Transcript Greeks - UgurDemir.info

Greeks
CHAPTER 18
«READ BEN GRAHAM AND PHIL FISHER, READ
ANNUAL REPORTS, BUT DON'T DO EQUATIONS
WITH GREEK LET TERS IN THEM .» WARREN
BUFFET T
Problem
Tezgah üstü piyasada opsiyon satan bir mali kuruluş riskleri yönetmekte sorun yaşayacaktır.
Eğer benzer bir opsiyon bir borsada işlem görüyorsa satışını yaptığı opsiyona benzer opsiyonu
borsadan satın alarak açık konumunu bu şekilde yönetebilir.
Eğer bu seçenek mümkün değilse mali kurumun kendini koruması zor olacaktır.
Mali kurumların bu gibi risklerin farklı boyutlarından kendilerini korumak için kullandıkları
araçların her biri farklı Yunan harfleriyle betimlenmiştir.
Örnek Olay
Konunun devamında aşağıda verilen örnek senaryo incelenecektir:
◦ Bir mali kuruluş $300,000’a 100.000 hisse senedi için Avrupa tipi Call opsiyonunu temettü vermeyen bir
hisse için satmış olsun.
◦ Hisse senedi spot fiyatı (S0) $49, uygulama fiyatı (K) $50, risksiz faiz oranı (r) %5, senedin fiyat oynaklığı
(σ) %20, uygulama vadesi (T) 20 hafta (20/52=0,3846 yıl) ve hisse senedinin beklenen getirisi (µ) yıllık
%13’dür
◦ Black-Scholes-Merton opsiyon fiyatlaması uyarınca bu miktar için opsiyonun fiyatı $240.000 (her bir
hisse için $2.4)
◦ Bu durumda kuruluş opsiyonu teorik fiyatın $60.000 üzerinde satmıştır, fakat halen risklere karşı
korumasızdır.
Naked and Covered positions –
Açık ve Örtülü konum
Naked: Mali kuruluşun (firma) hiçbir şey yapmadan beklemesi durumu.
Bu durumda hisse fiyatı $50’ın altına gerilerse firma için bir sorun olmaz. Opsiyon uygulanmaz ve
firma $300,000 kâr elde eder.
Eğer hissenin fiyatı vade sonunda, örneğin, $60’a çıkarsa ise firma hisse başına $7 zarar
edecektir:
Kâr = (50-60+3)*100.000 = (-7)*100.000 = ($700,000)
Covered: Firma opsiyona konu olan (100.000 adet) hisse senedini satın alması durumu.
Bu durumda opsiyon uygulanırsa firma kendini önceki senaryonun zararından korumuş olurken
aksi durumda yine risk altındadır.
Eğer vade sonunda hisse fiyatı $40 ise firma hisse başına $6 zarar edecektir:
Kâr = (40-49+3)*100.000 = (-6)*100.000 = ($600,000)
Naked and Covered positions –
Açık ve Örtülü konum
İki durumda da zarar olasılığı bulunduğu için açık ve örtülü konumlar koruma aracı olarak
çalışmamaktadır.
Black-Scholes-Merton fiyatı $240,000 olduğuna göre bu işlem sonucunda opsiyonun fiyatı
$240,000’a yakın ve firmanın teorik kârı $60.000 olmalıdır.
$300,000 - $240,000 = $60,000
Stop-loss strategy –
zararı durdurma stratejisi -1Bir diğer yöntem firmanın kendini zarardan
korumak için senet fiyatının hareketlerine göre
açık ve örtülü konuma geçmesi olarak
belirtebiliriz.
Hisse senedinin fiyatı dalgalandıkça (σ=%20)
firma kendi konumunu ayarlar:
◦ Hisse senedi fiyatı uygulama fiyatını aşarsa hisse
senedini satın alarak konumu kapatır aksi halde
açar.
◦ t1, t3, t5: örtülü konum
◦ t2, t4: açık konum
K
t1
t2
t3
t4
t5 T
Stop-loss strategy –
zararı durdurma stratejisi -2◦ Firma alım ve satım sonucu zarardan kurtulacağı için vade sonunda elde edeceği kazanç aldığı opsiyon
primi olacaktır.
◦ Bu korunma stratejisinin maliyeti (Q) aşağıdaki şekilde gerçekleşecektir:
Q = max(S0 – K, 0)
◦ Eğer t=0 da koruma altına alsa idi S0 olacaktı fakat K>S0 olduğu için (S0 – K) olarak gerçekleşir
◦ Eğer ST<K ise 0 olur
◦ Bu formülün doğru olması için işlem maliyetinin 0 olması gerekir
◦ Bunun şekliyle Q her zaman Black-Scholes-Merton fiyatından aşağı olacaktır ve bir yatırımcı bu stratejiyi
kullanarak her zaman risksiz kâr elde edebilir.
Fakat bu iki temel nedenle mümkün değil:
1.
Firmanın kendini korumak için yatırıma ayırması gereken nakit miktarı ve bunun maliyeti
2.
Alım satım işlemlerinin uygulama fiyatından farklı bir fiyattan yapılması
Stop-loss strategy –
zararı durdurma stratejisi -3◦ İkinci engel firmanın korunma maliyetini belirgin bir şekilde arttıracaktır:
◦ Etkin bir piyasada firma hisse sendi fiyatının ne yönde ilerleyeceğini bilemeyecektir. Bunun sonucu
olarak ve piyasa işleyişi gereğince firma açığını kapatırken
K+ϵ
gibi bir fiyattan hisse senedi alırken açık konuma geçerken de
K-ϵ
gibi bir fiyattan satış gerçekleştirecektir.
◦ Buna bağlı olarak zarardan korunma stratejisi her seferinde, işlem maliyeti dışında,
(K+ϵ)-(K-ϵ)= 2ϵ
maliyet doğuracaktır.
◦ Bu durumda firma ϵ’yi küçültmek için piyasayı yakından takip etmeli ve alım-satım sıklığını artırmalıdır
Stop-loss strategy –
zararı durdurma stratejisi -4◦ Zararı durdurma stratejisi yüzeysel bakılınca cazip görünse de iyi çalışan bir yöntem değildir:
◦ Out-of-the-money opsiyonlarda korunmanın maliyeti bulunmamakta
◦ Hisse senedi fiyatının vadeye kadar uygulama fiyatını çokça kesmesi durumunda ise maliyeti epeyce artmakta
◦ Monte Carlo simülasyonu tarihsel fiyat oynaklığı verisine bağlı rastgele sayılar üreterek tahmini maliyeti ortaya çıkarabilmektedir.
◦ Koruma performansı:
◦ Monte Carlo yöntemi ile yapılan bir simülasyonda zararı durdurma stratejisinin hisse senedi fiyatı ne kadar yakından takip edilse de
0.70’in altına düşmediği görülmüş (1.02 – 0.70)
Koruma maliyeti = Koruma performansı * Black-Scholes-Merton fiyatı
Koruma maliyeti = 0.70*$240,000 = $168,000
Hafta
5
4
2
1
0,5
0,25
Performans
1,02
0,93
0,82
0,77
0,76
0,76
Delta hedging – Δ -1Bir hisse senedi fiyatının değişimi sonucu hisse senedi opsiyonunun fiyat değişiminin oranını
gösterir.
Delta koruması satışını yaptığımız bir opsiyonun karşılığında ne kadar hisse senedi
bulundurmamız konusunda yol gösterir.
Call opsiyon için delta koruması pozitif ve put opsiyonu için delta koruması negatif sonuç verir.
Örnek:
◦ Hisse senedi fiyatı $18’dan $22’a çıktığında opsiyon fiyatı (call) $0’dan $1’e çıkıyorsa:
Δ = (1-0)/(22-18) = 0,25
◦ Hisse senedi fiyatı $48’dan $62’a çıktığında opsiyon fiyatı (put) $4’dan $0’a düşüyorsa:
Δ = (0-4)/(62-48) = -0,1667
Delta hedging – Δ -2Delta bir hisse senedi fiyatında (S) yer alan değişim karşılığında hisse senedi opsiyon fiyatında (c)
oluşan değişim olarak tanımlanmakta:
Δ = δc/δS
O halde bir hisse senedi fiyatı küçük bir değişim ($1) gösterdiğinde, örneğin, hisse senedine bağlı
bir Call opsiyonu fiyatı buna bağlı ($0.6) bir değişim gösteriyorsa bu opsiyonun Delta’sı:
Δ = 0.6/1 = 0,6
olarak hesaplanır
Bu durumda opsiyonu satan taraf açık konumun yarattığı bu riskten kurtulmak için Delta
oranında açığını kapatması yeterli olacaktır.
Delta hedging – Δ -3Bu durumda opsiyonu satan taraf açık konumun yarattığı bu riskten kurtulmak için Delta
oranında açığını kapatması yeterli olacaktır:
◦ Örnek:
Bir yatırımcının $100 değerinde bir hisse senedi için $10 karşılığında 20 Call opsiyonu yazdığını
düşünelim.
Bu durumda yatırımcının açık pozisyonu (20*100=) 2000 adet hisse senedi olacaktır.
Hisse senedinin değeri $101 olduğunda opsiyonun fiyatı $10.60 olursa yatırımcı yazmış olduğu
opsiyondan $1200 kaybederken,
Delta koruması neticesinde satın aldığı (0,60*2000=) 1200 adet hisse senedinden $1200 kazanarak
kendini koruma altına almış olacaktır.
◦ Bu durumda yatırımcı Delta (neutral) tarafsız olarak adlandırılır.
Delta hedging – Δ -4Bir opsiyonun Delta’sı doğrusal hareket etmez ve dolayısıyla
sabit kalmaz:
◦ Yatırımcı pozisyonunu dengelemişken opsiyonun Delta’sı
değişebilir.
◦ Bu durumda yatırımcı konumunu yeniden dengelemek
durumunda kalacaktır (rebalancing)
◦ Önceki örnekten devam edecek olursak;
A fiyat seviyesinde Δ = 0,60
B fiyat seviyesinde Δ = 0,65 olsun
◦ Hisse senedi fiyatı B olduğunda yatırımcı daha fazla hisse senedi
alarak açığını kapatmak zorundadır:
(2000*0,65)-(2000*0,60) = 100
◦ Bu işlemin adı Dinamik koruma (Dynamic hedging) olarak
anılmaktadır
Opsiyon fiyatı
Eğim = 0,65
Eğim = 0,60
A
B
Hisse senedi
fiyatı
Delta hedging – Δ -5
Statik koruma (Static hedging – hedge and forget):
Opsiyon satılırken portföy koruma altına alınır ve değişimler karşısında tekrar dengeleme
yapılmaz
Her iki yöntemde de
Portföy = -1*Opsiyon + Δ*Opsiyon*Hisse Senedi
‘nden oluşur
Avrupa tipi hisse senedi opsiyonu deltası
-1Δ(call) = N(d1)
◦ Yatırımcı opsiyon satarak –N(d1) kadar hisse
senedi kısa konumuna geçmiştir.
◦ Temettü vermeyen bir hisse senedine bağlı bir
call opsiyonu için bulundurulması gereken
hisse miktarını vermesi için pozitif değerlidir.
Δ(put) = N(d1) – 1
◦ Yatırımcı put opsiyonu satarak hisse senedinde
uzun konuma geçmiştir ve bunu dengelemek
için negatif değerli bir delta oranında (N(d1) –
1<0) hisse senedinde kısa pozisyon almalıdır.
Black-Scholes-Merton opsiyon fiyatlama formülleri:
𝑐 = 𝑆0𝑁 𝑑1 − 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(𝑑2)
𝑝 = 𝐾𝑒 −𝑟𝑇 𝑁 −𝑑2 − 𝑆0𝑁 −𝑑1
𝑆
𝑑1 =
𝜎2
ln 𝐾0 + 𝑟+ 2 𝑇
𝜎 𝑇
𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎 𝑇
N(x): Normal dağılıma göre x’den küçük olma
olasılığı
Avrupa tipi hisse senedi opsiyonu deltası
-2Baştaki örneği yukarıda geçen formülle
hesaplarsak:
◦ 𝑑1 =
ln
49
50
0,22
2
+ 5%+
0,2 0,3846
0,3846
= 0,0542
◦ N(0,0542) = 0,522
Buna göre hisse senedi değişimi karşısında
opsiyon fiyatı %52,2 kadar değişim
gösterecektir.
Bu nedenle opsiyonu satan taraf opsiyonun
dayalı olduğu hisse senedinin %52,2’si kadar
hisse senedi bulundurmalıdır.
𝑑1 =
ln
𝑆0
𝐾
+
𝜎2
𝑟+
2
𝑇
𝜎 𝑇
S0=49, K=50, r=5%, T=0,3846, σ=20%
Avrupa tipi hisse senedi opsiyonu deltası
-3Temettü vermeyen bir hisse senedinin Call ve
Put opsiyonlarının değişimleri:
Δ(call)
Δ(put)
K
Opsiyonun uygulama tarihi ve Delta değişimi
Δ(call)
Hisse senedi
fiyatı
0
1
In the money
1
At the money
Out of the money
0
K
Hisse senedi
fiyatı
1
0
Vadeye
kalan süre
Delta korumasının hareketli görünümü
Monte-Carlo simülasyonu sonucu Delta korumasının performansı:
Hafta
5
4
2
1
0,5
0,25
Performans
0,43
0,39
0,26
0,19
0,14
0,09
Bir portföyün deltası
Bir hisse senedine (S) dayalı farklı
opsiyonların bir portföyü elde
bulunduruluyorsa portföyün Deltası:
∆ 𝑃 = 𝛿Π 𝛿𝑆
Π: Portföy değeri
∆ 𝑃 =
𝑛
𝑖=1 𝑤𝑖Δ𝑖
Örnek: Bir portföy aynı hisse senedinin aşağıda
listelenen farklı opsiyonlarını içeriyor olsun:
1.
2.
3.
100,000 Call-Long K=$55 T=3ay Δ=0,533
200,000 Call-Short K=$56 T=5ay Δ=0,468
50,000 Put-Short K=$56 T=2ay
Δ=-0,508
100,000*0,533-200,000*0,468-50,000*(-0,508)=14,900
Bu durumda portföy 14,900 adet hisse senedi
alınarak Delta Yansız yapılabilir
Theta (Θ) -1Bir opsiyon portföyünün Theta’sı, her şey sabit
kaldığı durumda, zaman geçtikçe portföyün
değerinde oluşan değişimdir. Bir başka değişle
portföyün zamanla bozulmasıdır.
Θ 𝑐𝑎𝑙𝑙 =
𝑆0𝑁′ 𝑑1 𝜎
−
2 𝑇
− 𝑟𝐾𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(𝑑2)
𝑁′ 𝑥 =
2
1
𝑒 −𝑥 /2
2𝜋
Formülde yer alan T yıl sayısını belirtmektedir.
Θ 𝑝𝑢𝑡 =
𝑆0𝑁′ 𝑑1 𝜎
−
2 𝑇
Portföy diğer koşullar değişmese dahi hergün
bozulacağı için Theta hesabı gün sayısıyla (365
- DerivaGem) veya işlem günü sayısıyla
(252)yapılır.
Bir put opsiyonunda bozulma call opsiyonunda
yer alan bozulmadan daha fazla olacaktır:
+ 𝑟𝐾𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(−𝑑2)
◦ 𝑁 −𝑑2 = 1 − 𝑁(𝑑2)
◦ Bu pozitif getiri beklentisiyle de açıklanabilir.
Theta (Θ) -2Başta verilen örneğin Theta’sı:
Θ
◦ S(0)=49; K=50; r=0,05; σ=0,2; T=0,3846
◦ Θ 𝑐𝑎𝑙𝑙 =
𝑆0𝑁′ 𝑑1 𝜎
−
2 𝑇
− 𝑟𝐾𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(𝑑2)
◦ Θ 𝑐𝑎𝑙𝑙 = -4,31
◦ Her takvim günü için Theta =
-4,31/365 = -0,0118
◦ Her işlem günü için Theta =
-4,31/252= -0,0171
Vadeye
kalan süre
0
Out of the
money
In the
money
At the
money
Buna göre satılan her opsiyonun değeri, hisse
senedi fiyatı değişmese dahi, her gün
(takvim/işlem) 0,0118/0,0171 kadar düşecektir.
Theta portföy korumak için değil açıklayıcı bir
istatistik olarak kullanılmaktadır
Vadeye kalan süre azaldıkça At the Money
opsiyonunun Theta’sı yüksek miktarda negatif
olmakta yani değeri hızlı bir şekilde düşmektedir.
Gamma (Γ) -1Bir opsiyon portföyünün Gama’sı dayalı varlığın
fiyatının opsiyon portföyünün deltasını ne
miktarda değiştirdiğini gösterir.
Bir portföyün Gama’sı portföyün(Π) dayanak
varlık (S) üzerinden ikinci dereceden türevidir:
◦ Γ=𝛿
2Π
𝛿𝑆 2
Eğer Gama küçükse Delta değişimleri küçük
olacaktır ve Delta Yansız bir portföyü
dengelemek için daha seyrek alım-satım
yapılacaktır.
Eğer Gama büyükse dayanak varlığın fiyat
değişimlerine çok duyarlı demektir.
Gamma (Γ) -2A noktasında Delta Yansız olan bir portföy
dayanak varlık fiyatı B noktasına geldiğinde
Delta doğrusal kabul edilip yansız bir portföy
oluşturulmaya çalışılırsa Delta’nın doğrusal
olmayan hareketi nedeniyle bir hata ortaya
çıkacaktır (b’-b) ve portföy yansız olmaktan
çıkacaktır.
Gamma bize bu eğriliği vermektedir.
Opsiyon fiyatı
b’
b
Eğim = 0,65
a
A
B
Hisse senedi
fiyatı
Gamma (Γ) -31
2
ΔΠ = Θ Δ𝑡 + Γ Δ𝑆 2
◦ Δ𝑡: Küçük bir zaman aralığı
◦ ΔS: Küçük zaman aralığında dayanak varlıkta
oluşan fiyat değişimi
◦ ΔΠ: Dayanak varlık fiyat değişimi karşılığı
portföyde oluşan fiyat değişimi
◦ Θ: Delta Yansız bir portföyün Theta’sı
Bir portföyün Gamma’sı büyüdükçe dayanak
varlık fiyat değişimleri sonucu portföyün fiyat
değişimleri derinleşecektir.
Delta Yansız bir portföyün Gamma’sının 10,000 olduğunu varsayarsak dayanak
varlıkta +2 veya
-2 lik bir fiyat değişimi olursa portföyün
değeri;
0,5*10000*2^2 = ±20,000
kadar değişecektir
Gamma (Γ) -4Bir opsiyon portföyünü Gamma Yansız yapmak
için dayanak varlık kullanılamaz; onun yerine
eğimi azaltacak bir başka aracı portföye dahil
etmek gerekir:
◦ Şuan elimizde bulunan Delta Yansız bir portföyün
Gamma’sı Γ, alım-satımı yapılan opsiyonun
Gamma’sı ise ΓT ve ağırlığı wT olursa yeni
portföyün Gamma’sı:
Γ𝑃 = 𝑤𝑇Γ𝑇 + Γ
olarak hesaplanır
◦ O halde başlangıçtaki portföyü Gamma Yansız
yapmak için portföye dahil edilmesi gereken
opsiyonun ağırlığı
− Γ Γ𝑇
olmalıdır
Portföyün içeriği değiştiğinde Delta’sı
değişeceği için portföyü Delta Yansız yapmak
için dayanak varlık ağırlığı da uyarınca
yapılmalıdır.
Delta eğrisi (b’) doğruya (b) çevrileceğinden
dayanak varlık portföyü tekrar
düzenlenmelidir. Bu da alım-satım faaliyetini
azaltacaktır.
Delta Yansız portföyün Γ Gamma’sı -3000 ve
portföye katılan opsiyonun ΓT göreceli
Gamması 1,5 ve Deltası 0,62 ise
3000/1,5 = 2000
2000 ∗ 0,62 = 1240
kadar dayanak varlık portföyden çıkarılabilir
Gamma (Γ) -5Temettü vermeyen bir hisse senedi için Avrupa ◦ S0=49; K=50; r=0,05; σ=0,2; T=0,3846; d1=0,0542
tipi Call veya Put opsiyonu Gamma’sı
0,3984
′
Γ
=
=0,0655
𝑁 𝑑1
49
0,2
0,3846
Γ=
𝑆0𝜎 𝑇
Dayanak varlığın fiyatı ΔS miktarda değiştiğinde
formülüyle hesaplanır
opsiyonun deltası
2
0,0655*ΔS
1
Γ
At the
𝑁 ′ 𝑑1 =
𝑒 −𝑑1 /2
Money
2𝜋
kadar değişecektir.
Out of
the
Money
Γ
In the
Money
0
K
Hisse Senedi Fiyatı
Vade
Vega (ν) (Küçük nu) -1Bir opsiyon portföyünün Vega’sı dayanak varlık
standart sapmasında oluşan değişimler
karşısında oluşan portföy değerindeki
değişimdir
𝛿Π
𝜐=
𝛿𝜎
Bir opsiyon portföyünün Vega’sı (ν) ,
Gamma’ya benzer şekilde, dayanak varlık
alımıyla (satımıyla) azaltılamazken bir başka
opsiyonun (νT) portföye dahil edilmesiyle
(long/short) değiştirilebilir
Bu yöntemle portföy portföy Vega Yansız bir
duruma getirilebilir.
Bu yöntemin uygulanabilmesi için Delta Yansız
bir portföye
−υ/υ𝑇
kadar yani opsiyon katılmalıdır
Fakat bu yöntemle portföy Delta ve Vega
Yansız olduğu halde Gamma Yansız
olmayacaktır.
Bir portföyü Gamma ve Vega Yansız yapmak
için aynı dayanak varlığa bağlı iki opsiyonun
portföye eklenmesi gerekir.
Vega (ν) -2Delta
Gamma
Vega
Portföy
0
-5000
-8000
Opsiyon 1
0,6
0,5
2,0
Opsiyon 2
0,5
0,8
1,2
Amaç Gamma’yı ve Vega’yı Yansız (0) yapmak
olduğu için;
−5000 + 0,5 ∗ 𝑤1 + 0,8 ∗ 𝑤2 = 0
−8000 + 2 ∗ 𝑤1 + 1,2 ∗ 𝑤2 = 0
İki denklemin çözümü sonucu
w1=400, w2=6000
bulunur ve ilk portföye ağırlıklarınca iki
opsiyon daha eklenir.
Son halde oluşturulan portföy ise Delta Yansız
olmayacağı için
0,6 ∗ 400 + 0,5 ∗ 6000 = 3240
adet dayanak varlık son portföye eklenmelidir.
Vega (ν) -3Bir portföyün Vega’sı
𝜐 = 𝑆0 𝑇𝑁 ′ 𝑑1
formülüyle hesaplanır
𝑁 ′ 𝑑1 =
1
−𝑑12 /2
𝑒
2𝜋
◦ S0=49; K=50; r=0,05; σ=0,2; T=0,3846; N’(d1)= 0,3984
𝜐 = 49 0,3846 0,3984 = 12,1
Bu durumda portföyün standart sapması (değişkenliği) %1
(Δσ) artarsa (%20 -> %21) opsiyon portföyünün değeri
%1 ∗ 12,1 = 0,121
artacak demektir
Rho (ρ)
Risksiz faiz oranında oluşan bir değişim
sonucu opsiyon portföyünün değerinde
gerçekleşen değişimi ölçer
𝜌 = 𝛿Π/𝛿𝑟
Diğer koşullar aynı kalmak kaydıyla faiz
oranı değiminin portföy değerine etkisi:
𝜌 𝑐𝑎𝑙𝑙 = 𝐾𝑇𝑒 −𝑟𝑇 𝑁(𝑑2)
𝜌 𝑝𝑢𝑡 = −𝐾𝑇𝑒 −𝑟𝑇 𝑁 −𝑑2
ile hesaplanır
𝑑1 = ( ln(𝑆0/𝐾) + (𝑟 + 𝜎2/2)𝑇) (𝜎√𝑇)
𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎 𝑇
𝑁 −𝑑2 = 1 − 𝑁(𝑑2)
S0=49; K=50; r=0,05; σ=0,2; T=0,3846
𝜌 = 8,91
O halde risksiz faiz oranı (r) bir puan
(Δr=%1) artarsa (%5 -> %6) opsiyon
portföyünün değeri
0,01*8,91 = 0,0891
kadar artar