Transcript Obwody Elektryczne 1.. - Zakład Inżynierii Materiałowej i Systemów

Obwody elektryczne
2014
Kierunek ELEKTROTECHNIKA
Kontakt:
•
•
•
•
•
•
•
Dr inż. Marek Ossowski
[email protected]
Zakład Ukaładów i Sysytemów Nieliniowych
Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej
Al.Politechniki 11 pok.14 Ip (C3)
Tel.(42) 6312515
Tel 501673231  tylko w sprawach niezwykle
ważnych!!!!
OE1 2014
2
Program wykładów
•
•
•
•
•
Obwody elektryczne -wstęp
Podstawy topologii
Prawa Kirchhoffa
Twierdzenie Tellegena
Elementy obwodów
• Oporniki liniowe
– Łączenie oporników
– Rezystywność i konduktywność
• Oporniki nieliniowe
– Charakterystyki wypadkowe połączeń
• Źródła niezależne idealne i rzeczywiste
• Źródła sterowane
OE1 2014
3
Program wykładów (cd)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Obliczanie prostych obwodów DC
Obwody równoważne
Metoda praw Kirchhoffa
Zasada superozycji
Twierdzenie Thevenina-Nortona
Metoda potencjałów węzłowych
Zasada wzajemności
Twierdzenie o kompensacji
Podstawowe pojęcia dotyczące analizy
AC (prądy sinusoidalnie zmienne)
OE1 2014
4
Literatura
• Teoria Obwodów cz.I –
M.Tadeusiewicz
• Teoria Obwodów. Zadania –
praca zbiorowa po redakcją
M.Tadeusiewicza
OE1 2014
5
Zaliczenie przedmiotu
• Obecność na wszystkich zajęciach
• Zaliczenie dwóch sprawdzianów
pisemnych przewidzianych
terminach (7 i 12 tydzień zajęć)
• Forma sprawdzianu pisemnego:
– Krótkie pytania (możliwość testu)
– Pytania problemowe
– Proste zadania obliczeniowe
OE1 2014
6
POJĘCIA PODSTAWOWE
• Urządzenie elektryczne = obiekt fizyczny taki jak
tranzystor, wzmacniacz operacyjny
• Obwód elektryczny  połączone przewodami
urządzenia elektryczne
• Urządzenia elektryczne reprezentowane są przez
modele składające się z podstawowych elementów
obwodów (oporników, źródeł, kondensatorów,
cewek)
• Modele  przybliżony opis fizycznych urządzeń
• To samo urządzenie może mieć różne modele
OE1 2014
7
Kierunki odniesienia:
• Rozpatrywane są napięcia między węzłami i
prądy płynące w gałęziach łączących węzły.
• Zwyczajowo przyjmuje się za dodatni kierunek
przepływu ładunków dodatnich (napięcie od +
do -)
• Ze względu na możliwe zmiany w czasie
kierunku ruchu ładunków trudno określić
aktualny kierunek prądu i zwrot napięcia
przyjmuje się pewne kierunki odniesienia, które
wraz z wartością (za znakiem) są jednoznaczną
informacją o prądzie i napięciu
OE1 2014
8
Kierunki odniesienia (interpretacja)
i( t )
u( t )
Dla wybranej chwili t1 zapis:
i t1   1.2 A oznacza, że w tej wybranej chwili prąd o wartości 1.2A
płynie w kierunku od zacisku 1 do 2
i t 2   7 mA oznacza, że w tej wybranej chwili prąd o wartości 7mA
płynie w kierunku od zacisku 2 do 1
u t1   7V oznacza, że w tej wybranej chwili potencjał węzła 2 jest
większy od potencjału węzła 1 o 7V
u t 2   12V oznacza, że w tej wybranej chwili potencjał węzła 1 jest
większy od potencjału węzła 2 o 12V
OE1 2014
9
OBWÓD PRZYKŁADOWY
u5(t)
i1(t)
R5
i5(t)
u2(t)
L4
2
i4(t)
u4(t)
u3(t)
u6(t)
j (t)
e1(t)
C3
i3(t)
i (t)
6
OE1 2014
10
POJĘCIA PODSTAWOWE (cd)
• WĘZEŁ  miejsce połączenia końcówek elementów
oznaczane na schematach kropką.
• GAŁĄŹ  odcinek obwodu między węzłami
(zawiera zwykle jeden element lub urządzenie wraz z
przewodami)
• ŚCIEŻKA  ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym
węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy
się w węźle końcowym
• PĘTLA  zamknięty ciąg gałęzi: rozpoczyna się w
jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i
kończy się w tym samym węźle początkowym
(inaczej: ścieżka o wspólnym początku i końcu)
OE1 2014
11
POJĘCIA PODSTAWOWE (cd)
• GRAF  graficzne odwzorowanie obwodu
zawierające jedynie informację o lokalizacji
elementów i ich połączeniach
• otrzymujemy go przez zastąpienie wszystkich
elementów obwodu gałęziami
• GRAF ZORIENTOWANY graf zawierający
dodatkowo informację o kierunku odniesienia
sygnałów gałęziowych (może być zorientowany
prądowo, napięciowo lub w sposób uniwersalny)
OE1 2014
12
Tworzenie grafu
1
1
1
2
2
i
u
2
Element obwodu
między węzłami 1 i 2
1-sza gałąź grafu
niezorientowanego
OE1węzłami
2014
między
1i2
1-sza gałąź grafu
zorientowanego
między węzłami 1 i 2
13
OBWÓD - GRAF
- GRAF
ZORIENTOWANY
OBWÓD
GRAF -
5
2
4
1
3
6
OE1 2014
14
OBWÓD
- GRAF
- GRAFZORIENTOWANY
ZORIENTOWANY
OBWÓD
- GRAF
5
2
4
1
3
6
OE1 2014
15
DROGA
Drogą między węzłami j i k nazywamy zbiór gałęzi
grafu utworzony w ten sposób, że
•kolejne gałęzie mają wspólny węzeł,
•w żadnym węźle nie łączą się więcej niż dwie gałęzie
zbioru,
•z węzłem j oraz z węzłem k łączy się dokładnie jedna
gałąź zbioru.
OE1 2014
16
Przykład 1 drogi między węzłami 1 i 2
b
1
5
f
e
3
c
a
i
j
2
g
4
h
d
6
Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drogi
OE1 2014
17
Przykład 2 drogi między węzłami 1 i 2
b
1
5
f
e
3
c
a
i
j
2
g
4
h
d
6
Zbiór gałęzi e-f-g-c-h-i-j
nie spełnia warunku (2) definicji drogi
OE1 2014
18
Przykład 3 drogi między węzłami 1 i 2
b
1
5
f
e
3
c
a
i
j
2
g
4
h
d
6
Zbiór gałęzi e-g-c-d nie
spełnia warunku (1) definicji drogi
OE1 2014
19
Pętla
Pętlą grafu nazywamy podgraf grafu
spełniający następujące warunki
•podgraf jest spójny,
•w każdym węźle podgrafu łączą się dwie i
tylko dwie gałęzie.
OE1 2014
20
Przykład 1 pętla
b
1
5
f
e
3
c
a
i
j
2
g
4
h
d
6
Zbiór gałęzi e-f-g-c-d-a spełnia warunki definicji pętli
OE1 2014
21
Przykład 2 nie-pętla
b
1
5
f
e
3
c
a
i
j
2
g
4
h
d
6
Zbiór gałęzi e-j-a-g-c-h nie
spełnia warunku 1 definicji pętli
OE1 2014
22
Przykład 3 nie-pętla
b
1
5
f
e
3
c
a
i
j
2
g
4
h
d
6
Zbiór gałęzi e-i-f-j-a nie
spełnia warunku 2 definicji pętli
OE1 2014
23
DRZEWO
Drzewem grafu spójnego nazywamy spójny
podgraf obejmujący wszystkie węzły i nie
zawierający żadnej pętli.
Pozostałe gałęzie grafu tworzą przeciwdrzewo
(DOPEŁNIENIE)
OE1 2014
24
Przykład 1 DRZEWO
b
1
5
f
e
3
c
a
i
j
2
g
4
h
d
6
Zbiór gałęzi e-f-g-c-d spełnia warunki definicji drzewa
OE1 2014
25
Przykład 2 DRZEWO
b
1
5
f
e
3
c
a
i
j
2
g
4
h
d
6
Zbiór gałęzi e-f-g-h-j spełnia warunki definicji drzewa
OE1 2014
26
Twierdzenie
Drzewo grafu spójnego o  węzłach i
b gałęziach zawiera  - 1 gałęzi.
Dowód (indukcyjny):
•Dla n=2, b=1 (n= )
twierdzenie prawdziwe
OE1 2014
27
Cd.
Dowód (indukcyjny)cz.2:
Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla grafu nwęzłowego.
Rozpatrzmy graf o n+1 węzłach, utwórzmy drzewo
i wyodrębnijmy ten węzeł, w którym zbiega się tylko
jedna gałąź drzewa.
Graf
o
n węzłach
OE1 2014
dk
n+1
28
Graf
o
n węzłach
dk
n+1
Drzewo rozpatrywanego grafu skład się zatem
z drzewa grafu n-węzłowego oraz gałęzi dk.
Uwzględniając założenie indukcyjne otrzymamy:
(n-1)+1=n
WNIOSEK:
Dopełnienie grafu spójnego  węzłach i b gałęziach
zawiera b -  + 1 gałęzi.
OE1 2014
29
PRZEKRÓJ
Przekrojem grafu spójnego nazywamy zbiór
gałęzi spełniający następujące warunki
(1) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju bez
węzłów końcowych powoduje podział grafu na
dwa podgrafy
(2) usunięcie wszystkich gałęzi przekroju poza
jedną nie narusza spójności grafu.
OE1 2014
30
Przykład 1 przekrój
b
1
5
f
e
3
c
a
i
j
2
g
4
h
d
6
Zbiór gałęzi b-f-i-d spełnia warunki definicji przekroju
OE1 2014
31
Przykład 2 nie- przekrój
b
1
5
f
e
3
c
a
i
j
2
g
4
h
d
6
Zbiór gałęzi b-f-i-d-j
nie spełnia warunków (2) definicji przekroju
OE1 2014
32
PRZEKRÓJ FUNDAMENTALNY
Przekrojem grafu spójnego nazywamy
fundamentalnym jeżeli jest utworzony z
dokładnie jednej gałęzi drzewa i gałęzi
dopełnienia.
Jest ich w grafie  - 1
OE1 2014
33
DRZEWO grafu i przekroje fundamentalne
b
1
5
f
e
3
c
a
i
j
2
g
4
h
d
6
Przekroje fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d
(1) eab (2) fbija (3) gbhja (4) chja (5) dja
OE1 2014
34
Pętla FUNDAMENTALNA
Pętlę nazywamy fundamentalną jeżeli jest
utworzona z dokładnie jednej gałęzi
dopełnienia i gałęzi drzewa.
Jest ich w grafie b -  + 1
OE1 2014
35
DRZEWO grafu i pętle fundamentalne
b
1
5
f
e
3
c
a
i
j
2
g
4
h
d
6
Pętle fundamentalne dla drzewa e-f-g-c-d
(1) aefgcd (2) bgfe (3) hcg
(4) if (5) jfgcd
OE1 2014
36
Twierdzenia dotyczące PRAW
KIRCHHOFFA
(1) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych
otrzymanych z PPK wynosi  -1.
Równania te można napisać stosując PPK do  -1
fundamentalnych przekrojów.
(2) Maksymalna liczba równań liniowo niezależnych
otrzymanych z NPK wynosi b -  +1 .
Równania te można napisać stosując PPK do b -  +1
fundamentalnych pętli.
OE1 2014
37
DEFINICJA GRAFU PLANARNEGO:
Graf planarny to taki graf, który może być
narysowany na płaszczyźnie tak aby gałęzie przecinały
się tylko w węzłach.
DEFINICJA OCZKA:
Oczkiem grafu planarnego nazywamy pętlę
nie zawierająca wewnątrz żadnych gałęzi.
TWIERDZENIE
Graf planarny zawiera b -  +1 oczek.
Równania NPK napisane dla b -  +1
są liniowo niezależne.
OE1 2014
38
Napięciowe Prawo Kirchhoffa (NPK)
• Dla dowolnego obwodu elektrycznego
w dowolnej chwili algebraiczna suma
napięć gałęziowych wzdłuż dowolnej
pętli wynosi zero
lg pi
Liczba gałęzi i-tej
pętli

uk  0
k 1
OE1 2014
39
u2 t   u4 t   u5 t   0
OBWÓD PRZYKŁADOWY
u5(t)
i1(t)
R5
i5(t)
u2(t)
L4
2
i4(t)
u4(t)
u3(t)
u6(t)
j (t)
e1(t)
C3
i3(t)
u5 t   u6 t   e1 t   0
i (t)
6
 u4 t   u2 t   e1 t   u6 t   0
OE1 2014
40
Prądowe Prawo Kirchhoffa (PPK)
• Dla dowolnego obwodu elektrycznego
w dowolnej chwili algebraiczna suma
prądów w dowolnym węźle wynosi zero
lg ni
Liczba gałęzi
zbiegających się w itym węźle
OE1 2014

ik  0
k 1
41
j2 t   i3 t   i4 t   0
OBWÓD PRZYKŁADOWY
u5(t)
i1(t)
R5
i5(t)
u2(t)
L4
2
i4(t)
u4(t)
u3(t)
u6(t)
j (t)
e1(t)
C3
i3(t)
 i1 t   i3 t   i6 t   0
i (t)
6
i4 t   i5 t   i6 t   0
OE1 2014
42
Prądowe Prawo Kirchhoffa (ogólniej)
• Dla dowolnego obwodu elektrycznego w
dowolnej chwili algebraiczna suma prądów
przenikających dowolną gaussowską
powierzchnię zamkniętą wynosi zero.
lg S i

Liczba gałęzi
k 1
przecinających
powierzchnię zamkniętą Si
OE1 2014
ik  0
43
PRZYKŁAD:
i2
i7
i6
i1
i5
i4
i Z3
 i2 t   i1 t   i5 t   iZ 3 t   0
OE1 2014
44
Zasady pisania równań Kirchhoffa
• Dla obwodu o n węzłach i b gałęziach można
napisać:
 n-1 liniowo niezależnych równań z PPK (dla n-1
dowolnie wybranych węzłów)
 b-n+1 liniowo niezależnych równań z NPK (dla b-n+1
odpowiednio wybranych pętli)
 Ogólna liczba liniowo niezależnych równań jakie
można napisać dla obwodu o n węzłach i b
gałęziach wynosi:
n 1  b  n 1  b
OE1 2014
45
Twierdzenie Tellegena
Jeżeli prądy gałęziowe i m spełniają PPK w
każdym węźle grafu oraz napięcia gałęziowe
u m spełniają NPK w każdej pętli grafu
wówczas
b
 u kik  0
k 1
( b  liczba wszystkich gałęzi grafu, sumowanie
odbywa się po wszystkich gałęziach)
OE1 2014
46
DOWÓD
v n potencjał n-tego węzła
u kl napięcia między węzłami k i l
u kl  vk  vl
ukl
l
k
vk
i kl
vl
i kl prąd płynący od węzła k do l
OE1 2014
47
i kl u kl  i kl (vk  vl )  i kl vk  i kl vl  i kl vk  ilk vl
i lk  i kl
STOSUJEMY
DO
KAŻDEGO
SKŁADNIKA SUMY
POGRUPUJEMY
SKŁADNIKI
ZAWIERAJĄCE
K-TE POTENCJAŁY
b
 u kik
k 1
 i kj v k v k  i kj
j
OE1 2014
j
48
b

lgk
 uk ik   vk  ikj
k 1
k 1
Liczba
gałęzi w k-tym
węźle
j 1
PONIEWAŻ WSZYSTKIE PRĄDY WYSTĘPUJĄCE
W SUMIE DLA K-TEGO WĘZŁA WYPŁYWAJĄ Z NIEGO,
NA PODSTAWIE PPK:
lgk
i

 
k 1,
CZYLI:
j 1
kj
0
b
 u kik  0
k 1
OE1 2014
49
WNIOSEK 1
SUMA MOCY CHWILOWYCH WSZYSTKICH GAŁĘZI
OBWODU JEST RÓWNA ZERU.
WNIOSEK 2
NAPIĘCIA uk ORAZ PRĄDY ik NIE MUSZĄ DOTYCZYĆ
TEGO SAMEGO OBWODU, A JEDYNIE OBWODÓW O
TEJ SAMEJ TOPOLOGII, tzn. POSIADAJĄCYCH
TEN SAM GRAF.
OE1 2014
50
WNIOSEK 1
Ilustracja twierdzenia Tellegena
1
1
1
4
i1
1
4
u1
3
u2
~i
1
2
i3
3
~
u
4
2
i2
2
3
k k
~i
~
u
u i
4
1
i2
3
4
~
u
i4
2
2
~
u
u
~
i
3
3
~
u
3
 0  u1i1  u2i2  u2i2  u2i2  0
k 1
4

u~k ~
ik  0  u~1~
i1  u~2 ~
i2  u~2 ~
i2  u~2 ~
i2  0
k 1
OE1 2014
51
WNIOSEK 2
Ilustracja twierdzenia Tellegena
1
1
1
4
i1
1
4
u1
~
u
i4
3
~i
~i
1
~
i2
3
4
1
u2
2
2
~
u
u
i3
3
2
i2
2
2
~
u
~
i
3

3
3
u
4
4
~
u
3
u~k ik  0  u~1i1  u~2i2  u~2i2  u~2i2  0
k 1
4

uk ~
ik  0  u1~
i1  u2 ~
i2  u2 ~
i2  u2 ~
i2  0
k 1
OE1 2014
52
Elementy obwodów
• Oporniki
– liniowe
– nieliniowe
• Źródła niezależne
– napięciowe
– prądowe
• Źródła sterowane (zależne)
OE1 2014
53
Uwaga:
Wartości chwilowe wielkości obwodowych,
np.prądów i napięć (funkcje czasu)
oznaczamy zawsze małymi literami
np.
u(t), i(t), p(t), w(t)
OE1 2014
54
Jednostki
Stosujemy jednostki podstawowe układu SI:
1u   1V
Jednostka napięcia
Jednostka natężenia prądu:
Jednostka oporu (rezystancji):
1i   1A
1R 1
1 p  1W
Jednostka mocy:
1w  1J
Jednostka energii:
OE1 2014
55
Będziemy rozważać elementy SLS:
•skupione (S)
•liniowe (L)
•stacjonarne (S)
OE1 2014
56
i
Moc i energia
Moc chwilowa
Energia
p(t )  u (t ) i(t )
u
t
w(t )   u( ) i( ) d

Związek między mocą i energią:
dw(t )
p(t ) 
dt
t
w(t ) 
OE1 2014
 p( ) d

57
Opornik liniowy
• Równania
u  Ri i  Gu
i
• Symbole
• Jednostki
R
i
1
R
G
R
u
u
1R 1
1G  1S
u
u  Ri
• Charakterystyka
prądowo-napięciowa
i
OE1 2014
58
Opornik liniowy
• Obliczanie rezystancji
Długość przewodu
l
 l
R

 S
S
konduktywność 
przewodność
pole powierzchni
poprzecznej przewodu
rezystywność 
oporność właściwa
OE1 2014
59
Rezystywność i konduktywność przewodników
Materiał
Rezstywność 
m
mm2/m
Konduktywność 
S/m
m/(mm2)
SREBRO
1.6210-8
0.0162
62.5106
62.5
MIEDŹ
1.7510-8
0.0175
57 106
57
ALUMINIUM
2.8310-8
0.0283
35.3 106
35.3
1210-8
0.12
8.33 106
8.33
11.1 10-8
0.111
9 106
9
MANGANIN
44 10-8
0.44
2.3 106
2.3
KONSTANTAN
48 10-8
0.48
2.1 106
2.1
1.1
0.91 106
0.91
0.63
15.9 106
15.9
CYNA
PLATYNA
CHROMONIKIELINA 110 10-8
CYNK
6.3 10-8
OE1 2014
60
Parametry rezystorów
• Rezystancja znamionowa  wskaźnik wartości rezystancji.
Podawana z największym dopuszczalnym odchyleniem rezystancji
rzeczywistej od rezystancji znamionowej. (Dopuszczalne odchyłki
zawarte w przedziale 0,1 – 20 %)
• Moc znamionowa  największa dopuszczalna moc możliwa do
wydzielenia w rezystorze. Moc ta jest zależna od powierzchni
rezystora, sposobu
odprowadzenia
ciepła,
maksymalnej
dopuszczalnej temperatury pracy i temperatury otoczenia.
• Napięcie znamionowe  największe dopuszczalnym napięciem,
które może być przyłożone do rezystora bez zmiany jego
właściwości (bez jego uszkodzenia). Typowe wartości
znamionowe: od kilkudziesięciu do kilkuset woltów.
OE1 2014
61
Rodzaje rezystorów
OPORNIKI
(REZYSTORY)
Drutowe
LINIOWE
STAŁE
Inne
(niedrutowe)
NIELINIOWE
REGULOWANE
POTENCJOMETRY
LINIOWE
NIELINIOWE
STAŁE
REGULOWNE
DEKADOWE
WARSTWOWE
Nieorganiczne
TERMISTORY
WARYSTORY
FOTOREZYSTORY
MAGNETOREZYSTORY
OBJĘTOŚCIOWE
Organiczne
OE1 2014
62
Rezystory (cd)
• Drutowe: z przewodu cylindrycznego lub
taśmowego nawiniętego na korpusie ceramicznym
• Warstwowe: elementem oporowym jest cienka
warstwa przewodząca (węglowa lub metalowa)
nałożona na nieprzewodzącą część konstrukcyjną
• Objętościowe (masowe): przewodzą prąd całym
przekrojem.
OE1 2014
63
Przykład: 4K74700 (węglowy)
Pasek 1, pole #
Pasek 2, pole #
•
•
•
•
PASEK 1: żółty  4..............4
PASEK 2: fiolet 7...............7
PASEK 3: czerwony 2.......00
PASEK 4: złoty 5%(tol.) 4700 
Pasek 3, mnożnik (ile zer?)
Pasek 4, tolerancja w %
OE1 2014
64
Przykład kodu wartości




1-szy pasek: pomarańczowy = 3
2-gi pasek: pomarańczowy = 3
3-i pasek: czerwony = 2 ( 102)
4-ty pasek: czerwony = 2%
33 x 102 = 3300 = 3.3 k
OE1 2014
65
Oporniki nieliniowe: rezystancja statyczna
u
u
uA
RS 

 k  tg
i A iA
uA
Proporcjonalna
do tangensa
nachylenia
siecznej w danym
punkcie

iA
OE1 2014
i
66
Oporniki nieliniowe: rezystancja dynamiczna
u
u du
RD  lim

 k  tg
i 0 i
di A
i
uA
u
Proporcjonalna
do tangensa
nachylenia
stycznej w danym
punkcie

iA
OE1 2014
i
67
Oporniki nieliniowe uzależnione napięciowo i prądowo
• Opornik, dla którego
u jest jednoznaczną
funkcją prądu i dla
i(-;+ )
nazywamy
uzależnionym
prądowo.
• Opornik, dla którego
i jest jednoznaczną
funkcją napięcia u
dla u(-;+ )
nazywamy
uzależnionym
napięciowo.
termistor
Dioda tunelowa
OE1 2014
68
Oporniki nieliniowe nieuzależnione
• Opornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla
i(-;+ ) oraz dla i jest jednoznaczną funkcją napięcia u
dla u(-;+ ) nazywamy nieuzależnionym.
Żarówka z
włóknem
wolframowym
OE1 2014
69
Charakterystyki elementów nieliniowych:
OE1 2014
70
Cewka
i
indukcyjność
 t   L it 
gdy
L  const .
L
u
Strumień magnetyczny
przenikający przez uzwojenie
jest proporcjonalny do prądu
charakterystyka
strumieniowo-prądowa
cewki liniowej
jest linią prostą
przechodzącą przez
OE1 2014
początek układu współrzędnych.

  Li
i
71
L - indukcyjność cewki
1L  1H
d
di
u t  
L
dt
dt
Dla cewki, która ma z zwojów wprowadzamy pojęcie
„strumień skojarzony” z uzwojeniem:
  z
d
u t  
dt
OE1 2014
72
C
Kondensator
i
pojemność
qt   C ut 
gdy
C  const .
u
Ładunek elektryczny
na okładkach kondensatora
jest proporcjonalny do napięcia
q
charakterystyka
napięciowo-ładunkowa
kondensatora liniowego
jest linią prostą
przechodzącą przez
q  Cu
u
OE1 2014
73
C - pojemność kondensatora
1C   1F
dq
du
i t  
C
dt
dt
OE1 2014
74
Elementy pasywne i aktywne obwodów
Element pasywny pobiera energię
Element aktywny dostarcza ją do obwodu
t
w(t )   u( ) i( ) d
0
pasywny
w(t )   u( ) i( ) d
0
aktywny

t

OE1 2014
75
Źródła napięciowe
• Źródłem napięciowym jest dwukońcówkowy
element posiadający na swoich zaciskach zadane
napięcie uz(t) niezależne od wartości prądu
płynącego przez źródło.
• Symbole:
uZ ,U Z , E
uZ t 
OE1 2014
76
Źródła napięciowe (idealne): charakterystyki
u
uZ t1 
uZ ,U Z , E
0
i
uZ t2 
OE1 2014
77
Rzeczywiste źródło napięciowe
Symbole:
uZ t 
uZ ,U Z , E
RZ , RW
RZ , RW
OE1 2014
78
Stany pracy źródła napięciowego
Obciążenie:
uZ
u
RZ
obciążenie
i
u  uZ  RZ  i
OE1 2014
79
Charakterystyka napięciowo-prądowa źródła napięciowego
(rzeczywistego)
u
uZ
u  uZ  RZ  i
Stan
jałowy
uZ
RZ
0
Stan
zwarcia
OE1 2014
i
80
Stany pracy źródła napięciowego (cd)
Stan jałowy(rozwarcie)
uZ
Zwarcie
i0 u
Z
u  uZ
RZ
RZ
OE1 2014
u0
uZ
i
RZ
81
Dopasowanie odbiornika do źródła
i
Prąd w obwodzie:
uZ
i
RZ  R
uZ
u
RZ
R
Moc odbiornika:
2
uZ
P( R ) 
2 R
RZ  R 
OE1 2014
82
Dopasowanie odbiornika do źródła (cd)
2
uZ
P( R ) 
2 R
RZ  R 
P R  u Z

R
2
P( R  ?)  PMAX
R
Z
P R 

0
R
 R   2 RZ  R R 
4
RZ  R 
2
RZ  RRZ  R  0  R  RZ
Można wykazać, że jest to maksimum (bo dla
R>RZ pochodna zmienia znak z + na -)
OE1 2014
Warunek dopasowania
odbiornika do źródła
83
Przykładowy wykres mocy odbiornika:
2
PMAX
42 1
 W
42 2
uz

4 RZ
uZ  2V
RZ  2
OE1 2014
R  RZ  s tan dopasowani
a
R
84
Sprawność ukladu odbiornikźródło
PR  i 2 R
i2R
R


 2

PZ R  uZ i i RZ  R  RZ  R
0.5
dopasowanie
OE1 2014
85
Źródła prądowe
• Źródłem prądowym jest dwukońcówkowy
element przez którego zaciski płynie zadany prąd
iz(t) niezależnie od wartości napięcia panującego
na jego zaciskach.
• Symbole:
• oznaczenia
iZ t ,
jZ t 
DC:
OE1 2014
iZ , jZ , I , I Z ,.....
86
Źródła prądowe (idealne): charakterystyki
u
iZ t1  0
iZ t2 
iZ , J Z ,
I ,...
i
OE1 2014
87
Rzeczywiste źródło prądu (model praktyczny)
i
i
iZ
RZ
u
iZ
RZ
u
i  0, u  iZ RZ
OE1 2014
88
Rzeczywiste źródło prądu (stan zwarcia)
i
iZ
RZ
u
i  iZ
u  0, i  iZ
OE1 2014
89
Rzeczywiste źródło prądu (obciążenie)
iR 
iZ
u
RZ
RZ
i
u
obciążenie
u
i  iZ 
RZ
OE1 2014
90
Charakterystyka u-i źródła prądowego
i
iZ
1
i  iZ 
u
RZ
Stan
zwarcia
RiZ
0
u
Stan
jałowy
OE1 2014
91
Źródła zależne (sterowane)
• Źródło napięcia sterowane
prądem
i
iS
u  f R iS 
i
u  f R iS 
Prąd
sterujący
u   R iS
Przypadek liniowy
Model czwórnikowy
OE1 2014
92
Źródła zależne (sterowane)
• Źródło napięcia sterowane
napięciem
i
i
u  f u S 
u  f u S 
napięcie
sterujące
uS
u  u S
Przypadek liniowy
Model czwórnikowy
OE1 2014
93
Źródła zależne (sterowane)
• Źródło prądu sterowane
prądem
u
iS
i  g iS 
i  g iS 
Prąd
sterujący
u
i  iS
Przypadek liniowy
Model czwórnikowy
OE1 2014
94
Źródła zależne (sterowane)
• Źródło prądu sterowane
napięciem
u
iS
i  g G u S 
napięcie
sterujące
uS
i  g G u S 
u
i   G uS
Przypadek liniowy
Model czwórnikowy
OE1 2014
95
Wzmacniacz operacyjny
i1
io
u12
u1
i2
uo
u2
OE1 2014
96
Wzmacniacz operacyjny
i1=0
io
u12
u1
i 2= 0
uo
u2
u o= f(u12)
OE1 2014
97
uo
Unas
-E
E
u 12
-Unas
OE1 2014
98
uo
Unas
u 12
-Unas
OE1 2014
99
Przykład 1
if
R
i wej
R
1
i1
io
u12
uwej
2
i2
uo
u2
OE1 2014
100
Układy równoważne (definicja)
i1
P
n
j1
u1
Q
in-1
un-1
n
v1
jn-1
vn-1
i  i1 i 2 i n1 
j   j1 j2  jn1 
u  u1 u 2 u n1 
v  v1 v2 vn1 
T
T
T
T
OE1 2014
101
• Układy P i Q nazywamy
równoważnymi, jeżeli ich opis
matematyczny jest taki sam.
Opis obwodu P
Opis obwodu Q
f P (u, i )  0
fQ ( v, j)  0
fP  fQ
OE1 2014
102
Przykład 1
i
j
uz
jz
u
Gw
v
Rw
u  u z  R wi
1
u z  jz
Gw
1
1
1
v   jz  j
 jz

j
Gw
Gw Gw
jz  u z G w
1
Rw 
2014
GOE1
w
103
Przykład 2 (gwiazda)
ˆi1
R1
R2
iˆ2
1
2
R3
uˆ1
3
iˆ3
OE1 2014
uˆ2
104
Przykład 2 (trójkąt)
i1
R12
i2
1
2
R23
R31
u1
u2
i3
3
OE1 2014
105
trójkąt  gwiazda
• Porównując równania opisujące oba układy
otrzymuje się zależności:
R12 R31
R1 
R12  R23  R31
R23 R12
R2 
R12  R23  R31
R31R23
R3 
R12  R23  R31
OE1 2014
106
Gwiazda trójkąt
• Podobnie, rozwiązując poprzednie zależności
względem R12,R23,R31 otrzymamy:
R1 R2
R12  R1  R2 
R3
R2 R3
R23  R2  R3 
R1
R3 R1
R31  R3  R1 
R2
OE1 2014
107
Obliczanie prostych obwodów
• Połączenie szeregowe oporników liniowych
• Połączenie szeregowe elementów nieliniowych
(charakterystyka wypadkowa)
• Połączenie równoległe oporników liniowych.
• Połączenie równoległe oporników nieliniowych
(charakterystyka wypadkowa)
• Dzielnik prądu
• Dzielnik napięcia; układy z potencjometrem
• Układanie i rozwiązywanie równań napisanych na
podstawie PPK i NPK
OE1 2014
108
Połączenie szeregowe oporników liniowych
u  u1  u2  ...  u n
i
i1
u1
R1
i
u
R
u
in
un
Rn
in Rn
i1 R1 i2 R2
iR1 iR2
iRn
iR
R  R1  R2  ...  Rn
R
OE1 2014
n
R
i
i 1
109
Połączenie szeregowe oporników nieliniowych
i
i1
u
u1  f1 i1 
u1
i
i2
u
u2
u2  f 2 i2 
• Zadanie: znając
charakterystyki
napięciowo-prądowe
obu oporników
nieliniowych wyznaczyć
wypadkową
charakterystykę
połączenia szeregowego
tych elementów.
OE1 2014
u  f i ?
110
Charakterystyki u-i oporników
i1 ,i2
u1  f1 i1 
5
u2  f 2 i2 
1
-4
3
-1
OE1 2014
u1 ,u2
111
Dodawanie napięć (punkt i=-1)
i1 ,i2 ,i
5
u1  u1 1  u2 1
-5
Dla i=-1
-4
1
3
-1
OE1 2014
u1 ,u2 ,u
112
Dodawanie napięć (punkt i=1 oraz i=2)
i1 ,i2 ,i
5
u2  u1 2  u2 2  4
2
u1  u1 1  u2 1  3.5
1
3
-1
OE1 2014
u1 ,u2 ,u
113
Charakterystyka wypadkowa
u1  f1 i1 
i1 ,i2 ,i
5
u  f i 
2
1
3
-1
u2  f 2 i2 
u1 ,u2 ,u
3
OE1 2014
114
Podsumowanie
• Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę
elementów nieliniowych połączonych szeregowo
należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną
dokładnością) wartości prądu dodać wartości
napięć elementów składowych.
• W przypadku układów odcinkowo-liniowych
operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla
wszystkich punktów załamania charakterystyk
(+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z
segmentów zewnętrznych)
OE1 2014
115
Połączenie równoległe oporników liniowych
i
i1
u
u1
i2
in
u2
un
R
R
2
1
R
n
i
u
i  i1  i2  ...  in
R
u u
u R R
2
1
R1
1
G 
R
OE1 2014
u
Rn
n

Gi
i 1
116
Połączenie równoległe oporników
nieliniowych
i
i1
u
u1
i2
u2
i1  f1 u1 
i
u
i2
• Zadanie: znając
charakterystyki
napięciowo-prądowe
obu oporników
 f u  nieliniowych
wyznaczyć
wypadkową
charakterystykę
połączenia
równoległego tych
elementów.
2
2
i  f u ?
OE1 2014
117
Połączenie równoległe oporników nieliniowych:
i1 ,i2 ,i
i  f u 
14
i2  f u2 
i1  f1 u1 
12
10
iu A   i1 u A   i2 u A 
8
6
i A 
4
i2  A 
i1 A 
2
0
0
1
2
3
uA
OE1 2014
4
u1 ,u2 ,u
118
Podsumowanie
• Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę
elementów nieliniowych połączonych równolegle
należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną
dokładnością) wartości napięcia dodać wartości
prądów elementów składowych.
• W przypadku układów odcinkowo-liniowych
operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla
wszystkich punktów załamania charakterystyk
(+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z
segmentów zewnętrznych)
OE1 2014
119
Dzielnik prądu
• Wyznaczyć prądy połączonych równolegle
oporników jeśli znamy ich wartości oraz prąd
dopływający do połączenia:
RR
u i
i
i1
u
R1
i2
R2
OE1 2014
1
2
R1  R2
R2
i1  i
R1  R2
R1
i2  i
R1  R2
120
Dzielnik napięcia
1
i u
R1  R2
i
u
R1
R2
R1
u1  u
R1  R2
1
R2
u2  u
R1  R2
u2
OE1 2014
121
Potencjometr
i
1
R
R
u
1
i
X
X
3
R POT
R
Y
R
u
uY
R
3
POT
R
uY
Y
0
R
0
2
2
OE1 2014
122
1
i
R
u
Problem: jak ustawić położenie suwaka, aby napięcie
na dołączonym obciążeniuRO było k-krotnie mniejsze
od napięcia zasilającego potencjometr?
X
3
R
POT
R
uY
Y
2
R
0
u
i
RY RO
RX 
RY  RO
RY RO
RY RO
uY  i 
u
RY  RO
RX RY  RO   RY RO
OE1 2014
123
Z przyrównania zależności:
RY RO
uY  u
RX RY  RO   RY RO
1
uY  u
k
Oraz po uwzględnieniu: RY  RPOT  RX otrzymamy
równanie kwadratowe ze względu na Rx. Można
wykazać, że dla k=2 otrzymamy dwie wartości Rx:
1
1
2
2
RX  RPOT  RO 
RPOT  4 RO
2
2
1
1
2
2
RX  RPOT  RO 
RPOT  4 RO  RPOT
2
2
OE1 2014
124
Rozwiązywanie układów rozgałęzionych:
algorytm pisania równań PPK i NPK
I
I
1
R1
I
3
R3
2
u
R2
u
Z1
I
4
Z3
I
5
R4
u
u
7
R6
I
6
I
Liczba węzłów:
n=5
Liczba gałęzi:
b=8
Niewiadome:
Z5
i1 ,i2 ,i3 ,i4 ,
R8
i5 ,i6 ,u7 ,i8
Z7
I
8
OE1 2014
125
Jak ułożyć komplet równań liniowo
niezależnych ?
• Ustalamy zmienne obwodowe: prądy gałęziowe
(elementów rezystancyjnych i źródeł napięciowych) oraz
napięcia idealnych źródeł prądowych
• Piszemy równania PPK dla n-1 spośród n węzłów
obwodu
• Piszemy równania NPK dla b-n+1 pętli obwodu:
– Piszemy równanie dla dowolnej (pierwszej) pętli
– Piszemy równania dla kolejnych (nowych) pętli w taki sposób
aby nowa pętla zawierała co najmniej jedną zmienną
dotychczas niewykorzystaną
– Powtarzamy ten etap tak aby liczba równań wynosiła
maksymalnie b-n+1
– UWAGA: można napisać b-n+1 równań liniowo niezależnych
dla oczek (pętli nie zawierających żadnych gałęzi
wewnętrznych)
OE1 2014
126
n-1 (4) równań na podstawie PPK:
I
1
R1
I
3
Z1
I
u
Z3
I
4
5
2
R4
u
Z5
u
I
7
R6
I
 i3  i5  i8  0
R3
2
R2
u
4
I
1
i1  i2  i3  0
Z7
I
6
3
R8
i6  iZ 7  i8  0
8
 i1  i4  i6  0
OE1 2014
127
Równania napięciowe, pierwsza pętla:
I
1
R1
u
Z1
I
I
3
R3
2
u
R2
1
I
4
Z3
I
5
R4
i1R1  i2 R2  i4 R4  uZ 1  0
u
Z5
u
7
R6
I
6
I
Z7
I
R8
8
OE1 2014
128
Równania napięciowe, druga pętla:
I
I
1
R1
I
R2
u
Z1
I
4
Nowe gałęzie:
3,5
3
R3
2
u
2
Z3
I
5
R4
u
Z5
i1 R1R  i3 R3  u Z 3  u Z 5  i4 R4  u Z 1  0
u
7
6
I
6
I
Z7
I
R8
8
OE1 2014
129
Równania napięciowe, pętla trzecia:
I
I
1
R1
I
Nowe gałęzie:
6,8
3
R3
2
u
R2
u
Z1
I
Z3
I
4
3
5
R4
u
Z5
u
7
R6
I
6
I
Z7
I
R8
i1 R1  i3 R3  uZ 3 
 i8 R8  i6 R6  uZ 1  0
8
OE1 2014
130
Równania napięciowe, pętla czwarta i
ostatnia:
I
I
1
R1
I
R3
2
u
R2
u
Z1
I
4
Nowa gałąź:
7
3
Z3
I
5
R4
u
i4 R4  u7  i6 R6  0
Z5
4
u
7
R6
I
6
I
Z7
I
R8
8
OE1 2014
131
Przykład prostego obwodu z rozwiązaniem
R1
u
Z1
R1  5 , R2  10 ,
R2
R3
R3  5 ,
u
Z2
u Z 1  5V ,u Z 2  10V
• Oblicz prądy gałęziowe w układzie z powyższego
rysunku. Przyjmując, że opornik R2 jest jedynym
odbiornikiem, wyznacz sprawność układu. Potwierdź
słuszność twierdzenia Tellegena.
OE1 2014
132
i1 1 i2
i1 R1
i2 R2
R1
R2
R3
u
Z1
1
2
3
2
i3 R3
u
3
Z2
i3
 i1  i2  i3  0
 i1  i2  i3  0

 i1 R1  i3 R3  u Z 1  0  5i1  5i3  5
10i  5i  10
i2 R2  u Z 2  i3 R3  0  2
3
OE1 2014
133
 i1  i2  i3  0

 5i1  5i3  5
10i  5i  10
 2
3
 i1  i2  i3  0

i1  i3  1
2i  i  2
 2 3
+
 i2  2i3  1

2i2  i3  2
 2i2  4i3  2

2i2  i3  2 +
5i3  4
i3  0.8 A i2  2i3  1  0.6 A
i1  i3  i2  0.2 A
OE1 2014
134
PR3  i R3  0.64  5  3.2W
2
3
PW  u z1i1  u z 2i2  5  0.2  10  0.6  7W
PUŻ 3.2


 0.457
PW
7
OE1 2014
135
Weryfikacja Twierdzenia Tellegena
u1  i1R1
i1
i2
R1
u
Z1
u2  i2 R2
R2
u3  i3 R3
R3
b
u
Z2
 u kik
k 1
i3
u z1  i1   i1 R1 i1  u z 2  i2   i2 R2 i2  i3 R3 i3
 5   0.2   0.2  50.2  10   0.6 
 0.6 100.6  0.8  50.8  0
OE1 2014
136
Zasada superpozycji
Odpowiedź układu liniowego na sumę wymuszeń
działających jednocześnie jest równa
algebraicznej sumie odpowiedzi układu na poszczególne
wymuszenia działające osobno.
Zasada ta stanowi, że odpowiedź obwodu liniowego
(tzn. prąd, napięcie) na wszystkie niezależne źródła działające
jednocześnie w obwodzie, jest równa sumie odpowiedzi na
poszczególne źródła działające osobno (tzn. przy przyrównaniu
pozostałych do zera).
OE1 2014
137
Usunięcie źródła prądowego oznacza
pozostawienie jego rezystancji
wewnętrznej równej  czyli rozwarciu jego zacisków:
k
j =0
j
i
i
u
u'
kk'
kk'
k'
OE1 2014
138
Usunięcie źródła napięciowego oznacza
pozostawienie jego rezystancji
wewnętrznej równej 0 czyli zwarciu jego zacisków:
k
k
u
u=0
zi
zi
i'i
ii
k'
k'
OE1 2014
139
Przykład 1 (ogólny)
u
i
j
OE1 2014
140
u
u=0
i'
j=0
i"
j
i = i’ + i”
OE1 2014
141
k
m
k
m
i 1
i 1
i   a i jzi   bi u zi
OE1 2014
142
j
R1
u z2
z1
i
1
R2
R2
1
i1  j z1
 uz 2
R1  R2
R1  R2


a1
b1
Thev
OE1 2014
143
Zastępownie gałęzi źródłem napięcia lub
prądu
A
A
ik
ik
uk
uk
u
Obwód z wyodrębnioną
AC
k-tą gałęzią e
C
e
B
B
OE1 2014
145
A
A
ik
ik
uk
u
AC
uk
e
C
e
B
B
OE1 2014
146
A
i
k
C
uk
• Jeśli e = uk uAC = 0
• Gałąź obwodu, na
której występuje
napięcie uk można
zastąpić idealnym
źródłem napięcia o
napięciu źródłowym
e = uk
B
OE1 2014
147
Dla wyodrębnionej gałęzi z prądem ik:
A
A
ik
ik
j
uk
j
uk
B
B
OE1 2014
148
A
j= i k
B
• Jeśli j = ik
ik-j+j  j
• Gałąź obwodu,
wiodącą prąd ik
można zastąpić
idealnym źródłem
prądu
j = ik
OE1 2014
149
Włączanie i przenoszenie źródeł
Twierdzenie o włączaniu
dodatkowych źródeł
u
u
Jeżeli we wszystkich
gałęziach zbiegających się
w dowolnym węźle
umieścimy źródła napięcia
o tym samym napięciu
źródłowym i takiej
orientacji względem węzła
to rozpływ prądów w
układzie nie ulegnie
zmianie.
u
 u  u  ......
NPK nie ulega zmianie!!!
OE1 2014
151
Jeżeli w dowolnej pętli
obwodu, równolegle do
każdej gałęzi, włączymy
między kolejne węzły
źródła prądu o
jednakowym zwrocie
względem obiegu pętli i
jednakowych wartościach
to rozkład napięć w
układzie nie ulegnie
zmianie.
OE1 2014
152
Przenoszenie źródeł (1)
B
B
u BA
B
u
u
e
u
e
A
u
e
A
A
OE1 2014
153
Przenoszenie źródeł (2)
A
j
j
i
B
C
j
OE1 2014
154
A
j
j
i
B
C
j
OE1 2014
155
Twierdzenie o kompensacji
Rozpatrujemy obwód liniowy:
i
R
OE1 2014
157
i'  i  i
R
u '  i' R
R
OE1 2014
158
Po zastosowaniu twierdzenia o zastępowaniu
gałęzi źródłem napięciowym:
i'  i  i
i' R  e'
R
OE1 2014
159
i"
i
e'  i' R
R
R
i'  i  i"
i'  i  i
Z SUPERPOZYCJI
OE1 2014
i"  i
160
PONIEWAŻ
e'  i' R  iR  iR
i
i
iR
iR
e'  i' R
R
OE1 2014
R  R
R
161
Twierdzenie Thevenina-Nortona
A
L
i
 iZ
M
u
B
L
M
k 1
k 1
i   a k e k  b k jk G Z u
i  i Z  G Zu
OE1 2014
163
i  i Z  G Zu
A
i
u
iz
Gz
B
OE1 2014
164
Wyznaczanie parametrów iZ, GZ
Niech u=0, wówczas i=-iZ
A
iz
u=0
B
OE1 2014
165
Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło u,
(tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M)
L
M
i   a k e k   b k jk G Z u
k 1
1


k



i   i Z  G Zu  G Zu
0
OE1 2014
166
A
i
u
i
GZ 
u
B
OE1 2014
167
A
L
uZ
M
i
u
B
L
M
k 1
k 1
u   a k e k  b k jk R Zi
u  u Z  R Zi
OE1 2014
168
u  u Z  R Zi
A
uz
u
i
Rz
B
OE1 2014
169
Wyznaczanie parametrów uZ, RZ
Niech i=0,
A
u
i=0
B
OE1 2014
wówczas u=uZ
170
Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło i,
(tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M)
L
M
k 1
k 1
u   a k e k  b k jk R Zi
u  R Zi
0
OE1 2014
u
RZ 
i
171
Pomiarowe wyznaczanie parametrów źródeł
zastępczych
Jeśli można pomierzyć napięcie uAB na zaciskach A-B
oraz prąd zwarcia iZ=iAB płynący między zwartymi zaciskami A-B
badanego układu to:
u AB u Z
RZ 

i AB i Z
OE1 2014
172
A
iR
uz
uR
R
V
Rz
B
u ZR  u R R
RZ 
uR
uZ
uR
iR 

Rz  R R
OE1 2014
173
Podsumowanie : zastępczy dwójnik Nortona
• Kady liniowy dwójnik aktywny można przedstawić
względem wybranej pary zacisków A-B w postaci
zastępczego równoległego połączenia idealnego źródła
prądu iZ i opornika RZ (GZ).
• Prąd zastępczego źródła jest równy prądowi jaki popłynie
między zwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu
• Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji
(konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej
względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu
do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł
napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych)
OE1 2014
174
Podsumowanie : zastępczy dwójnik Thevenina
• Każdy liniowy dwójnik aktywny można przedstawić
względem wybranej pary zacisków A-B w postaci
zastępczego szeregowego połączenia idealnego źródła
napięcia uZ i opornika RZ (GZ).
• Napięcie zastępczego źródła jest równe napięciu uAB
jakie panuje między rozwartymi zaciskami A-B
rozpatrywanego obwodu
• Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji
(konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej
względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu
do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł
napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych)
OE1 2014
175
Metoda potencjałów węzłowych
Przykład 1
j6
1
R1 i i
1
2
v2
v1
R4
R2
3
2
R5
R3
i4
i3
OE1 2014
v3
i5
j7
177
Równania prądowe
i1  i4  j6  0
1
j6
 i2  i5  j6  j7  0
R1 i i
1
2
v2
v1
 i1  i2  i3  0
R4
R2
3
2
R5
R3
i4
i3
OE1 2014
v3
i5
j7
178
Zależności gałęziowe
u1 v1  v2
i1 

R1
R1
1
j6
R1 i i
1
2
u2 v2  v3
i2 

R2
R2
R2
3
2
u 3 v2
iu3R

u
R 41
25 R
R
3
3
R
v1
v3
3
u3
u4 v1 u5  v3

i 4 i4 
u

v
i
u4  v1
5
3
2 j7
iR
3
R4
4
u5  v3
i5u2  v2  v3
u1  v1  v2
R5
R5
v2
OE1 2014
179
Wstawienie zależności gałęziowych do równań
prądowych  równanie 1
i1  i4  j6  0
u1 v1  v2
i1 

R1
R1
u4 v1
i4 

R4 R4
 v11  v12  v1 1
v1  v
1..   
j6 j6
2 
R1
R42014
 R1R1 R4  OE1
180
Wstawienie zależności gałęziowych do równań
prądowych  równanie 2
 i1  i2  i3  0
u1 v1  v2
u 3 v2
u2 v2  v3
i1 

i2 

i3 

R1
R1
R2
R2
R3 R3
1v1  v2 1 v2 1 v3 1 v2
1
22. .  v1    
  v2  0 v3  0
R1 R1  R1 R22 R3 R 3 R2
OE1 2014
181
Wstawienie zależności gałęziowych do równań
prądowych  równanie 3
 i2  i5  j6  j7  0
v2  v3
i2 
R2
u5  v3
i5 

R5
R5
 v12  v3  1 v3 1 
3.  v2     j5
j7 j60 j7
v
3
 RR5 R 
RR2 2
5 
 2
OE1 2014
182
j6
1
R1 i
i2
1
Końcowy układ równań
R2
3
2
R4
v1
v2
R5
R3
i4
i3
i5
j7
v3
1
1 
1


1.   v1  v2   j6
R1
 R1 R4 
2. 
1 1
1
1 
1
v1   
 v2  v3  0
R1
R2
 R1 R2 R3 
3. 
 1
1
1 
v2    v3  j6  j7
R2
 R2 R5 
OE1 2014
183
Przykład 2
j6
1
R2
R1 i i
1
2
2
v2
R4
u3v
v

e
2
3
1
i4
3
u3
i3 R

5R ?
e3
i3
OE1 2014
v3
i5
j7
184
Przykład 2 Równania
v1  v2 v1
1
1 
1
1.
   j6 1.   v1  v2   j6
R1
R1
R4
 R1 R4 
 v1  v2 v2  v3
2.

 i3  0
R1
R2
 v2  v3  v3
3.

 j6  j7  0
R2
R5
1
1
1 
1
2.  v1    v2  v3  i3  0
R1
R2
 R1 R2 
 1
1
1 
3.  v2    v3  j6  j7
R2
 R2 R5 
4. v2  e3
OE1 2014
185
Przykład 2 równania końcowe spr.
j6
1
R1 i
i2
1
R2
3
1 1 
1
1.   v1  v2   j6
R1
 R1 R4 
2
R4
v2
i
4
v1
1 1
1
1
2.  v1    v2  v3  i3  0
R1
R2
 R1 R2 
R5
e3
i3
i5
j7
v3
 1
1
1 
3.  v2    v3  j6  j7
R2
 R2 R5 
4. v3  e3
OE1 2014
186
Przykład 2 Równania uproszczone
1
1 
1
1.   v1  v2   j6
R4
 R1 R4 
 1
1
1 
2.  v2    v3  j5  j7
R1
 R2 R5 
3. v3  e3
OE1 2014
187
Przykład 3
i6
1
e6
R1 i i
2
1
R2
3
2
2
v2
R5
R4
R3
v1
i4
i3
OE1 2014
v3
i5
j7
188
Przykład 3 Równania
v1  v2 v1
1.
  i6  0
R1
R4
1
1 
1
1.   v1  v2  i6  0
R1
 R1 R4 
 v1  v2 v2  v3 v2
2.


0
R1
R2
R3
1
1
1
1 
1


2.  v1   
 v2  v3  0
R1
R2
 R1 R2 R3 
 v2  v3  v3
3.

 i6  j7  0
R2
R5
 1
1
1 
3.  v2    v3  i6  j7
R2
 R2 R5 
4. v1  v3  e6
OE1 2014
189
Przykład 3 Równania pododaniu 1 i 3
1
1 
1
1.   v1  v2  i6  0
R4
 R1 R4 
+
 1
1
1 
3.  v2    v3  i6  j7
R1
 R2 R5 
 1
 1 1
1 
~ 1 1 
1 .   v1    v2    v3  0
 R1 R4 
 R4 R1 
 R2 R5 
1 1
1
1 
1
~


2.  v1   
 v2  v3  0
R1
R2
 R1 R2 R3 
~
3. v1  v3  e6
OE1 2014
190
Opis algorytmu
1. Wybieramy (dowolnie) jeden z a węzłów jako węzeł
odniesienia
NIEWIADOME:
Potencjały (a-1) węzłów niezależnych oraz prądy
wszystkich
idealnych źródeł napięciowych.
2. Układamy dla (a-1) węzłów (oprócz węzła
odniesienia!) równania na podstawie PPK.
3. Prądy w gałęziach zawierających oporniki oraz
napięcia sterujące i prądy sterujące (z gałęzi
konduktancyjnych) uzależniamy od napięć
węzłowych. Wstawiamy je do równań PPK z p.2
4. Komplet równań uzupełniamy poprzez uzależnienie
od napięć węzłowych napięć źródeł niezależnych i
sterowanych napięciowych
OE1 2014
191
Zależności gałęziowe  podsumowanie
vk , vl potencjały k-tego i l-tego węzła
un
l
k
i
vk
n
Rn
vl
OE1 2014
un  vk  vl
vk  vl
in 
Rn
192
Zależności gałęziowe  podsumowanie
vk , vl potencjały k-tego i l-tego węzła
vk  vl napięcie między węzłami k i l
un
l
in
k
vk
Rn
e
vl
vk  vl  e
in 
Rn
OE1 2014
193
Przykład 4
u3
1
j =g i
R1
i1
11
3
4
i5
9
8
u
Z9
i4
j10
R
j =a u
6
i3
3
i
i 7 u =b u
7
4
j
R3
2
R4
2
R2
i2
i 12
R5
u 12 =di1
5
OE1 2014
194
Zasada wzajemności
1
2
1'
2'
OE1 2014
196
TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI OCZKOWE
1
2
e
i2
1'
2'
1
2
^i
1
e
1'
2'
OE1 2014
ˆi1  i 2
197
Twierdzenie o wzajemności węzłowe
1
2
j
u
1'
2
2'
1
2
^
u
1
uˆ 1  u 2
j
1'
2'
OE1 2014
198
Twierdzenie o wzajemności hybrydowe
1
2
j
i2
1'
2'
1
2
^
u
1
1'
i 2 uˆ 1

e
j
e
2'
OE1 2014
199
1
ua
1'
ia
ib
2
1
^i
a
^i
b
2
ub ^
ua
^
ub
1'
2'
2'
OE1 2014
200
Dowód
m
u  ˆi  u ˆi   u k ˆik  0
k 1
m
uˆ i   uˆ i   uˆ k i k  0
k 1
DLA KAŻDEJ k-tej GAŁĘZI ZACHODZI:


u k ˆik  R k i k ˆik  i k R k ˆik  i k uˆ k
Czyli:
Skąd:
m
m
k 1
k 1
ˆ
u
 k ik   uˆ ki k
u  ˆi  u ˆi  uˆ  i   uˆ i 
OE1 2014
201
Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności oczkowego
u  ˆi  u ˆi  uˆ  i   uˆ i 
i 1= ia
1
2
1
0
ub = 0
i 2= ib
e=ua
1'
2'
^i = ^i
b
2
1
^
ua = 0
^ ^
i =ia
2
ˆ
ei1  ei 2
^u = e
b
1
1'
0
2'
OE1 2014
ˆi1  i 2
202
Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności węzłowego
u  ˆi  u ˆi  uˆ  i   uˆ i 
ia = -j
ia
i b = i2 =0
1
0
2
j
0
ub= u2
1'
^ =i^ =0
ia 1
2'
^i = -j
b
1
^ =u
^
u
a
1
2
u 2  uˆ 1
j
1'
u 2 ( j)  uˆ 1 ( j)
2'
OE1 2014
203
Twierdzenie o wzajemności hybrydowe - dowód
ia
1
2
ia =-j
ib= i 2
u  ˆi  u ˆi uˆ  i   uˆ i 
ub= 0
j
0
0
1'
2'
^
ia =0
2
1
^=u
^
u
a
1
1'
0  uˆ 1 ( j)  ei2
^= e
u
b
2'
OE1 2014
i 2 uˆ 1

e
j
204