Transcript Podobnost trojúhelníků

Podobnost trojúhelníků
Matematika – 9. ročník
Podobnost trojúhelníků
Matematická podobnost
Podobné jsou takové útvary, které mají stejný poměr
vzdáleností odpovídajících si bodů.
obraz : vzor
𝑨´𝑩´ : 𝑨𝑩 = 𝑩´𝑪´ : 𝑩𝑪 = 𝑨´𝑪´ : 𝑨𝑪 = 𝑩´𝑫´ : 𝑩𝑫 = …
D´
Tento poměr lze vyjádřit číslem
C´
C 𝒌 = 𝑨´𝑩´ = 𝑩´𝑪´ = 𝑨´𝑪´ = 𝑩´𝑫´ = …;
D
𝑨𝑩
𝑂1
𝑩𝑪
𝑨𝑪
𝑩𝑫
𝑂2
číslo k (k > 0) nazýváme poměr (koeficient) podobnosti.
A
Podobnost zapisujeme: 𝑶𝟏 ~𝑶𝟐 .
B
Podobné útvary mají shodné odpovídající si úhly.
A´
B´
Podobnost trojúhelníků
Shodnost trojúhelníků
Věta sss:
C
T
∆𝑨𝑩𝑪 ≅ ∆𝑹𝑺𝑻
c
A
s
a
b
𝐴𝐵 = 𝑅𝑆
𝐴𝐵 ≅ 𝑅𝑆
r
t
B
S
R
𝐵𝐶 = 𝑆𝑇
𝐵𝐶 ≅ 𝑆𝑇
𝐶𝐴 = 𝑇𝑅
𝐶𝐴 ≅ 𝑇𝑅
Každé dva trojúhelníky, které se shodují ve všech třech
stranách, jsou shodné.
Podobnost trojúhelníků
Podobnost trojúhelníků
Věta sss:
C
a
b
A
c
T
∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑹𝑺𝑻
r
s
B
S
R
𝑅𝑆 = 𝑘 ∙ 𝐴𝐵
𝑅𝑆
𝑘=
𝐴𝐵
𝑆𝑇 = 𝑘 ∙ 𝐵𝐶
𝑆𝑇
𝑘=
𝐵𝐶
t
𝑇𝑅 = 𝑘 ∙ 𝐶𝐴
𝑇𝑅
𝑘=
𝐶𝐴
Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek
všech tří dvojic odpovídajících si stran, jsou podobné.
Podobnost trojúhelníků
Shodnost trojúhelníků
Věta sus:
C
T
∆𝑨𝑩𝑪 ≅ ∆𝑹𝑺𝑻


c
A
s
a
b
r
t
B
S
R
𝑅𝑆 = 𝐴𝐵
𝑅𝑇 = 𝐴𝐶
𝑅𝑆 ≅ 𝐴𝐵
𝑅𝑇 ≅ 𝐴𝐶
∢𝑇𝑅𝑆 = ∢𝐶𝐴𝐵
= 
Každé dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách
a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné.
Podobnost trojúhelníků
Podobnost trojúhelníků
Věta sus:
C
b
T
∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑹𝑺𝑻
a

r
s
c
B

A
R
S
t
𝑅𝑆 = 𝑘 · 𝐴𝐵
𝑅𝑇 = 𝑘 · 𝐴𝐶
∢𝑇𝑅𝑆 = ∢𝐶𝐴𝐵
𝑅𝑆
𝑅𝑇
= 
𝑘=
𝑘=
𝐴𝐵
𝐴𝐶
Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek
dvou odpovídajících si stran a shodují se v úhlu jimi
sevřeném, jsou podobné.
Podobnost trojúhelníků
Shodnost trojúhelníků
C
Věta usu:
T
∆𝑨𝑩𝑪 ≅ ∆𝑹𝑺𝑻

s
a
b

c
r


B
S
t
R
A
𝑅𝑆 = 𝐴𝐵
∢𝑇𝑅𝑆 = ∢𝐶𝐴𝐵
∢𝑇𝑆𝑅 = ∢𝐶𝐵𝐴
𝑅𝑆 ≅ 𝐴𝐵
=
=
Každé dva trojúhelníky, které se shodují v jedné straně
a ve dvou úhlech k ní přilehlých, jsou shodné.
Podobnost trojúhelníků
Podobnost trojúhelníků
Věta uu:
C
T
∆𝑨𝑩𝑪~∆𝑹𝑺𝑻
b
A
s
a


c
r


B
R
S
t
∢𝑇𝑆𝑅 = ∢𝐶𝐵𝐴
∢𝑇𝑅𝑆 = ∢𝐶𝐴𝐵
=
=
Každé dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou úhlech,
jsou podobné.
Podobnost
Příklad č. 1
1) Určete, zda jsou trojúhelníky ABC ( 𝑨𝑩 = 𝟗 𝒄𝒎, 𝑩𝑪 = 𝟔 𝒄𝒎,
𝑨𝑪 = 𝟏𝟐𝒄𝒎) a PQR ( 𝑷𝑸 = 𝟔 𝒄𝒎, 𝑸𝑹 = 𝟒 𝒄𝒎, 𝑷𝑹 = 𝟖 𝒄𝒎) podobné
a pokud ano, podobnost zapište a určete poměr podobnosti.
𝑨𝑩 = 𝟗 𝒄𝒎
𝑩𝑪 = 𝟔 𝒄𝒎
𝑪𝑨 = 𝟏𝟐𝒄𝒎
𝑷𝑸 = 𝟔 𝒄𝒎
𝑸𝑹 = 𝟒 𝒄𝒎
𝑹𝑷 = 𝟖 𝒄𝒎
𝑷𝑸
𝟔 𝟐
𝒌=
= =
𝑨𝑩
𝟗 𝟑
𝑸𝑹
𝟒 𝟐
𝒌=
= =
𝑩𝑪
𝟔 𝟑
𝑹𝑷
𝟖
𝟐
𝒌=
=
=
𝑪𝑨
𝟏𝟐 𝟑
}
∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐏𝐐𝐑
𝟐
𝒌 =
𝟑
Podobnost
Příklad č. 2
2) Určete, zda jsou trojúhelníky ABC ( 𝑨𝑩 = 𝟕 𝒄𝒎, 𝑩𝑪 = 𝟔 𝒄𝒎,
∢𝑨𝑩𝑪 = 𝟒𝟖°) a MNO ( 𝑴𝑵 = 𝟏𝟎, 𝟓 𝒄𝒎, 𝑵𝑶 = 𝟗 𝒄𝒎, ∢𝑴𝑵𝑶 = 𝟒𝟖°)
podobné a pokud ano, podobnost zapište a určete poměr podobnosti.
𝑨𝑩 = 𝟕 𝒄𝒎
𝑩𝑪 = 𝟔 𝒄𝒎
∢𝑨𝑩𝑪 = 𝟒𝟖°
𝑴𝑵 = 𝟏𝟎, 𝟓 𝒄𝒎
𝑵𝑶 = 𝟗 𝒄𝒎
∢𝑴𝑵𝑶 = 𝟒𝟖°
𝑴𝑵
𝟏𝟎, 𝟓 𝟑
𝒌=
=
=
𝑨𝑩
𝟕
𝟐
𝑵𝑶
𝟗 𝟑
𝒌=
= =
𝑩𝑪
𝟔 𝟐
∢𝑨𝑩𝑪 = ∢𝑴𝑵𝑶
}
∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐌𝐍𝐎
𝒌 = 𝟏, 𝟓
Podobnost
Příklad č. 3
3) Určete, zda jsou trojúhelníky ABC ( 𝑨𝑩 = 𝟔 𝒄𝒎, ∢𝑩𝑨𝑪 = 𝟔𝟒°,
∢𝑨𝑩𝑪 = 𝟖𝟐°) a XYZ ( 𝑿𝒀 = 𝟏𝟏 𝒄𝒎, ∢𝒁𝑿𝒀 = 𝟔𝟒°, ∢𝑿𝒀𝒁 = 𝟖𝟐°)
podobné a pokud ano, podobnost zapište a určete poměr podobnosti.
𝑨𝑩 = 𝟔 𝒄𝒎
∢𝑩𝑨𝑪 = 𝟔𝟒°
∢𝑨𝑩𝑪 = 𝟖𝟐°
𝑿𝒀
𝟏𝟏
𝒌=
=
𝑨𝑩
𝟔
∢𝑩𝑨𝑪 = ∢𝒁𝑿𝒀
∢𝑨𝑩𝑪 = ∢𝑿𝒀𝒁
𝑿𝒀 = 𝟏𝟏 𝒄𝒎
∢𝒁𝑿𝒀 = 𝟔𝟒°
∢𝑿𝒀𝒁 = 𝟖𝟐°
}
∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐗𝐘𝐙
𝟏𝟏
𝒌 =
𝟔
Podobnost
Příklad č. 4
4) Určete, zda jsou trojúhelníky ABC ( 𝑨𝑩 = 𝟖 𝒄𝒎, 𝑩𝑪 = 𝟔 𝒄𝒎,
𝑨𝑪 = 𝟏𝟐𝒄𝒎) a DEF ( 𝑫𝑬 = 𝟒, 𝟓 𝒄𝒎, 𝑬𝑭 = 𝟗 𝒄𝒎, 𝑫𝑭 = 𝟔 𝒄𝒎) podobné
a pokud ano, podobnost zapište a určete poměr podobnosti.
𝑨𝑩 = 𝟖 𝒄𝒎
𝑩𝑪 = 𝟔 𝒄𝒎
𝑪𝑨 = 𝟏𝟐𝒄𝒎
𝑫𝑬 = 𝟒, 𝟓 𝒄𝒎
𝑬𝑭 = 𝟗 𝒄𝒎
𝑭𝑫 = 𝟔 𝒄𝒎
𝑭𝑫
𝟔 𝟑
𝒌=
= =
𝑨𝑩
𝟖 𝟒
𝑫𝑬
𝟒, 𝟓 𝟑
𝒌=
=
=
𝑩𝑪
𝟔
𝟒
𝑬𝑭
𝟗
𝟑
𝒌=
=
=
𝑪𝑨
𝟏𝟐 𝟒
}
∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐅𝐃𝐄
𝟑
𝒌 =
𝟒
Podobnost
Příklad č. 5
5) Určete, zda jsou trojúhelníky ABC ( 𝑨𝑩 = 𝟒𝟐 𝒎𝒎, 𝑩𝑪 = 𝟔𝟑 𝒎𝒎,
∢𝑨𝑩𝑪 = 𝟕𝟖°) a GHI ( 𝑮𝑯 = 𝟒, 𝟓 𝒄𝒎, 𝑰𝑮 = 𝟑 𝒄𝒎, ∢𝑮𝑯𝑰 = 𝟕𝟖°)
podobné a pokud ano, podobnost zapište a určete poměr podobnosti.
𝑨𝑩 = 𝟒𝟐 𝒎𝒎
𝑩𝑪 = 𝟔𝟑 𝒎𝒎
∢𝑨𝑩𝑪 = 𝟕𝟖°
𝑮𝑯 = 𝟒, 𝟓 𝒄𝒎
𝑰𝑮 = 𝟑 𝒄𝒎
∢𝑮𝑯𝑰 = 𝟕𝟖°
𝑰𝑮
𝟑𝟎 𝟓
𝒌=
=
=
𝑨𝑩
𝟒𝟐 𝟕
𝑮𝑯
𝟒𝟓 𝟓
𝒌=
=
=
𝑩𝑪
𝟔𝟑 𝟕
∢𝑨𝑩𝑪 = ∢𝑮𝑯𝑰
}
!!! POZOR !!!
Úhel GHI leží proti straně IG (není sevřen
stranami GI a GH), tj. neplatí věta sus o
podobnosti trojúhelníků.
∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐈𝐆𝐇
𝟓
𝒌 =
𝟕
Výpočtem nelze zjistit, zda trojúhelníky jsou
podobné.
Podobnost
Příklad č. 6
6) Určete, zda jsou trojúhelníky ABC ( ∢𝑩𝑨𝑪 = 𝟓𝟒°,
∢𝑨𝑩𝑪 = 𝟗𝟔°) a KLM ( ∢𝑴𝑲𝑳 = 𝟓𝟒°, ∢𝑲𝑳𝑴 = 𝟑𝟎°)
podobné a pokud ano, podobnost zapište a určete poměr podobnosti.
∢𝑩𝑨𝑪 = 𝟓𝟒°
∢𝑴𝑲𝑳 = 𝟓𝟒°
∢𝑨𝑩𝑪 = 𝟗𝟔°
∢𝑩𝑪𝑨 = 𝟑𝟎°
∢𝑲𝑳𝑴 = 𝟑𝟎°
∢𝑳𝑴𝑲 = 𝟗𝟔°
∢𝑩𝑨𝑪 = ∢𝑴𝑲𝑳
∢𝑩𝑪𝑨 = ∢𝑲𝑳𝑴
∢𝑨𝑩𝑪 = ∢𝑳𝑴𝑲
}
∆𝐀𝐁𝐂~∆𝐊𝐌𝐋
𝒌 nelze určit