Transcript (Решение иррациональных уравнений). Презентация

1. Закрепить пути и методы решения
иррациональных уравнений.
2. Познакомиться с решением
иррациональных уравнений путем
использования свойств соответствующих
функций.
3. Разобрать решение некоторых заданий из
КИМов ЕГЭ.
1) x  x  2
2) х 7 11 х
3) у  у 2  9  2
1
3
4) х  5  0
5)
6)
у2  3у 2  4
82  х  8  9
х0
1)
х  2  2  х,
х0  4
2  х  3 х  2,
х0  2
х  5  2х 13,
х0  6
1 х   1 х ,
х0  0
2)
3
3)
4)
1)
х 3  4
2)
х2  х5  7
3)
х 1  4  х  0
4)
х 10  1  х  6
5х 2х  15 8х .
5х 2х  15 8х ,
5х 2х  15 8х ,
х 2х  3  2 2х ,
х 2 х  3 8х ,
х 2х  6 2х  0,
( х 2х )2  (3 8х )2 ,
2х ( х  6)  0,
2 х  0 или х  6  0,
х  6.
2 х  0,
х  0,
Ответ: 0; 6.
2 х3  72х,
2 х3  72х  0,
х3  36х  0,
х( х 2  36)  0,
х( х  6)(х  6)  0,
х  0 или х  6  0 или х  6  0,
х  6,
Ответ: - 6; 0; 6.
х  6.
Уравнения
х 3 6  4 х 3
х  10  х  2
3  2 х 1  х 1
х2  5х  3  х2  3х  5  0
2 х 2  5х  6  2
х 3  х 5  4
Указать метод
решения
Методы решения
1. Прямое возведение в квадрат
обеих частей уравнения.
2. Уединение корня, затем
возведение в квадрат обеих
частей уравнения.
3. Замена переменной.
Уравнения
Указать метод
решения
3
х 3 6  4 х 3
1
х  10  х  2
2, 3
3  2 х 1  х 1
2
х2  5х  3  х2  3х  5  0
1
2 х 2  5х  6  2
х 3  х 5  4
1, 2, 3
Методы решения
1. Прямое возведение в
квадрат обеих частей
уравнения.
2. Уединение корня,
затем возведение в
квадрат обеих частей
уравнения.
3. Замена переменной.
Вариант 1
№ задания
1
2
3
4
5
№ ответа
4
4
2
3
1
Вариант 2
№ задания
1
2
3
4
5
№ ответа
4
3
3
3
1
Учет области определения
Если область определения уравнения (или ОДЗ) состоит из конечного
числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.
Пример. Решить уравнение
Решение.
 х 2  1  0,
ОДЗ: 
2  2 х 2  0;
 х 2  1,
 2
 х  1;
х 2  1,
х 2 1  х  1  2  2 х 2 .
х  1.
0  1, 
Проверка: если х  1
то1  0 ,
если х  1 , то 0 1  1  0 ,
Ответ: 1
х 1
– корень;
х  1 – не корень.
Использование монотонности функции
Некоторые уравнения могут быть решены с помощью следующего приема:
1) Подбираем один или несколько корней данного уравнения.
2) Доказываем, что других корней данное уравнение не имеет.
При доказательстве того, что уравнение не имеет других корней,
кроме найденных, используются теоремы о корнях уравнения:
Теорема 1. Если в уравнении f(x) = a функция f(х) возрастает
(убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может
иметь не более чем один корень на этом промежутке.
Пример 1. Решить уравнение (задание С из ЕГЭ): 3х  7  х  6  17х 15  13.
Решение.
1. Проверка показывает, что х = 3 является корнем данного уравнения.
2. Докажем, что других корней нет. Функция f ( x)  3х  7  х  6  17х 15
является возрастающей на своей области определения как сумма трех возрастающих
функций. Значит, по теореме о корне, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 3.
Теорема 2. Если в уравнении f(x) = g(x) функция f(x)
возрастает на некотором промежутке, а функция g(x)
убывает на этом же промежутке (или наоборот), то
это уравнение может иметь не более чем один корень
на этом промежутке.
Пример 2. Решить уравнение (задание С из ЕГЭ): 129 х  3х 13.
Решение.
1. Проверка показывает, что х = 8 является корнем данного уравнения.
2. Докажем, что других корней нет. Функция f ( x)  129 x
является убывающей, а функция g ( x)  3x  13 – возрастающей на
области определения уравнения. Значит, по теореме о корне, уравнение
имеет единственный корень.
Ответ: 8.
Оценка левой и правой частей уравнения
Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и
только тогда, когда все функции одновременно равны нулю.
Пример. Решите уравнение (задание В из ЕГЭ):
х2  3х  4  х3 12х2 11х  2  0.
Решение. Так как f1 ( x)  x 2  3x  4  0, f 2 ( x)  x3  12x 2 11x  2  0, то
2

 x  3x  4  0,
заданное уравнение равносильно системе: 
3
2

 x  12x  11x  2  0.
Решим первое уравнение: x 2  3x  4  0, x 2  3x  4  0, x1  4, x2  1.
Проверка показывает, что x  1 является корнем второго уравнения, а
x  4 – посторонний корень.
Ответ: 1.
(Часть С ЕГЭ)
а)
х  2  2х  5  х  2  3 2х  5  7 2
б)
( х  4 х  45)  х  х  100  0
2
2
3
2
в)
1
х 2  5 х  6  5  ( 5 х  х 2  6  10)  0
х
Пусть не пугает на ЕГЭ
Вас иррациональное
уравнение.
Решить сумеете его –
Теперь я в вас уверена.