Решение логарифмических неравенств методом рационализации
Download
Report
Transcript Решение логарифмических неравенств методом рационализации
Муниципальное Автономное Общеобразовательное Учреждение «Ярковская средняя общеобразовательная
школа»
Решение
логарифмических
неравенств методом
рационализации
Автор: ученица 10 «А» класса
МАОУ «Ярковская СОШ»
Шанских Дарья
Руководитель: учитель математики
МАОУ «Ярковская СОШ»
Ганихина А.В.
Ярково 2013 г.
Цели:
1) Овладеть данным приемом решения
2) Отработать навыки решения на заданиях С3 из
тренировочных и диагностических работ 2013 г.
Задачей проекта является изучение
теоретического обоснования метода
рационализации.
Актуальность работы заключается в том, что
данный метод позволяет успешно решать
логарифмические неравенства части С3 ЕГЭ по
математике
Неравенство, содержащее переменную под
знаком логарифма, называется
логарифмическим.
Например, неравенства вида:
log
a
f x log a x log
a
f x log a x
При а > 0, а ≠ 1 являются логарифмическим
Решение простейших
логарифмических неравенств:
log a x1 log a x 2
log a x1 log a x 2
a>1
x1 > x 2 > 0
0<a<1
x2 > x1 > 0
a>1
x2 > x 1 > 0
0<a<1
x1 > x2 > 0
Решение логарифмических
неравенств с применением
доказанного свойства
Неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x) равносильно
неравенству (f – g)(h – 1) > 0 на ОДЗ
Аналогично неравенство log h(x) f(x) < log h(x) g(x)
равносильно неравенству (f – g)(h – 1) < 0 на ОДЗ
Доказать, что выражения log а b и (b – 1)(а – 1)
одинаковых знаков.
Доказательство.
Докажем, например, что log а b > 0
и (b – 1)(а – 1) > 0
log а b
log 2 b
log 2 a
log 2 b
log 2 a
0.
1) Перейдём к основанию, например, 2
; 2) Неравенство log а b > 0 перепишем в виде
3) Дробь положительна, если числитель и
знаменатель одинаковых знаков, тогда
log 2 b 0
log 2 b log 2 1
а)
log 2 a log 2 1
log 2 a 0
b 1
a 1
b 1 0
a 1 0
0.
b 1 a с1 основанием
Логарифмическая
2 возрастающая,
функция
тогда
б)
log 2 b 0
log 2 a 0
b 1 0
a 1 0
log 2 b log 2 1
log 2 a log 2 1
b 1
а 1
b 1 a 1 0.
Доказано, что выражения log а b и (b – 1)(а – 1)
одинаковых знаков.
Это свойство используется при решении логарифмических
неравенств, где выражение log а b можно заменить выражением
(b – 1)(а – 1) того же знака
Чтобы не возникало проблем, необходимо находить ОДЗ
переменной, так как формальная замена приводит к расширению
области определения неравенства
Доказать, что при всех допустимых значениях переменной х
неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x) равносильно
неравенству (f – g)(h – 1) > 0.
Доказательство. 1) Перейдём к основанию, например, 2
log h f
log 2 f
log 2 h
;
log h g
log 2 g
;
log 2 h
2) Неравенство log h f (х) > log h g(х) перепишем в виде
log 2 f
log 2 h
log 2 g
log 2 h
log 2 f log 2 g
0.
log 2 h
3) Дробь положительна, если числитель и знаменатель
одинаковых знаков, тогда
log 2 f log 2 g 0
а)
log 2 h 0
log 2 f log 2 g
log 2 h log 2 1
f g
h 1
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, тогда
f g0
h 1 0
б)
log 2 f log 2 g 0
log 2 h 0
f g0
h 1 0
f
g h 1 0
f
log 2 f log 2 g
log 2 h log 2 1
f g
h 1
g h 1 0
Доказано - неравенство log h(x) f(x) > log h(x) g(x)
равносильно неравенству (f – g)(h – 1) > 0 на ОДЗ
Заключение
Считаю, что задачи, которые поставила перед
собой при выполнении работы, достигнуты. Проект
имеет практическое значение, так как предложенный в
работе метод позволяет значительно упростить
решение логарифмических неравенств. В результате
количество вычислений, приводящих к ответу,
уменьшается примерно в два раза, что экономит не
только время, но и позволяет потенциально сделать
меньше арифметических ошибок и ошибок «по
невнимательности». Теперь при решении задач С3 я
использую данный метод.