Transcript 貨幣的時間價值

Chapter 3
貨幣的時間價值
1
學習重點
•
•
•
•
認識利率與終值的關係。
了解折現值的意義與計算。
介紹年金的計算。
了解淨現值與投資決策的關係。
2
單利與複利
• 假設在今年初，小毅決定在甲銀行存入新台
幣1,000元兩年，銀行每年提供10%的年利率
情況1：每年年底把利息領出
即為單利(Simple Interest)，那麼兩年後小毅存
款的總價值＝本金×(1＋r)＝1,000×(1＋0.1)＝
1,100元
3
單利與複利
情況2：把第一年的利息加入下年的本金
即為複利 (Compound Interest)，那麼兩年後
小毅存款的總價值＝本金× (1  r ) 2
 1,000 (1  0.1) 2  1,210元
• 在單利的情況下，利息並沒有被再投資，
但是在複利的情況下，利息是被再計算的
4
終值(Future Value)
• 複利的終值之一般式：
FV  PV (1  r ) n
– FV表示終值，PV表示期初本金，r表利率，n表期數
– (1  r) n 稱為終值因子(Future Value Interest Factor)
5
終值應用
• E.g.假設小毅決定將錢放在銀行10年，期間
完全不將利息領出，則在10年後，小毅原
本的1,000元將會變成多少錢呢？
1,000×2.594＝2,594 元
6
現值(Present Value)
• 小毅想在甲銀行存入一筆錢，計畫利用銀行提供
的10%利率，預期兩年後獲得1,000元，那麼小毅
現在應該存入多少錢?
• 小毅所煩惱金額就是所謂的現值(Present Value) 而
計算現值的過程稱為折現(Discounting)
• 現值的一般式：
FVn
PV 
(1  r ) n
– r 稱為折現率(Discount rate)
1
–
n 稱為現值因子或折現因子
(1  r)
7
現值的應用
• 假設小毅想要買一台價值8,000元的iPod，有兩個方案。(1)
只需付頭期款3,000，剩下的金額2年後零利率償還；(2)一
次付清打9折。在銀行利率為10%的情況下，你的選擇是？
方案(1)的現值為：
1
PV＝3,000＋5,000×
2 ＝7,130 元
(1  0.1)
方案(2)的現值為：
PV＝8,000×0.9＝7,200 元
雖然方案(1)的應付總金額8,000元比方案(2)多，但是在考
慮現值後是方案(1)比較划算的！
8
永續年金(Perpetuity)的現值
• 永續年金是指每期給付固定金額的現金流
量且無終止給付的日期
0
1
2
3
4
C C
C
C
5
6
C C
7
……………
C
……………
• 永續年金的公式：
C
C
C
C
C
PV 




......

（1  r ) (1  r ) 2 (1  r ) 3 (1  r ) 4
r
– C表示每期所收到的固定金額給付
9
永續年金的應用
• 小毅加入一個永續年金的計畫，此永續年
金每年給付小毅1000元。已知利率為8%，
請問此永續年金的價值是多少？ 假設利率
下降為5%，價值會變成多少？
利率為8%時：PV 
C $1,000

 $12,500
r
8%
C $1,000
利率為5%時：PV  r  5%  $20,000
10
年金(Annuity)
• 年金就是在一段有限期間內，每期固定給
付等額的現金流量
• 年金比永續年金更為普遍
• 退休金、房東所收的房租、銀行收的貸款
本息等都是年金
• 年金分為：
1.普通年金（Ordinary Annuity）：現金流量發生在期末
2.期初年金（Annuity Due）：現金流量發生在期初
11
年金(Annuity)公式
0
1
2
3
n
永續年金A
永續年金B
C
C
C ….C
年金Y
C
C
C ….C
n+1 n+2
C
C
C ………
C ………
• 永續年金A從第1期末開始給付C現金流量，其現值為：
C
PV ( A) 
r
• 永續年金B則從第n+1期才開始給付C現金流量，現值為：
C 1 
PV ( B)  

r  (1  r ) n 
12
年金(Annuity)公式
0
1
2
3
n
永續年金A
永續年金B
C
C
C ….C
年金Y
C
C
C ….C
n+1 n+2
C
C
C ………
C ………
• 永續年金 A=永續年金 B + 年金 Y
• 所以年金Y的現值可以寫成：
1
C C 1 
1 
PV (Y )   
 C 
n
n
r r  (1  r ) 
r
r
(
1

r
)


1
1

– 其中  
稱為年金因子
n
r
r
(
1

r
)


13
年金的應用
• 小安日前中了一百萬元彩券頭獎，獎金支
付方式為未來10年每年給付獎金10萬元。
第一次獎金給付是一年後的今天。假設市
場均衡利率為6%，請問小安實際拿到的獎
金是多少？
1
 1

1 
1
PV  C  

$
100
,
000



n
10 
r
0
.
06
r
(
1

r
)
0
.
06
(
1

0
.
06
)




 $100,000 7.360  $736,000
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成長型年金(Growing Annuity)
• 年金每期的現金流量都穩定地以g的比例成
長
• 可以利用類似於推導年金現值的方式來推
導出成長型年金的現值公式
• 成長型年金的現值公式：
n
 1
1
1 g  
PV (成長型年金)  C  


 
 r  g r  g  1  r  
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期初年金(Annuity Due)
• 前面提到的年金都是在期末才支付現金流
量
• 期初就先給付現金流量稱為期初年金
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期初年金應用
小毅加入一個期初年金的計畫，每年給付小
毅 1,000元，且小毅在一加入的時候，就能
先獲得1,000元。已知利率為8%，3年後到
期，現值為多少？
 1

1
PV  $1,000  $1,000 

 $2,783
2 
 0.08 0.08(1.08) 
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貸款攤銷(Loan Amortization)
• 分期付款的問題，例如：房貸、車貸、助
學貸款等。我們可以利用現值的公式來計
算我們每期該還銀行多少錢
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貸款攤銷應用
小毅決定要買一間公寓，售價為新台幣800
萬元，小毅手上沒有這麼多的存款，於是
他打算跟銀行申請房屋貸款。小毅目前能
先付頭期款100萬元，剩下的700萬元，他
打算向銀行申請為期20年，每年攤還一次
的貸款，貸款利率為8%。請問小毅每年該
還銀行多少錢？
 1

1
$7,000,000  每期攤還金額 
20 
0.08
0.08
(
1
.
08
)


每期攤還金額為712,976元
19
複利計息頻率
• 前面的討論都假設一年計息一次。若一年內複利
計息次數超過一次，對未來值會帶來什麼影響?
E.g.假設甲銀行存款一年的年利率為10%，小毅於本期期 初
存入1,000元，若(1)每年計息一次；(2)每半年複利計息一
次；(3)每季複利計息一次，一年後各有什麼差別？
(1) 1,000 (1  10%)  $1,100
(2) 1,000  (1 
10% 2
)  $1,102 .5
2
(3) 1,000  (1 
10% 4
)  $1,103 .81
4
同一期間內複利計息次數
愈多，一年後獲得的利息
就越多
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複利計息頻率的公式
• 多期的情形下，每期複利計息m次，假設年利率為r，
本期期初存入 C0 元 ，T期後的未來值變為：
r mT
FV  C 0  (1  )
m
– 其中r又稱為名目利率(Stated Annual Interest Rate)
E.g.小安打算期初投資10萬元，年利率16%，以複利計息，
每季計息一次。請問3年後，小安的投資收益為何?
FV  C 0  (1 
r mT
0.16 43
)  $100 ,000  (1 
)  160 ,100元
m
4
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有效年利率
(Effective Annual Interest Rate)
• 為了方便比較不同複利計息頻率情形下同一期間
的平均投資報酬率，我們常以有效年利率(EAIR)來
衡量不同複利計息頻率(m)的年平均投資報酬率
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有效年利率應用
假設小毅投資1元，名目利率為12%，每個月
計息一次，請問1年後小毅的1元報酬率為多
少？
0.12 12
$1  (1 
)  $1  (1.01)12  $1.127
12
– 報酬率為12.7% > 名目利率12%
– 12.7%就是所謂的有效年利率(EAIR)
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有效年利率的公式
m
r

EAIR  1    1
 m
• 星星銀行的信用卡，現在借錢，年利率為21%，
即每個月利息只要1.75%！請問小毅向星星銀行借
錢，實質上面臨的有效年利率是多少呢？
12
 0.21
EAIR  1 
  1  1.231 1  0.231 23.1%
12 

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有效年利率與名目利率之比較
計息頻率
名目利率
有效年利率
每年(m=1)
12%
12%
每半年(m=2)
12%
12.36%
每季(m=4)
12%
12.550%
每月(m=12)
12%
12.682%
每週(m=52)
12%
12.689%
每天(m=365)
12%
12.747%
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連續複利
(Continuous Compounding)與折現
• 隨著計息頻率的增加，有效年利率也不斷
的上升，如果計息頻率再繼續細分下去，
每小時、每分鐘、每秒鐘等等
• 細分的極限是每一瞬間，當每一瞬間都不
斷計息的時候，我們稱之為連續複利
•
mT

r

 
rT
FV

lim
C

1


C

e


 0

0
連續複利的公式：
m
 m  

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淨現值(Net Present Value)
• 應用在日常生活的預算決策上
• 根據該方案的需要報酬率，將現金流入折算成現
值並加總後，再減去期初的投資金額
• NPV寫成一般式為：
n
Ct
NPV  C0  
t
(
1

r
)
t 1
– r是投資方案的需要報酬率，C0 是期初的投資金
額， Ct 是第t期的現金流入
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淨現值法則
• NPV＝0  沒有產生任何增加的價值
• NPV > 0  該方案有收益，值得執行
• NPV < 0  不值得投資的方案
28
淨現值法的應用
• 有一間小套房，目前售價120萬元，從第1年末就
可以開始回收房租，每年末都可以收到20萬元的
房租，假設此套房房租共可回收10年，折現率為
12%，請問該購買這間小套房嗎？
 1

1
PV  $200,000 

 $200,000 5.65  $1,130,000
10 
 0.12 0.12(1.12) 
NPV  $1,200,000  $1,130,000  $70,000  0
不值得投資
29
• 1. 若預期三年後要獲得$1,000，在年利率4%的情
況下，現在應該存入? 終值因子(4%,3)=1.125
現值因子(4%,3)=0.889
• 2. 假設有一個年金計畫，每年給付$10,000，已知
利率為7%，5年後到期，則此年金的現值為? 年金
因子(7%,5)=4.100
• 3. 有一間套房，售價為新台幣800萬元，若先付頭
期款200萬元，剩下的分20年分期攤還，每年攤還
一次的貸款，貸款利率為6% ，則每年該還銀行?
年金因子(6%,20)=11.47
30
• 4. 若年利率為16% ，每季付息一次，名目利
率與有效利率的差為?
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