Transcript Model matematyczny i charakterystyki członu z opóźnieniem

AUTOMATYKA
i
ROBOTYKA
(wykład 9)
Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz
Nazwa wydziału: WIMiR
Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH
Układy liniowe z opóźnieniem
W praktyce występują układy regulacji, których człony
mogą przejawiać opóźnioną reakcję na sygnał wejściowy.
Rozróżniamy dwa rodzaje reakcji i członów:
 człony z opóźnieniem skupionym,
 człony z opóźnieniem rozłożonym.
Człony z opóźnieniem skupionym nie powodują zniekształcenia sygnałów w czasie, a tylko przesuwają je wzdłuż
osi czasu.
Z reakcjami tego typu mamy najczęściej do czynienia w procesach transportu i mieszania.
Układy liniowe z opóźnieniem
Człony z opóźnieniem rozłożonym powodują deformację sygnałów zależną od miejsca i czasu.
Z reakcjami tego typu mamy najczęściej do czynienia w procesach przesyłania energii liniami o znacznej długości, na
przykład elektrycznymi, cieplnymi, pneumatycznymi i hydraulicznymi.
Będziemy rozpatrywać wyłącznie człony z opóźnieniem
skupionym, a opóźnienie skupione będziemy nazywać krótko
opóźnieniem.
Ponadto założymy, że opóźnienie w obiekcie regulacji
ma charakter dominujący, a ewentualne opóźnienia w pozostałych członach układu są pomijalnie małe.
Układy liniowe z opóźnieniem
zu (t )
w ( t)
ε (t)
R e g u la to r
–
v (t)
u (t)
.....
zy (t)
O b ie kt reg u la cji
z o p ó źn ie niem
y (t )
C zło n
p o m ia ro w y
Rys. Ogólny schemat blokowy układu regulacji z opóźnieniem
Układy liniowe z opóźnieniem
Przyjmijmy funkcje przejścia członów układu:
G r (s)  K r (1 
G o (s) 
K
Tz s  1
1
Ti s
e
 T d s)

- s
H(s)  K z
Kr, K, Kz – współczynniki wzmocnienia,
Ti, Td, Tz – stałe czasowe,
τ – czas opóźnienia.
Układy liniowe z opóźnieniem
W( s )
–
1
 U (s )

Kr 1+ T s +Td s 
i
Zu ( s)
Zy (s )
–
–
-τ s
K
e
Tz s+ 1
Kz
Rys. Szczegółowy schemat blokowy układu regulacji z
opóźnieniem i funkcjami przejścia
Y (s )
Układy liniowe z opóźnieniem
1
s
0.2 28
0.18 s2+1.18 s+1
y1
G1
+
-
1
s
0.2 28
0.18 s2+1.18 s+1
y2
G2
+
-
t
w
y1
y2
Tau_ 2.5
G3
G4
+
-
+
-
1
s
1
s
0.2 28
0.18 s2+1.18 s+1
0.2 28
0.18 s2+1.18 s+1
y3
y3
Tau_ 5.0
y4
y4
Tau_ 7.5
Schematy blokowe układów G1, G2, G3 i G4 do badań symulacyjnych.
Układy liniowe z opóźnieniem
Pobudzając układy skokowym sygnałem sterującym, możemy
zaobserwować wyraźny wpływ wzrostu czasu opóźnienia na
pogorszenie się właściwości eksploatacyjnych układów
3.0
2.5
y4
2.0
y1, y2 , y3,y4
y3
1.5
y2
1.0
y1
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
5
10
15
20
25
Czas [s]
30
35
40
45
Charakterystyki skokowe układów G1, G2, G3 i G4
50
Układy liniowe z opóźnieniem
W porównaniu z układami bez opóźnienia może wystąpić:
wzrost przeregulowania i czasu regulacji,
pojawienie się drgań typowych dla granicy stabilności,
niestabilna praca układu.
Przykłady członów z opóźnieniem
Przykład 1
Jako pierwszy przykład rozważymy zawór dozujący, będący
fragmentem układu regulacji stężenia związku chemicznego w
roztworze wodnym, jak na rysunku.
roztw ór
stę żony
ck
1
czysta
w oda
c
v
2
l
Rys. Schemat zaworu dozującego
roztw ór
w odny
czujnik
Przykłady członów z opóźnieniem
Właściwe proporcje składników występują już w punkcie 1
zaworu dozującego, jednak ze względu na konieczność
wymieszania się składników układ pomiarowy znajduje się w
punkcie 2.
Stężenie ck określone w punkcie 1 zostanie zarejestrowane w
punkcie 2 jako wartość c po upływie czasu τ wynoszącego
 
l
vc
Stąd sposób opóźnionej reakcji możemy zapisać
c(t)  c k (t -  )
Przykłady członów z opóźnieniem - przykład 2
vp
h
hk
ko tlin a
w a lco w n icza
czu jn ik
l
Rys. Fragment układu stabilizacji grubości walcowanego pasma –
schemat walcowania
Przykłady członów z opóźnieniem - przykład 2
Jako drugi przykład rozważymy fragment układu stabilizacji
grubości walcowanego pasma. Właściwa grubość walcowanego pasma hk zostaje wytworzona w kotlinie walcowniczej. Poza tą kotliną nie ma deformacji wymiarów
pasma, więc reakcja czujnika mierzącego wartość h będzie
opóźniona o czas τ wynoszący
 
Wtedy
l
vp
h(t)  h k (t -  )
Przykłady członów z opóźnieniem - przykład 3
czu jnik
mk
vm
l
Rys. Schemat przenośnika taśmowego
m
Układy liniowe z opóźnieniem
Jako trzeci przykład weźmiemy fragment układu regulacji grubości
warstwy materiału na przenośniku taśmowym
Zmiana grubości warstwy, a więc zmiana masy transportowanego
materiału zachodzi w urządzeniu zasypowym i zarejestrowana jest
przez czujnik po upływie czasu
 
l
vm
Reakcja czujnika jest więc opóźniona w czasie
m(t)  m k (t -  )
Układy liniowe z opóźnieniem
Krótkie podsumowanie
W pokazanych przykładach czas opóźnienia
wynikał głównie z konieczności przetransportowania
medium (cieczy, metalu, sypkiego materiału itp.) z
miejsca, w którym zadanie regulacyjne zostało wykonane do miejsca, w którym zaistniała zmiana mogła
zostać zarejestrowana. Taki czas opóźnienia nosi
często nazwę opóźnienia transportowego.
Model matematyczny
i charakterystyki członu z opóźnieniem
Wcześniejsze wzory zapiszemy ogólnie w postaci
y(t)  y k (t -  )
Funkcję przejścia układu członu można wyznaczyć na
podstawie twierdzenia o przesunięciu wzdłuż osi czasu
G s (s) 
Y(s)
Y k (s)
e

- s
Model matematyczny
i charakterystyki członu z opóźnieniem
yk
Ay
0
t
y
Ay
0
τ
Sygnał wejściowy i odpowiedź członu z opóźnieniem
t
Model matematyczny
i charakterystyki członu z opóźnieniem
Dla wyznaczenia charakterystyk częstotliwościowych wyznaczamy
widmową funkcję przejścia członu
G s (j  )  e
-j 
Wobec tego:
G s (j  )  1
 s  argG
s
(j  )   
Model matematyczny
i charakterystyki członu z opóźnieniem
jIm Gs (j ω)
3π
2τ
1
π
τ
2π
τ
Re Gs (j ω)
ω
0
π
2τ
Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu z opóźnieniem
Model matematyczny
i charakterystyki członu z opóźnieniem
Lm Gs (j ω) [dB]
lg ω
(ω)
φs [ rad]
π
6τ
- π6
2π
6τ
3π
6τ
4π 5π π 7π 8π
6τ 6τ τ 6τ 6τ
lg ω
(ω)
- 26π
- 3π
6
- 46π
- 56πτ
-π
- 76π
- 8π
6
Charakterystyki logarytmiczne amplitudowa i fazowa członu z opóźnieniem
Model matematyczny
i charakterystyki członu z opóźnieniem
Na podstawie tych charakterystyk można stwierdzić, że
układy
z
opóźnieniem
są
układami
nieminimalnofazowymi.
Układy minimalnofazowe mają dwie charakterystyczne
cechy:
1) na
podstawie
logarytmicznej
charakterystyki
amplitudowej można przewidzieć kształt logarytmicznej
charakterystyki fazowej,
2) charakterystyka fazowa zmierza do skończonej wartości,
gdy ω zmierzała do nieskończoności.
Model matematyczny
i charakterystyki członu z opóźnieniem
Układy nieminimalnofazowe mają również dwie cechy
charakterystyczne:
1. nie można przewidzieć kształtu logarytmicznej charakterystyki fazowej na podstawie logarytmicznej charakterystyki amplitudowej,
2) charakterystyka fazowa zmierza do minus nieskończoności, gdy ω zmierza do nieskończoności.
Wybrane obiekty z opóźnieniem
Obiekt inercyjny pierwszego rzędu
Funkcję przejścia obiektu inercyjnego pierwszego rzędu z
opóźnieniem zapisujemy w postaci
G o (s) 
Y(s)
U(s)

K
Ts  1
e

- s
Charakterystyka czasowa skokowa
Transformata odpowiedzi
Y(s)  U(s)G o (s)  A u
1
K
s Ts  1
e

- s
Na podstawie twierdzenia o splocie otrzymujemy
 y(t)  0

t -


1 - e T
y(t)

KA
u








dla
t 
dla
t 
Charakterystyka czasowa skokowa
y
K Au
0.9 8 K A u
0.6 3 2 K A u
0
τ
T+τ
4T+τ
t
Charakterystyka skokowa obiektu inercyjnego z opóźnieniem
Charakterystyki częstotliwościowe
Widmowa funkcja przejścia obiektu, jej moduł i argument
G o (j  ) 
G o (j  ) 
K
1  j T
e
- j 
K
1  j T

e
- j 
K
1  j T
e
- j 

K
1 T
 o  argG o (j  )  argK - arg(1  j  T)  arge
 0  arctg  T -    arctg  T - 
2
-j  T

2
Charakterystyki częstotliwościowe
jIm Go (j ω)
K
Re Go (j ω)
ω= 0
ωi
-ωi τ
τ =0
τ>0
ωi
Charakterystyka amplitudowo-fazowa obiektu inercyjnego
z opóźnieniem
Aproksymacja właściwości obiektów wyższego
rzędu bez opóźnienia za pomocą modeli niższego
rzędu z opóźnieniem.
• Aproksymacja właściwości obiektów
wyższego rzędu bez opóźnienia za pomocą
modeli niższego rzędu z opóźnieniem.
• Aproksymacja właściwości obiektów
inercyjnych wyższego rzędu z opóźnieniem
za pomocą modeli niższego rzędu z
opóźnieniem.
Aproksymacja właściwości obiektów wyższego
rzędu bez opóźnienia za pomocą modeli niższego
rzędu z opóźnieniem.
Do obiektów wyższego rzędu bez opóźnienia
zaliczymy między innymi obiekt inercyjny i całkujący z
inercją. Ich modele zastępcze są następujące:
G o (s) 
G o (s) 
K
(T 1 s  1)...(T
n
s  1)

K
s(T 1 s  1)...(T
n
s  1)
K
( Tz s  1 )

e

 s
K
s ( Tz s  1 )
Tz – zastępcza stała czasowa,
τ – zastępczy czas opóźnienia.
e

 s
Parametry
zastępczego
modelu
obiektu
inercyjnego wyższego rzędu na podstawie
charakterystyki skokowej.
y
K Au
0.632 K A u
P
τ
Tz
o
Charakterystyka skokowa inercyjnego obiektu regulacji.
t
Parametry
zastępczego
modelu
obiektu
inercyjnego wyższego rzędu na podstawie
charakterystyki skokowej.
Na podstawie rysunku możemy określić wszystkie współczynniki zastępczej funkcji przejścia, mianowicie:
 Współczynnik wzmocnienia dany jest znanym wzorem
K 
( KA u )
Au
 Pozostałe parametry zastępcze można wyznaczyć bezpośrednio z charakterystyki jak pokazano na rysunku
Parametry
zastępczego
modelu
obiektu
całkującego z inercją wyższego rzędu na
podstawie charakterystyki skokowej
y
β = arc tg K A u
0.368K Au T
0
Charakterystyka
wyższego rzędu
τ
skokowa
t
T+τ
obiektu
całkującego
z
inercją
Parametry
zastępczego
modelu
obiektu
całkującego z inercją wyższego rzędu na
podstawie charakterystyki skokowej
Na podstawie rysunku możemy określić wszystkie współczynniki zastępczej funkcji przejścia, mianowicie:
 Współczynnik wzmocnienia dany jest znanym wzorem
K 
tg 
Au
 Pozostałe parametry zastępcze można wyznaczyć ze
wzorów
Tz 
( 0 . 368 KA u T z )
0 . 368 tg 
  (Tz   )  Tz
Parametry zastępczych modeli obiektów
inercyjnych wyższych rzędów
Lp.
1
Funkcja przejścia
G o (s) 
K
Tz

T
T
1.865
0.282
2.786
0.386
3.700
0.450
4
4.632
0.498
5
5.566
0.534
6
6.535
0.555
7
8
8.456
0.614
8
10
10.424
0.636
2.455
0.805
(Ts  1)
2
2
2
3
3
4
G o (s) 
5
6
9
K
(aTs  1)(Ts  1)
a1
G o (s) 
K
(Ts  1)
3
a
Lp.
Parametry zastępczych modeli obiektów
całkujących

z inercjami wyższych rzędów
Tz
Funkcja przejścia
T
1
G o (s) 
K
s(Ts  1)
2
T
1.471
0.529
2
2
2.290
0.710
3
3
3.198
0.802
4
4.146
0.854
5
5.114
0.886
6
6.092
0.908
7
8
8.066
0.934
8
10
10.050
0.950
1.830
1.170
4
G o (s) 
5
6
9
K
s(aTs  1)(Ts  1)
a1
G o (s) 
a
K
s(Ts  1)
3
Aproksymacja właściwości obiektów inercyjnych
wyższego rzędu z opóźnieniem za pomocą modeli
niższego rzędu z opóźnieniem.
Do obiektów inercyjnych wyższego rzędu z opóźnieniem
możemy zaliczyć obiekty o jednakowych stałych czasowych,
opisane funkcją przejścia
G o (s) 
K
(T n s  1)
n
e

-
ns
Przybliżenia tego modelu mogą być następujące
G o (s) 
G o (s) 
K
(T 1 s  1)
1
K
(T 2 s  1)
2
e
-

1s
e
-

2s
Parametry zastępczych modeli obiektów na
podstawie charakterystyki skokowej
y
K Au
0.70 K Au
0.33 K Au
0
t 0.33
t0.7 0
Charakterystyka skokowa obiektu
t
Parametry zastępczych modeli obiektów na
podstawie charakterystyki skokowej
Współczynnik wzmocnienia w obu modelach zastępczych
wynosi:
K 
(KA u )
Au
Dla jednej stałej czasowej mamy wzory:
T1  1.245(t
 1  1.498t
0.70
0.33
- t 0.33 )
- 0.498t
0.70
Dla dwóch identycznych stałych czasowych mamy:
T 2  0.794(t
 2  1.937t
0.70
0.33
- t 0.33 )
- 0.937t
0.70
Parametry zastępczych modeli obiektów na
podstawie ich funkcji przejścia
G o (s) 
G o (s) 
K
T n s  1 
n
K
T1 s  1 
1
e
e
- n s
- 1 s
n
1
2
3
4
5
6
T1
1
1.568
1.980
2.320
2.615
2.881
0
0.552
1.232
1.969
2.741
3.537
-
1
1.263
1.480
1.668
1.838
-
0
0.535
1.153
1.821
2.5253
Tn
1 n
Tn
T2
G o (s) 
K
T 2 s  1 
2
e
- 2 s
Tn
2 n
Tn
Stabilność układów z opóźnieniem
Układ regulacji jest stabilny wtedy, gdy wszystkie
pierwiastki równania charakterystycznego są
rzeczywiste ujemne lub mają ujemną część
rzeczywistą, czyli leżą w lewej części płaszczyzny
zmiennej zespolonej.
Kryterium Nyquista
W (s)
–
G (s)
Y (s)
H (s)
Schemat blokowy układu regulacji
Równanie charakterystyczne układu, konwencjonalnie i widmowo
1  H(s)G(s)
0
1  H(j  )G(j  )  0
Kryterium Nyquista
a)
j Im H ( j ω ) G ( j ω )
-1, j 0
R e H ( jω ) G ( jω )
b)
j Im H ( j ω ) G ( j ω )
-1, j 0
R e H ( jω ) G ( jω )
Charakterystyki amplitudowo-fazowe w układzie otwartym:
a) układu stabilnego b) układu niestabilnego
Badany układ regulacji jest stabilny, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa w układzie otwartym nie obejmuje punktu (-1, j0)
Stabilność układów z opóźnieniem
Kryterium Nyquista, oprócz zbadania stabilności,
umożliwia także wyznaczenie krytycznego czasu
opóźnienia.
Krytycznym czasem opóźnienia nazywamy czas
opóźnienia powodujący utratę stabilności układu
regulacji.
Zagadnienie
to
ilustrują
charakterystyki
amplitudowo-fazowe kilku układów dla różnych
czasów opóźnienia.
Stabilność układów z opóźnieniem
j Im H ( jω ) G ( jω )
-1, j 0
K
R e H ( jω ) G ( j ω )
τ < τk r
τ > τk r
τ = τk r
Charakterystyki amplitudowo-fazowe w układzie otwartym
dla różnych wartości czasów opóźnienia
Stabilność układów z opóźnieniem
j Im H ( j ω ) G ( j ω )
-1, j 0
R e H ( jω ) G ( jω )
G
ωπ
φ = -π
Fragment charakterystyki amplitudowo-fazowej
układu w otoczeniu granicy stabilności
Stabilność układów z opóźnieniem
Dla granicy stabilności, czyli dla punktu G, warunek na
moduł i argument widmowej funkcji przejścia wynoszą:
H(j   )G(j   )  1
arg H(j   )G(j   )  - 
Podane warunki są układem równań, przy czym:
 warunek pierwszy służy zwykle do wyznaczenia pulsacji
na granicy stabilności,
 warunek drugi umożliwia wyznaczenie krytycznego czasu
opóźnienia.
Stabilność układów z opóźnieniem - przykład
Schemat blokowy układu regulacji przekształcony
do postaci z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym
Zbadać stabilność układu regulacji dla danych:
KK
z
 2
T z  1 [s]
  2 [s]
Stabilność układów z opóźnieniem - przykład
Rozwiązanie
Transmitancja operatorowa i widmowa w układzie otwartym
H(s)G(s)

KK z e

- s
s T z s  1 
H(j  )G(j  ) 
KK
z
j  1  j  T z

e
- j 
Moduł i argument transmitancji widmowej (liczby zespolonej):
H(j  )G(j  ) 
  

2
KK
z
 1   Tz
2
 arc tg  T z  
2
Stabilność układów z opóźnieniem - przykład
Po podstawieniu:
H(j  )G(j  ) 
 

2
2
 1
2
 arc tg   2 
Na podstawie tych wzorów sporządzono dwie charakterystyki
1. Bez opóźnienia (krzywa zielona).
2. Z opóźnieniem (krzywa czerwona).
j Im H ( j ω ) G ( j ω )
j2
1.0 0
0.7 5
-6
-4
-2
-1
1.50
0.5 0
Charakterystyki
amplitudowo-fazowe
w układzie otwartym
1.2 5
0.75
0.4 0
2.0 0
0
2.5 0
-j2
0.50
-j4
0.3 0
0.40
0.2 5
-j6
0.30
τ = 2 [s]
ω = 0.2 0 [1 / s ]
-j8
ω = 0.20 [1/ s ]
τ = 0 [s]
R e H ( jω ) G ( j ω )
2
Stabilność układów z opóźnieniem - przykład
Podsumowanie
Z rysunku widać, że
1. Charakterystyka układu bez opóźnienia świadczy o
stabilności układu.
2. Charakterystyka układu z opóźnieniem świadczy o
niestabilności układu, a więc o istotnym wpływie czasu
opóźnienia na właściwości układu.
Stabilność układów z opóźnieniem - przykład
Wyznaczyć krytyczny czas opóźnienia poprzednio rozpatrywanego układu.
Rozwiązanie
Warunek modułu i argumentu analizowanego układu wynoszą
KK
z
 1   T
2


2
2
z
1
 arc tg   T z     kr   
Stabilność układów z opóźnieniem - przykład
Z warunku modułu otrzymujemy
 
1  4T
1
Tz
2
z
KK z 
2
1
2
 1.25
[1/s]
Z warunku argumentu otrzymujemy

 kr  2
 arc tg   T z

 0.54
[s]