь — ни уравнением, которого нет, ни шутливым сравнением — оных не счесть. Двинемся дальше: четыре шесть… Тема урока f `(x) f(x) c 0 x 1 kf kf` f(kx+b) Таблица производных f+g f`+g` f· g f`g+f g` sin x cos x cos x tg x ctg x kf`(kx+b) -sin x I. II. Найдите производную функции y = y' = ; y' = ; y' = ; y' = Найдите производную функции y = y' = ; y' = ; y' = ; y' = I. II. Найдите y' = y' = y' = y' = производную функции y = ; ; ; Найдите производную функции y = y' = ; y' = ; y' = ; y' = I. II. Найдите производную функции y = y' = ; y' = ; y' = ; y' = Найдите производную функции y = y' = ; y' = ; y' = ; y' = Найдите производную функции y = y' = ; y' = y' = y' = I. ; ; Найдите производную функций: 1. f(x)=ex ·(x2+1) 2. f(x)=ex ·cos x 3. 4. f(x)= x2·ln x f(x)= x3·ln x при х=4