Transcript Podobnost - 2.ZŠ Beroun

Podobnost
Matematika – 9. ročník
Podobnost
Co je to podobnost v matematice
Podobnost
Kde se setkáme s matematickou podobností
Co to znamená, že je něco podobné?
Kde se setkáváme s podobností?
Zeměpis – Měřítko mapy
Konstrukce – Technické výkresy
Fotografování – Zvětšování (zmenšování) fotografií
Stavební práce – Plány stavby
Podobnost
Matematická podobnost
Který z obdélníků je podobný obdélníku ABCD? Proč?
D´
C´
ANO
6 cm
D
2×
C
3 cm
A
6 cm
A´ 2×
D´´
12 cm
B
𝟑
×
𝟐
NE
A´´
9 cm
B´
C´´
𝟒
×
𝟑
4 cm
B´´
Podobnost
Matematická podobnost
D´
C´
ANO
6 cm
D
C
3 cm
A
6 cm
A´
12 cm
B´
B
obraz : vzor
Podobné jsou takové útvary, které
mají stejný poměr vzdáleností
odpovídajících si bodů.
𝑨´𝑩´ : 𝑨𝑩 = 𝑩´𝑪´ : 𝑩𝑪 = 𝑨´𝑪´ : 𝑨𝑪 = 𝑩´𝑫´ : 𝑩𝑫 = …
Podobnost
Poměr podobnosti
D´
C´
ANO
6 cm
D
C
3 cm
A
6 cm
A´
12 cm
B´
B
Tento poměr lze vyjádřit číslem
𝒌=
𝑨´𝑩´
𝑨𝑩
=
𝑩´𝑪´
𝑩𝑪
=
𝑨´𝑪´
𝑨𝑪
=
𝑩´𝑫´
𝑩𝑫
= …;
číslo k (k > 0) nazýváme poměr (koeficient) podobnosti.
Podobnost
Poměr podobnosti
D´
D
C
𝑂1
A
C´
6 cm
3 cm
𝑂2
B
A´
12 cm
6 cm
B´
Obdélníky ABCD a A´B´C´D´ jsou podobné.
Poměr podobnosti těchto obdélníků k = 2
Podobnost zapisujeme: 𝑶𝟏 ~𝑶𝟐 .
V jakém poměru jsou velikosti vnitřních úhlů toho obdélníka?
Podobné útvary mají shodné odpovídající si úhly.
Podobnost
Poměr podobnosti
D´
D
C´
C
3 cm
6 cm
A
6 cm
D´´
B
C´´
1,5 cm
A´
12 cm
B´
A´´ 3 cm B´´
Určete poměr podobnosti obdélníků ABCD a A´B´C´D´ a poměr podobnosti
obdélníků ABCD a A´´B´´C´´D´´.
𝐴´𝐵´
12
𝑘=
=
=2
𝐴𝐵
6
𝐵´𝐶´
6
𝑘=
= =2
𝐵𝐶
3
𝐴´´𝐵´´
3 1
𝑘=
= =
𝐴𝐵
6 2
𝑘=
𝐵´´𝐶´´
1,5 1
=
=
𝐵𝐶
3
2
Podobnost
Poměr podobnosti
D´
D
C
k>1
3 cm
A
C´
6 cm
D
B
6 cm
zvětšení délek
C
A´
k<1
3 cm
A
D
6 cm
B
C
B´
12 cm
C´´
D´´
1,5 cm
zmenšení délek
A´´ 3 cm B´´
D´´´
C´´´
A´´´
B´´´
k=1
3 cm
zachování délek
A
6 cm
B
(shodnost)
Podobnost
Příklad č. 1
1) Určete, zda jsou obdélníky ABCD ( 𝑨𝑩 = 𝟖 𝒄𝒎, 𝑩𝑪 = 𝟔 𝒄𝒎)
a PQRS ( 𝑷𝑸 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎, 𝑸𝑹 = 𝟕, 𝟓 𝒄𝒎) podobné a pokud ano,
podobnost zapište a určete poměr podobnosti.
𝑷𝑸
𝟏𝟎
𝒌=
=
= 𝟏, 𝟐𝟓
𝑨𝑩
𝟖
𝑸𝑹
𝟕, 𝟓
𝒌=
=
= 𝟏, 𝟐𝟓
𝑩𝑪
𝟔
ABCD ~
PQRS
k = 1,25
Podobnost
Příklad č. 2
2) Dva obdélníky ABCD a MNOP jsou podobné a platí 𝑨𝑩 = 𝟏𝟐 𝒄𝒎,
𝑩𝑪 = 𝟖 𝒄𝒎 𝐚 𝑴𝑵 = 𝟗 𝒄𝒎. Vypočtěte délku úsečky NO,
a určete poměr podobnosti.
𝑴𝑵
𝟗
𝒌=
=
= 𝟎, 𝟕𝟓
𝑨𝑩
𝟏𝟐
𝑵𝑶 = 𝒌 · 𝑩𝑪 = 𝟎, 𝟕𝟓 · 𝟖 = 𝟔
Délka úsečky NO je 6 cm.
Poměr podobnosti k = 0,75
Podobnost
Příklad č. 3
3) Obdélník ABCD má rozměry 𝑨𝑩 = 𝟔, 𝟓 𝒄𝒎 𝒂 𝑩𝑪 = 𝟒, 𝟓 𝒄𝒎. Vypočtěte
rozměry obdélníku EFGH víte-li, že je s obdélníkem ABCD podobný
a poměr podobnosti k = 6. Vypočítejte poměr obsahů těchto obdélníků.
𝑬𝑭 = 𝒌 · 𝑨𝑩 = 𝟔 · 𝟔, 𝟓 = 𝟑𝟗
𝑭𝑮 = 𝒌 · 𝑩𝑪 = 𝟔 · 𝟒, 𝟓 = 𝟐𝟕
𝑺𝟏 = 𝑨𝑩 · 𝑩𝑪 = 𝟔, 𝟓 · 𝟒, 𝟓 = 𝟐𝟗, 𝟐𝟓
𝑺𝟐 = 𝑬𝑭 · 𝑭𝑮 = 𝟑𝟗 · 𝟐𝟕 = 𝟏 𝟎𝟓𝟑
𝑺𝟐 𝟏 𝟎𝟓𝟑
𝒌´ =
=
= 𝟑𝟔
𝑺𝟏 𝟐𝟗, 𝟐𝟓
Délky stran obdélníku EFGH jsou: 𝑬𝑭 = 𝟑𝟗 𝒄𝒎,
𝑭𝑮 = 𝟐𝟕 𝒄𝒎. Poměr obsahů obdélníků k´= 36.
𝒌´ = 𝒌𝟐
Zdroje:
http://www.infobarrel.com/Top_Ten_Things_You_Should_Never_Say_to_Parents_of_Twins