Transcript z przedmiotu Modele i metody automatyki pliki/9306_Mima_wyk5

Opis matematyczny elementów i
układów liniowych
Równania różniczkowe, transmitancja
operatorowa i widmowa, równania stanu,
charakterystyki częstotliwościowe
Opis matematyczny ciągłego elementu lub układu automatyki o jednym
wejściu i jednym wyjściu składa się w ogólnym przypadku z dwóch części:
1. Równania lub wykresu charakterystyki statycznej, określającego zależność
wyjścia od wejścia w stanach ustalonych,
2. Równania różniczkowego lub operatorowego, opisującego własności
statyczne i dynamiczne w otoczeniu wybranego na charakterystyce
statycznej punktu pracy.
Własności ciągłego elementu lub układu liniowego o parametrach stałych
(stacjonarnego) można opisać za pomocą równania różniczkowego liniowego o
stałych współczynnikach, którego postać ogólna jest następująca:
dny
d n 1 y
d mx
d m1 x
an n  an1 n 1  ...  a0 y  bm m  bm1 m1  ...  b0 x
dt
dt
dt
dt
przy czym n≥m dla wszystkich elementów i układów rzeczywistych. W
równaniu tym przyjęto oznaczenia: y – wielkość wyjściowa, x – wielkość
wejściowa, t – czas, ak, bl – współczyniki stałe (k=0, 1, ..., n; l=0, 1, ..., m).
Z poprzedniego równania wynika charakterystyka statyczna (w stanie
ustalonym wszystkie pochodne są równe zeru)
b0
y x
a0
przy czym dla elementów linearyzowanych jest to równanie stycznej
linearyzującej.
Własności dynamiczne określa się zwykle na podstawie przebiegów y(t)
następujących po wprowadzeniu określonego sygnału wejściowego x(t).
Transmitancja operatorowa i macierz transmitancji
Transmitancję operatorową G(s) elementu lub układu nazywamy
stosunek transformaty wielkości wyjściowej Y(s) do transformaty
wielkości wejściowej X(s) przy zerowych warunkach początkowych.
Y ( s)
G( s) 
X ( s)
Transformując równanie różniczkowe opisujące własności elementu lub
układu liniowego (przedstawione wcześniej) otrzymamy:
Y (s)(an s n  an1s n1  ... a0 )  X (s)(bm s m  bm1s m1  ... b0 )
Ogólna zatem postać transmitancji operatorowej będzie ilorazem dwóch
wielomianów zmiennej zespolonej s
m1
(bm s  bm1s  ... b0 )
G( s ) 
n
n 1
(an s  an1s  ... a0 )
m
przy czym n≥m.
Transmitancję tę zapisuje się często w postaci
gdzie:
L( s )
G( s) 
M ( s)
L( s)  bm s  bm1s
m
m 1
 ...  b0
n 1
 ...  a0
M ( s)  an s  an 1s
n
W przypadku elementów o wielu wejściach i wielu wyjściach należy
określić macierz transmitancji G(s)
x1
x2
y1
y2
G(s)
...
...
xm
yn
G11 ( s ) G12 ( s )
G ( s ) G ( s )
22
G ( s )   21
 ...
...

Gn1 ( s ) Gn1 ( s )
gdzie
Yi ( s )
Gik ( s ) 
X i (s)
... G1m ( s ) 
... G2 m ( s )
...
... 

... Gnm ( s ) 
Odpowiedzi na wymuszenia w dziedzinie czasu
Na podstawie transmitancji operatorowej wyznacza się charakterystyki czasowe
będące odpowiedzią układu na odpowiednie wymuszenia. Do tych wymuszeń
zaliczamy: impuls (deltę) Diraca, skok jednostkowy, wymuszenie liniowe.
Pamiętając, że transmitancja operatorowa jest stosunkiem transformaty odpowiedzi
do transformaty wymuszenia, znając własności przekształcenia Laplace’a wyznaczamy
odpowiednie charakterystyki czasowe:
a) impulsową g(t) jako odpowiedź na impuls Diraca – X(s)=1
b) skokową h(t) jako odpowiedź na skok jednostkowy – X(s)=1/s
c) liniową jako odpowiedź na wymuszenie liniowe – X(s)=1/s2
1
1
y(t )  L [Y (s)]  L [G(s)  X (s)]
Opis układów z wykorzystaniem równań stanu
Stanem układu nazywa się najmniej liczny zbiór wielkości, który należy określić w chwili
t = t0, aby można było przewidzieć jednoznacznie zachowanie się układu w każdej
chwili t ≥ t0, dla każdego sygnału wymuszającego należącego do danego zbioru
sygnałów wymuszających, przy założeniu, że wszystkie elementy zbioru wymuszeń są
znane dla t ≥ t0. Wielkości te są nazywane zmiennymi lub współrzędnymi stanu.
Wektor będący zbiorem n zmiennych stanu nazywamy wektorem stanu.
Układ równań różniczkowych pierwszego rzędu, rozwiązanych względem pierwszych
pochodnych, nazywamy równaniem stanu.
Metoda analizy obwodu oparta na sformułowaniu, a następnie rozwiązaniu układu
równań różniczkowych pierwszego rzędu (równań stanu) nazywamy metodą
zmiennych stanu.
W teorii obwodów elektrycznych jako zmienne stanu najczęściej przyjmuje się prądy
i1,i2,... w cewkach i napięcia uC1,uC2... na kondensatorach. Wybór zmiennych stanu nie
jest jednak jednoznaczny.
Liczba zmiennych stanu obwodu elektrycznego jest równa na ogół liczbie elementów
reaktancyjnych obwodu, tzn. liczbie cewek i kondensatorów w obwodzie.
Dla obwodu zawierającego n zmiennych stanu można sformułować n równań
różniczkowych pierwszego rzędu lub jedno równanie różniczkowe n-tego rzędu.
Oznaczmy:
• u(t) – wektor sygnałów sterujących (wymuszeń)
• y(t) – wektor sygnałów wyjściowych (odpowiedzi)
• x(t) – wektor współrzędnych (zmiennych) stanu
• A – macierz stanu
• B – macierz wejść
• C – macierz wyjść (odpowiedzi)
• D – macierz przejść (transmisyjna)
Równania stanu przyjmą postać:
x (t )  Ax(t )  Bu(t )
y(t )  Cx(t )  Du(t )
Schemat blokowy układu opisanego równaniami stanu przedstawia się
następująco:
Jeżeli sygnały wejściowe nie oddziałują bezpośrednio na wyjście, to
macierz D jest macierzą zerową i połączenie z wejścia na wyjście nie
istnieje. W przypadku układów jednowymiarowych wektory x(t), u(t) i
y(t) stają się sygnałami, macierze B i C stają się wektorami a macierz D
stałą wielkością.
Formułowanie równań stanu
Przystępując do analizy obwodu elektrycznego metodą zmiennych stanu przede
wszystkim wybieramy zmienne stanu, a następnie formułujemy równania obwodu tak,
aby miały one postać znormalizowaną. Oznacza to, że po lewej stronie wystąpią tylko
pierwsze pochodne zmiennych stanu, a po prawej stronie same zmienne oraz funkcje
wymuszające. Współczynniki tych równań są kombinacją parametrów obwodu.
W przypadku obwodów prostych, zawierających kilka elementów reaktancyjnych
(cewek i kondensatorów) oraz dla kilku wymuszeń napięciowych i prądowych,
stosujemy pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa dla wartości chwilowych. Metodę praw
Kirchhoffa omówimy na przykładzie obwodu pokazanego na rysunku poniżej.
Przyjmiemy, że stan początkowy obwodu jest zerowy i że w chwili t = 0 zamykamy
jednocześnie łączniki W1 i W2. W obwodzie powstaje stan nieustalony. Rozpatrywany
obwód jest obwodem drugiego rzędu, ma jedną cewkę i jeden kondensator.
Jako zmienne stanu wybieramy prąd i1 w cewce o indukcyjności L i napięcie uc na
kondensatorze o pojemności C.
Oznaczamy
Zgodnie z prawami Kirchhoffa
Eliminujemy następnie te zmienne, które nie są zmiennymi stanu, czyli prądy i2(t) oraz
i3(t). Po uporządkowaniu otrzymamy
a po uwzględnieniu oznaczeń wstępnych
A w postaci macierzowej
Oznaczając:
pochodna wektora stanu
 x1 (t ) 
x (t )  


 x2 (t )
macierz układu
wektor stanu
 x1 (t ) 
x (t )  

 x2 (t )
wektor wymuszeń
 u1 (t ) 
u(t )  

u2 (t )
macierz wymuszeń
Ostatecznie równanie przyjmie postać
Jest to równanie stanu. W przedstawiony sposób zawsze można równania obwodu
doprowadzić do postaci układu równań różniczkowych i ująć jednym równaniem
macierzowo-wektorowym. W rozpatrywanym przykładzie nie wystąpiło równanie
wyjścia, gdyż nie poszukiwano innych wielkości poza zmiennymi stanu.
Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Jeżeli na wejście elementu lub układu liniowego stabilnego wprowadzone zostaje
wymuszenie sinusoidalne o stałej częstotliwości, to na wyjściu, po zaniknięciu
przebiegu przejściowego, ustali się odpowiedź sinusoidalna o tej samej częstotliwości,
ale w ogólnym przypadku, o innej amplitudzie i fazie niż wymuszenie.
Charakterystyki częstotliwościowe określają zachowanie się elementu lub układu przy
wszystkich częstotliwościach wymuszenia, podając stosunek amplitud odpowiedzi do
wymuszenia oraz przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem jako
funkcje częstotliwości.
Teoretyczną podstawę charakterystyk częstotliwościowych stanowi transmitancja
widmowa, którą definiujemy następująco:
G ( j )  G ( s) s  j
lub
y
G ( j ) 
x
gdzie y jest wartością zespoloną składowej ustalonej odpowiedzi układu wywołanej
wymuszeniem sinusoidalnym, a x wartością zespoloną tego wymuszenia.
Podstawiając za x i y parę odpowiadających sobie funkcji harmonicznych zapisanych w
postaci wykładniczej
x  A1 ()e jt
otrzymamy
y  A2 ()e j[t  ( )]
A2 ( )e j[t  ( )]
j ( )
G( j ) 

M
(

)
e
A1 ( )e jt
gdzie M()=A2()/A1() jest modułem charakterystyki częstotliwościowej (stosunkiem
amplitud odpowiedzi do wymuszenia).
Wykres G(j) nazywa się charakterystyką amplitudowo – fazową lub zespoloną
charakterystyką częstotliwościową, lub wykresem transmitancji widmowej lub
hodografem.
Do pozostałych charakterystyk częstotliwościowych, oprócz charakterystyki
amplitudowo – fazowej zaliczamy:
- amplitudową charakterystykę częstotliwościową M() lub A()
- fazową charakterystykę częstotliwościową ()
- charakterystykę częstotliwościową części rzeczywistej transmitancji widmowej P()
- charakterystykę częstotliwościową części urojonej transmitancji widmowej Q()
G ( j )  P( )  jQ( )
A( )  [ P( )]2  [Q( )]2
Q( )
 ( )  arctg
P( )
Charakterystyki częstotliwościowe amplitudową i fazową przedstawiane są zwykle we
współrzędnych logarytmicznych i nazywają się wówczas:
- L()=20 log A() – logarytmiczna charakterystyka amplitudowa
- () – logarytmiczna charakterystyka fazowa.
Przykładowe charakterystyki częstotliwościowe
Dziękuję za uwagę