Transcript 第4單元資金時間價值

財務金融學系
蕭育仁 助理教授
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第4單元資金時間價值
4.1資金時間價值
一、資金時間價值的含義
資金時間價值，是指一定量資金在不同時點上的價值
量差額。資金的時間價值來源於資金進入社會再生產
過程後的價值增值。通常情況下，它相當於沒有風險
也沒有通貨膨脹情況下的社會平均利潤率，是利潤平
均化規律發生作用的結果。根據資金具有時間價值的
理論，可以將某一時點的資金金額折算為其他時點的
金額。
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二、現值與終值的計算
現值(Present Vale; PV)，是指未來某一時點上的一定量資金
折算到現在所對應的金額；終值又稱為未來值(Future Value;
FV)，是現在一定量的資金複利到未來某一時點所對應的金
額。例如，如果對某人而言，現在的100元與一年後的110
元有相同價值，則現在的100元稱為一年後的110元的「現
值」或「折現值」(present value，PV) ，而一年後的110元
則稱為現在的100元的「終值」(future value，FV)。
對於所分析的任意一段時間，資金在起始時刻的價值量稱
為現值；資金在終了時刻的價值量稱為終值。一定量資金
的終值與現值的差額即為資金的時間價值；連接現值和終
值並實現兩者相互折算的百分數稱為折現率。現實生活中
“本金”、“本利和”的說法相當於資金時間價值理論中的“現
值”和“終值”概念，利息和利率類似於資金時間價值的絕對
數和相對數形式，利率經常被當作折現率使用。現值和終
值對應的時點之間可以劃分為若干個計息週期。
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(一)現值和終值的基本計算
利息的計算有單利和複利兩種方式，在不同的計息方式下，現值和終
值之間的數量關係不同。通常情況下，資金時間價值採用複利計息方
式進行計算。現值與一年後的未來價值的關係如下：PV = FV/(1+r)； r
為「折現率」
1.複利(compound rate)與終值(future value)
複利表示會升息，若投資兩期，則第二期的利息包括了本金
(principal)，和第一期利息去計算。
FVr ,n  PVo  1  r n  PVo  FVIF r ,n
FVIFr ,n ：在利率等於r%，每期複利一次的情況下，$1在n期後的終值
等於 (1  r) n ，這就是所謂的終值利率因子(future value interest factor)
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2.現值與終值關係如下:
FVn
PV0 
 FVn  PVIFr ,n
n
(1  r )
PVIFr ,n：在利率等於r%，每期複利一次的情況下，在n
1
1  r n
期後的終值為$1的現值等於
，這就是所謂的現值
利率因子(future value interest factor)
 現值利率因子與終值利率因子互為倒數關係
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3.不同期間之複利與折現，若每年複利m次，複利期間
為n年的終值
r

FVt  PV 1  
 m
nm
r
m ：稱為期間利率
有效年利率(effective annual interest rate；EAR)＝指的
是，不管期間的長短，你在一年中實際賺得的利率。
一般而言，如果已經知道名目利率(r)，我們就可以利
用下式算出有效年利率：
m
r

EAR  1    1
 m
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4.連續複利與折現
連續複利指複利期間非常微小，分分秒秒都在複利
r

FVt  PV  lim1  
m
 m
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nm
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三.年金
 年金(annuity)意指，在某一段特定期間中，一系列的
等額支付(payment; PMT)。也就是說，如果多期發生現
金流，則每期現金流均按現值和終值的基本公式計
算。多期現金流的一種特殊情況是，現金流入（或者
流出）間隔的時間相同、金額相等，這種類型的系列
現金流稱為年金，每期流入（或流出）的金額用A表
示。
 年金按其每次收付發生的時點不同，可分為普通年
金、即付年金、遞延年金、永續年金等。支付發生在
每期期末的，稱為普通年金(ordinary annuity)或遞延年
金(deferred annuity)；支付發生在每期期初的，稱為期
初年金(annuity due)。
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(一).年金終值
1.普通年金終值(期末年金終值)
普通年金又稱後付年金，是指從第1期起，在一定
時期內每期期末等額收付的系列款項。普通年金
有時也簡稱年金。
推導：
FVAordinary  PMT  1  r   PMT  1  r   PMT  1  r     PMT  1  r 
2
n
 PMT   1  r 
t 1
n t
3
n 1
 PMT
 PMT  FVIFAr ,n
FVIFAr：在利率等於r%，每期期末固定支付$1之年
,t
n
金，在n期後的終值等於  (1  r ) ，這就是所謂的
普通年金終值利率因子。
t 1
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n t
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2.期初年金終值
期初年金與期末年金之終值關係：
FVAdue  PMT  FVIFAr ,t  1  r 
期初年金終值=期末年金終值  1  r 
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(二).年金現值
1.普通年金現值(期末年金現值)
推導：
PVordinary
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT





n 1
1  r 1  r 2 1  r 3
1  r 
1  r n
 1
1 

 PMT  

n 
1  r  
 1  r 
n
1   1  
1 

1  r    1  r  
1
1
 PMT 
 PMT   
1
r r  1  r n

1
1 r

PVIFAr ,t




:在利率等於r%，t期後到期，每期期末固定支付$1
之年金在目前之價值，這就是所謂的普通年金現值利率因
子。
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2.期初年金現值
期初年金與期末年金之現值關係：
FVAdue  PMT  FVIFAr ,t  1  r 
期初年金現值=期末年金現值  1  r 
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(三).永續年金(perpetuity)
永續年金為普通年金之特例，亦即若年金支付之
期限無窮大時，普 通年金即為永續年金。
推導：
PVperpetuity 
PMT
PMT
PMT



2
3
1  r 1  r 
1  r 

PMT 
1
1

 1 

 
n
1  r  1  r 
1  r 




PMT  1  PMT  1  r  PMT





1  1 r  r 
1 r 
r
1



 1 r 
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Exercise

林先生向第一銀行貸款購屋，期貸款年限為10年，林
先生從今年起每年年底必須還銀行200,000；由於林先
生最近財務狀況欠佳，擬延長貸款年限為15年。假設
貸款利率均為10%，則在新的還款年限下，林先生每
年年底應還的金額為多少?
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