Transcript Užití podobnosti v praxi

Užití podobnosti v praxi
Matematika – 9. ročník
Podobnost
Matematická podobnost
D´
C´
6 cm
D
C
3 cm
A
6 cm
A´
12 cm
B´
B
obraz : vzor
Podobné jsou takové útvary, které
mají stejný poměr vzdáleností
odpovídajících si bodů.
𝑨´𝑩´ : 𝑨𝑩 = 𝑩´𝑪´ : 𝑩𝑪 = 𝑨´𝑪´ : 𝑨𝑪 = 𝑩´𝑫´ : 𝑩𝑫 = …
Podobnost
Poměr podobnosti
D´
C´
6 cm
D
C
3 cm
A
6 cm
A´
12 cm
B´
B
Tento poměr lze vyjádřit číslem
𝒌=
𝑨´𝑩´
𝑨𝑩
=
𝑩´𝑪´
𝑩𝑪
=
𝑨´𝑪´
𝑨𝑪
=
𝑩´𝑫´
𝑩𝑫
= …;
číslo k (k > 0) nazýváme poměr (koeficient) podobnosti.
Podobnost
Poměr podobnosti
D´
D
C
𝑂1
A
C´
6 cm
3 cm
𝑂2
B
A´
12 cm
6 cm
B´
Obdélníky ABCD a A´B´C´D´ jsou podobné.
Poměr podobnosti těchto obdélníků k = 2
Podobnost zapisujeme: 𝑶𝟏 ~𝑶𝟐 .
V jakém poměru jsou velikosti vnitřních úhlů toho obdélníka?
Podobné útvary mají shodné odpovídající si úhly.
Podobnost
Poměr podobnosti
D´
D
C
k>1
3 cm
A
C´
6 cm
D
B
6 cm
zvětšení délek
C
A´
k<1
3 cm
A
D
6 cm
B
C
B´
12 cm
C´´
D´´
1,5 cm
zmenšení délek
A´´ 3 cm B´´
D´´´
C´´´
A´´´
B´´´
k=1
3 cm
zachování délek
A
6 cm
B
(shodnost)
Užití podobnosti
v praxi
Honzík Surveyor se rozhodl, že se pokusí změřit výšku stromu u nich na sídlišti.
Vzal si na pomoc dřevěnou tyčku, o níž věděl, že měří přesně 2,5 metru a měřící
pásmo. Vedle stromu postavil tyč, a poněvadž byl krásný slunečný den, změřil
délku jejího stínu. Poté změřil i délku stínu, který vrhal strom. Jak vysoký je
strom, když délka stínu tyče je 220 cm a délka stínu stromu 30,8 m?
xm
2,5 m
30,8 m
220 cm
Užití podobnosti
v praxi
Výpočet: Poněvadž jsou trojúhelníky podobné podle věty uu, platí:
𝒙
𝟑𝟎, 𝟖
/ · 𝟐, 𝟓
=
𝟐, 𝟓
𝟐, 𝟐
𝟑𝟎, 𝟖
𝒙=
· 𝟐, 𝟓
𝟐, 𝟐
𝒙 = 𝟑𝟓
𝒙 = 𝟑𝟓 𝐦𝐞𝐭𝐫ů
Strom měří 35 metrů.
xm
2,5 m
30,8 m
220 cm
Užití podobnosti
v praxi
Honzíkovi se měření zalíbilo, a tak se druhý den rozhodl změřit i výšku komínu
u nedaleké továrny. Vzal si opět svoji dřevěnou tyčku, o níž věděl, že měří přesně
2,5 metru a měřící pásmo. Bohužel dneska bylo zataženo a tak stíny použít
nemohl. Našel si tedy místo, ze kterého jedním okem viděl od země vršek komína
přesně za horním koncem tyče. Změřil, že vzdálenost oka od dolního okraje tyče
je 3 metry a vzdálenost tyče od komínu je 48 metrů. Jak vysoký byl komín?
xm
2,5 m
3m
48 m
Užití podobnosti
v praxi
Výpočet: Poněvadž jsou trojúhelníky podobné podle věty uu, platí:
𝒙
𝟓𝟏 / · 𝟐, 𝟓
=
𝟐, 𝟓
𝟑
𝟓𝟏
𝒙=
· 𝟐, 𝟓
𝟑
𝒙 = 𝟒𝟐, 𝟓
𝒙 = 𝟒𝟐, 𝟓 𝐦𝐞𝐭𝐫ů
xm
Komín měří 42,5 metrů.
2,5 m
3m
48 m
Užití podobnosti
v praxi
Třetí den se Honzík rozhodl změřit výšku místní rozhledny. Bohužel celou noc
pršelo a země byla značně rozbahněná, a tudíž si na zem lehat určitě nechtěl.
Ovšem i tentokrát si poradil. Našel si kaluž a postavil se tak, aby viděl vrchol věže
odražený v kaluži. Potom změřil vzdálenosti kaluže od paty rozhledny (32,5 metru)
a svojí vzdálenost od kaluže (260 cm). Jak vysoká je rozhledna, když Honzovy oči
jsou ve výšce 150 cm nad zemí?
xm
150 cm
260 cm
32,5 m
Užití podobnosti
v praxi
Výpočet: Poněvadž jsou trojúhelníky podobné podle věty uu, platí:
𝒙
𝟑𝟐, 𝟓 / · 𝟏, 𝟓
=
𝟏, 𝟓
𝟐, 𝟔
𝟑𝟐, 𝟓
𝒙=
· 𝟏, 𝟓
𝟐, 𝟔
𝒙 = 𝟏𝟖, 𝟕𝟓
𝒙 = 𝟏𝟖, 𝟕𝟓 𝐦𝐞𝐭𝐫ů
xm
Rozhledna měří 18,75 metrů.
150 cm
260 cm
32,5 m