Transcript Bab 4.

BAB 4
MEDAN BERUBAH TERHADAP
WAKTU DAN PERSAMAAN
MAXWELL
Hubungan antara ggl dan medan magnetik berubah terhadap
waktu dirumuskan dalam bentuk integral hukum Faraday
sebagai berikut:
d
ggl 
 E  d 

dt
C
 
d
m
 B  dS
S
.
dt
 E  dl     E  dS,
L
S
   E  dS   
S
S
B
t
 dS.
B
n
n
m  0
E  
B
t
.
ATURAN TANGAN KANAN
B
m  0
HUKUM LENZ
Arus yang diinduksikan selalu mempunyai
berlawanan terhadap fluksi penyebab induksi
(a)
(b)
(c)
efek
yang
Contoh soal 1
Loop konduktor melingkar pada Gambar 4-2 terletak pada bidang
datar z = 0. Loop ini memiliki jari-jari sepanjang 0,1 m dan
resistansi R sebesar 5 Ω. Jika diberikan B= 0,20 sin 103t az (T)
maka tentukanlah besarnya arus i !
Penyelesaian:
fluksi total yang menembus loop adalah
3
  B  S  2 x10  sin 10 t
3
y
(Wb)
Tegangan (ggl) di sekeliling loop adalah
v  
d
R
  2 cos 10 t
3
dt
(V)
Dan arusnya adalah
i 
v
R
  0 , 4  cos 10 t
3
(A)
Medan magnetik sederhana yang bertambah eksponensial terhadap
waktu dalam daerah yang berbentuk tabung r < b dengan B =
Boektaz maka medan listrik yang dihasilkan adalah
ggl 

E  d  
c
E .dl
 B  dS
dt
C
ggl = 
d
S
= 2πaE  =  d  B.ds =-kBoektπa2
dt
a = ρ, ρ< b, maka dapat diketahui
E
= -kBoektρ aρ

Dicari jawaban yang sama dengan metode yang berbeda
(  X E)z = -kBoekt
=-

1  E 


1

2

 E
k




2
 
E =-kBoektρ aρ
Hukum Ampere dan Arus Perpindahan
Dalam medan statis
Jc, = kerapatan arus konduksi;
Jika divergensi diberlakukan
mensyaratkan bahwa
 X H = Jc
pada
curl,
identitas
vektor
  H  0
--> untuk medan yang berubah terhadap waktu, divergensi J.
adalah tidak sama dengan nol.
Untuk medan magnetik statik
 X H = Jc
 .
X H = 0 = .Jc,
Dengan menggunakan hukum Gauss
.Jc = 
 v
t
 X H = J+ G
0 = . J + .G
.G =
Ganti ρ dgn

v
t
.D,
.G =
G=
 ( .D )
t
D
t
=
.
D
t
laju pergerakan muatan yang keluar dari suatu daerah sama
dengan laju pengurangan muatan yang berada dalam daerah
tersebut.
 X H = Jc +  D
t
= Jc + Jd
Jc = σE
Jc = ρv V
iD 
J
S
D
 dS 

S
D
t
Jika Jc = 0
X H =
 dS 
d
dt
D
t
 D  dS
S
Pada seluruh permukaan S pada persamaan

 XH .ds
s


s
J
c
.ds 
D

s
t
.ds
Dengan memakai teorema Stokes,
 H .dL
ic.= arus konduksi.
 Ic  Id  Id 

s
D
t
.ds
iD = arus perpindahan yang melewati suatu permukaan tetap S
Contoh soal 2
Tunjukkanlah bahwa iC = iD pada rangkaian Gambar 4.3!
Penyelesaian:
oleh karena dua permukaan S1 dan S2 memiliki kontur batas yang sama
C, maka
d
d
H
 dI 
C
J
C
 dS 
dt
S1
 D  dS
S1

J
C
 dS 
S2
Dengan mengasumsikan fluksi kapasitor
dibatasi pada bahan dielektrik di antara
pelat-pelat penghantar maka D = 0
disepanjang S1. Dan oleh karena tidak
terdapat muatan bebas pada bahan
dielektrik, maka JC = 0 disepanjang S1.
Oleh karenanya,
 J C  dS 
S1
d
dt
 D  dS 

S2
S2
D
t
 dS
Perlu diperhatikan bahwa
dt
 D  dS
S2
ic
Rangkaian kapasitor yang
berubah terhadap waktu
D / t
adalah tidak sama dengan nol hanya pada bagian S2
yang terletak di dalam bahan dielektrik.
Contoh soal 3
Ulangi contoh soal 2 tetapi dengan menggunakan analisis rangkaian!
Penyelesaian:
Kapasitansi kapasitor adalah
C 
A
d
Dimana A adalah luas area pelat dan d adalah jarak pemisah antar
pelat. Arus Konduksi adalah
v A v
iC  C

t
d t
Di lain pihak, medan elektrik pada bahan dielektrik, dengan
mengabaikan efek penyebaran medan, adalah E = v/d. Dan oleh
karenanya,
D
 v


D  E 
v,
t
d
d
t
dan arus perpindahan adalah [dengan menggunakan persamaan (8);
D normal [terhadap pelat]
iD 

A
D
t
 dS 
 v
d
A
t
dS 
A v
d t
 iC
Kondisi Batas
Dt1
Et1
Et2
εr1
εr2
Dt2
 Komponen tangensial dari medan elektrik E adalah kontinyu
pada antarmuka (bidang batas) dielektrik. Dalam bentuk
simbol,
E t1  E t 2

dan
D t1

r1

Dt 2

r 2
Dengan menerapkan hukum gauss
D n 2  D n1   s
dan
 r 2 E n 2   r 1 E n1 
s
0
Secara umum bidang batas (antarmuka) tidak memiliki muatan
bebas sehingga
Contoh soal 4
Diberikan El = 2ax — 3ay + 5az V/m pada bidang antarmuka tanpa
muatan Gambar 4-4. Carilah D2 dan sudut-sudut θ1 dan θ2 !
Penyelesaian:
Bidang batas adalah pada z = konstan.
Komponen x dan y adalah tangensial
sementara komponen z adalah normal.
Dengan sifat kontinyuitas komponen
tangensial E dan komponen D
diperoleh,
Bidang batas dielektrikdielektrik.
Komponen-komponen yang tidak diketahui sekarang dapat diperoleh
berdasarkan relasi D2 = ε0εr2E2
dimana diperoleh
Untuk memperoleh sudut-sudut θ1 dan θ2,
untuk medan magnetik, perhatikanlah antarmuka
Gambar di samping yang menunjukkan batas
antara material 1 dan material 2.
Permukaan tertutup
pada batas antara
dua buah material.
Sifat dari kerapatan medan magnetik, B, normal dapat ditentukan
dengan menggunakan sebuah silinder lingkaran kanan kecil yang
diposisikan pada antarmuka seperti tampak pada gambar di atas.
Oleh karena garis-garis fluksi magnetik kontinyu maka
 B  dS

B
1
 dS 1 
Ujung 1
 B  dS

Sisi lengkung
B
2
 dS 2  0
Ujung 2
Sekarang, jika dimisalkan bahwa kedua ujung silinder saling
mendekat satu sama lain dengan tetap menjaga antarmuka di
antara keduanya, maka area dari sisi lengkung silinder akan menuju
nol sehingga
 B1  dS 1   B 2  dS 2  0
 B n 1  dS 1  B n 2 
ujung 1
 dS
2
ujung 2
 B n1  B n 2
 0
Variasi H tangensial pada sebuah bidang antarmuka dapat
diperoleh dengan menerapkan Hukum Ampere di sekeliling lintasan
rektangular tertutup seperti tampak pada Gambar 4-6 di bawah
ini.
Lintasan tertutup pada batas antara dua buah material.
Dengan mengasumsikan tidak ada arus pada bidang antarmuka dan
dengan menciutkan bidang rektangular ke arah batas material
diperoleh
 H  dI
 H 1   1  H t 2   2  H t 1    H t 2  
di mana   1    2   
Untuk arus perpindahan, S adalah area yang dibatasi oleh kontur
rektangular. Pada saat kontur rektangular diciutkan, area S akan
menuju nol sehingga
d
dt
 D  dS
S
 0
Untuk arus konduksi, terdapat
konfigurasi yang membentuk
lembaran arus K (A/m) pada
bidang batas (Lihat Gambar).
Dalam hal ini, penciutan area
rektangular selalu mengandung
arus
permukaan.
Dalam
terminologi
arus
konduksi,
dengan demikian diperoleh
Bidang batas dengan arus
permukaan.
K
S
 dS  K  
Dengan menyamakan kedua sisi Hukum Ampere menggunakan
rumusan rumusan di atas diperoleh
H t1   H t 2    K  
Atau
H t1  H t 2  K
Karena K merupakan sebuah vektor, persamaan ini akan lebih baik
dinyatakan dengan menggunakan pernyataan vektor yang sekaligus
menunjukkan arah,
(H1 - H2) X an12 = K
Di mana vektor satuan normal an12 berarah dari 1 ke 2. Untuk
kasus bidang antarmuka dielektrik-dielektrik yang bersifat nonkonduktif (tidak membentuk arus permukaan), K sama dengan nol
dan H tangensial adalah kontinyu di bidang batas.
Ht1 = Ht2
Contoh soal 5
Daerah 1 didefinisikan sebagai x < 0 dan memiliki permeabilitas
relatif μr1 = 3 Sementara daerah 2 didefinisikan sebagai x > 0
dan memiliki permeabilitas relatif μr1 = 5. Tidak ada satu daerah
pun yang bersifat konduktif. Jika diberikan
maka carilah H2 dan B2!
Penyelesaian:
Karena bidang batas berada pada x = 0, maka komponen x adalah
normal dan komponen y dan z adalah tangensial. Dengan
menggunakan B = μH,
Untuk material non konduktif, H tangensial dan B normal adalah
kontinyu
Suku-suku yang
tidak diketahui:
Persamaan Maxwell
Secara kolektif, hukum Faraday, hukum Ampere (dengan arus
perpindahan), dan hukum Gauss untuk medan elektrik dan magnetik
dikenal sebagai persamaan Maxwell. Pada Tabel 4-1, bentuk umum
dari persamaan Maxwell ditampilkan dimana muatan dan arus
konduksi ada pada suatu wilayah tertentu. Untuk ruang hampa dan
material non-konduktif lainnya (konduktivitas σ = 0), di mana tidak
terdapat muatan (ρ = 0) dan arus konduksi (Jc = 0), persama
Maxwell
mengambil
persamaan Maxwell.
bentuk
seperti
ditunjukkan
oleh
Tabel
Tabel Persamaan Maxwell, Bentuk Umum
Tabel Persamaan Maxwell, Bentuk Umum
Tabel Persamaan Maxwell untuk
Medium Ruang Hampa
 Medan magnetik B yang berubah terhadap waktu dapat
menginduksikan arus dalam sebuah loop konduktif
tertutup.
 Dalam hukum Ampere, Maxwell menambahkan arus
perpindahan yang memenuhi sifat konservasi muatan.
 E tangensial selalu kontinyu pada bidang batas di
antara dua buah material.
 B normal selalu kontinyu pada bidang batas di antara
dua buah material.
Soal-soal dan Penyelesaiannya
Soal 1
Di dalam sebuah material di mana σ = 5,0 S/m dan εr = 1, intensitas medan
elektriknya adalah E = 250 sin 1010t V/m. Carilah kerapatan arus konduksi
dan arus perpindahan serta frekuensi di mana keduanya memiliki magnituda
yang sama!
Penyelesaian:
Kerapatan arus konduksi adalah
Jc = σE = 1250 sin 1010t A/m2
Dengan asumsi bahwa arah medan tidak berubah terhadap waktu maka,
Untuk JC = JD, kita inginkan σ = ωε atau
Soal 2
Sebuah area seluas 0,65 m2 pada bidang datar z = 0 dikelilingi oleh filamen
konduktor. Carilah tegangan induksi jika diberikan
 ay  az
3
B  0 , 05 cos 10 t 
2


T


Penyelesaian:
Lihat Gambar..!!!
Tegangan induksi diberikan oleh hukum Faraday
sebagai
v  

 a  az
 0 , 05 cos 10 3 t  y


dt S 
2


d

    dSa


z

yang menembus luas
bidang permukaan
loop konduktif
Medan berkurang pada setengah siklus pertama fungsi kosinus.
Arah i dalam loop tertutup adalah sedemikian hingga melawan
berkurangnya medan ini. Jadi arus haruslah memiliki arah seperti
terlihat dalam gambar
Soal 3
Pada daerah I (Lihat Gambar), B1 = 1,2ax + 0,8ay + 0,4az T. Carilah H2,
(yaitu H pada z = 0+) dan sudut-sudut di antara vektor-vektor medan dan
tangen terhadap bidang antarmuka!
Penyelesaian:
Tulislah H, tepat di bawah B1. Kemudian
tulislah komponen H2 dan B2 yang
mengikuti secara langsung dua aturan yaitu
B normal adalah kontinyu dan H tangensial
adalah kontinyu pada bidang antarmuka
tanpa arus.
Masalah batas medan magnetik
Sehingga suku-suku yang tak diketahui dapat ditentukan sebagai
Sudut θ1 adalah 900 – α1, dimana α1 adalah sudut antara B1 dan normal az.
cos  1 
B1  a z
 0 , 27
B1
Oleh karenanya, αl = 74,5° dan θ1 = 15,5°. Dengan cara serupa diperoleh, θ2
= 76,5°.
Soal 4
Sebuah lembaran arus K = 6,5az A/m pada x = 0 memisahkan daerah 1, x < 0
di mana H1 = 10ay dan daerah 2, di mana x > O. Carilah H2, pada x = 0+!
Penyelesaian:
Dari uraian soal tidak disinggung tentang permeabilitas dari kedua daerah,
Meskipun demikian, oleh karena H1 seluruhnya tangensial, perubahan dalam
permeabilitas tidak akan memiliki efek [(Bn1 = 0, Bn2 = 0) dan oleh
karenanya, H2n = 0]. Dengan demikian,
Jadi, H2 = 16,5ay A/m
Soal 5
Diberikan H = HmeJ(ωt + βz)ax dalam medium ruang hampa. Carilah E!
Penyelesaian:
Dengan menggunakan hukum Ampere (tidak ada arus J)
H 

z
H
e
m
j H m e
D
t
j  t   z 
j  t   z 
a
y

ay 
D
t
D
t
Dan