Transcript i 1 - chomik.org

Obwody elektryczne I
Dr inż. Hanna Morawska
Zakład Elektrotechniki Teoretycznej
Instytut Elektrotechniki Teoretycznej,
Metrologii i Materiałoznawstwa
Tel.0 42 631 25 15
mail:
[email protected]
Konsultacje:
czwartek, godz. 13:15 - 14:30
Literatura:
1. Michał Tadeusiewicz Teoria Obwodów część I
wyd. PŁ
2. Jerzy Osiowski, Jerzy Szabatin Podstawy Teorii Obwodów tom I
wyd. WNT
3. Teoria Obwodów - zadania
pod redakcją M. Tadeusiewicza
wyd. PŁ
Podstawowe wiadomości
o obwodach elektrycznych
Elementy obwodów –
strzałkowanie prądów i napięć
i
u
Element dwukońcówkowy - dwójnik
i1
Układ
n - zaciskowy
u1
1
2
3
u2
u3
n-1
n
un-1
in
Przykład układu n - zaciskowego to czwórnik
1
U1
1’
2
Czwórnik
U2
2’
Przykład obwodu
u1
i1
B
i6
4
u4
1
u2
i4
i2
A
C
2
i3
u3
i5
5
3
D
6
u5
u6
Przykłady pętli
1
I
4
III
2
II
3
5
6
Przykłady pętli
1
4
IV
6
2
V
5
3
Pętle I, II, III nazywamy „oczkami” obwodu.
I
III
II
Wewnątrz oczek nie ma innych gałęzi.
Prawa Kirchhoffa
PPK
Dla każdego obwodu,
dla każdego jego węzła
w każdej chwili t
suma algebraiczna wszystkich prądów
w gałęziach zbiegających się w węźle
jest równa zero.
W sumie tej znak + przypisujemy
prądowi „od węzła”.
PPK
n
i

0
k
k 1
Sumowanie odbywa się po wszystkich gałęziach
w węźle. Jest ich n.
Można napisać tyle równań ile jest węzłów
A: i1 + i2 + i3 = 0
C: - i2 - i4 + i5 = 0
B: -i1 + i4 + i6 = 0
D: - i3 - i5 - i6 = 0
B
i1
i6
i4
i2
A
C
i5
i3
D
Napisaliśmy 4 równania, tzn. tyle, ile jest węzłów.
Tworzą one układ równań zależnych, gdy dodamy
je stronami otrzymamy
0=0
gdyż każdy prąd
wypływa z jednego węzła („+”)
i wpływa do innego („-”).
Piszemy zawsze

-
 1
liczba węzłów
równań prądowych
NPK
Dla każdego obwodu,
dla każdej jego pętli
w każdej chwili t
suma algebraiczna napięć gałęziowych
w rozpatrywanej pętli
jest równa zero.
W sumie tej znak + przypisujemy
napięciom zgodnym z przyjętym
kierunkiem obiegu pętli
NPK
n
u

0
k
k 1
Sumowanie odbywa się po wszystkich gałęziach
tworzących pętlę. Jest ich n.
I:
- u1 - u4 + u 2 = 0
u1
u2
I
u3
II
II: - u2 - u5 + u3 = 0
III: u4 - u6 + u5 = 0
u4
III
u5
u6
Ile równań napisaliśmy na podstawie
praw Kirchhoffa?
Z PPK
 1
równań
Przyjmijmy, że gałęzi jest b, potrzebne jest zatem
b równań – tyle , ile jest niewiadomych
prądów w gałęziach.
Z NPK
b  1
Właśnie
b    1 jest oczek w obwodzie
równań
i
Moc i energia
Moc chwilowa
Energia
p(t )  u (t ) i(t )
t
w(t )   u( ) i( ) d

Związek między mocą i energią:
dw(t )
p(t ) 
dt
t
w(t ) 
 p( ) d

u
Uwaga:
Wartości chwilowe wielkości obwodowych,
np.prądów i napięć (funkcje czasu)
oznaczamy zawsze małymi literami
np.
u(t), i(t), p(t), w(t)
Jednostki
Stosujemy jednostki podstawowe układu SI:
Jednostka napięcia
Jednostka natężenia prądu:
Jednostka oporu (rezystancji):
Jednostka mocy:
Jednostka energii:
1u   1V
1i   1A
1R 1
1 p  1W
1w  1J
Będziemy rozważać elementy SLS:
•skupione (S)
•liniowe (L)
•stacjonarne (S)
Opornik
R
i
Rezystor
ut   R i t 
u
Jest to prawo Ohma
gdy
R  const .
charakterystyka
prądowo-napięciowa
opornika liniowego jest linią prostą
przechodzącą przez
początek układu współrzędnych.
u(t)
u  Ri
i(t)
Wprowadzimy pojęcie konduktancji (przewodności)
1
G
R
1
u t   i t 
G
it   G ut 
Jednostką konduktancji jest 1 simens
1G   1S
Cewka
i
indukcyjność
 t   L it 
gdy
L  const .
L
u
Strumień magnetyczny
przenikający przez uzwojenie
jest proporcjonalny do prądu
charakterystyka
strumieniowo-prądowa
cewki liniowej
jest linią prostą
przechodzącą przez
początek układu współrzędnych.

  Li
i
L - indukcyjność cewki
1L  1H
d
di
u t  
L
dt
dt
Dla cewki, która ma z zwojów wprowadzamy pojęcie
„strumień skojarzony” z uzwojeniem:
  z
d
u t  
dt
C
Kondensator
i
pojemność
qt   C ut 
gdy
C  const .
u
Ładunek elektryczny
na okładkach kondensatora
jest proporcjonalny do napięcia
q
charakterystyka
napięciowo-ładunkowa
kondensatora liniowego
jest linią prostą
przechodzącą przez
początek układu współrzędnych.
q  Cu
u
C - pojemność kondensatora
1C   1F
dq
du
i t  
C
dt
dt
i
Moc i energia
Moc chwilowa
Energia
p(t )  u (t ) i(t )
t
w(t )   u( ) i( ) d

Związek między mocą i energią:
dw(t )
p(t ) 
dt
t
w(t ) 
 p( ) d

u
Elementy pasywne i aktywne obwodów
Element pasywny pobiera energię
Element aktywny dostarcza ją do obwodu
t
w(t )   u( ) i( ) d
0
pasywny
w(t )   u( ) i( ) d
0
aktywny

t

Źródła niezależne:
a) źródła napięcia
Idealne:
rzeczywiste:
A
uAB=E
E
B
A
E
uAB
Rw
B
Charakterystyki źródeł:
Źródło idealne napięcia stałego
u
E
E
i
Źródło rzeczywiste napięcia stałego
u  E  Rwi
E
u
i
u
E
Rw
i
E
Rw
b) źródła prądu
idealne:
rzeczywiste:
A
J
uAB
B
A
J
Gw
B
uAB
Źródło idealne prądu stałego
u
J
J
i
Źródło rzeczywiste prądu stałego
i
iw
J
Gw
1
u  iw Rw  iw

Gw
1
J
1


i
u  J  i 
Gw Gw Gw
J
Gw
u  E  Rwi
u
J
i
Połączenia oporników
a. Połączenie szeregowe:
i
R1
R2
U1
U2
Rn
Un
U
U  U1  U 2      U n  i R1  i R2      i Rn 
 iR1  R2      Rn 
n
U
Rz    Rk
i k 1
W połączeniu szeregowym
rezystancje oporników dodają się
n
U
Rz    Rk
i k 1
Dzielnik napięcia
i
R1
U1
U
U
i
R1  R2
R1
U1  i R1  U
R1  R2
R2
U2
R2
U 2  i R2  U
R1  R2
b. Połączenie równoległe:
i
i1
i2
R1
R2
u
 1
1 
i  u   
 R1 R2 
u  i1 R1
u
i1 
R1
u  i2 R2
u
i2 
R2
i  i1  i2
1
i
1
1
  
Rz u R1 R2
W połączeniu równoległym
odwrotności rezystancji oporników dodają się
n
1
1

Rz k 1 Rk
Dla dwóch oporników otrzymamy:
R1 R2
Rz 
R1  R2
gdy
R1  R2  R 
1
Rz  R
2
Dzielnik prądu
i
i1
R1
i2
u
R2
R2
i1  i
R1  R2
Jaka część prądu i popłynie przez R1,
a jaka przez R2?
i1 R1  i2 R2
i  i1  i2
R1
i2  i
R1  R2
R1  12
Przykład:
i
i1 R1
i2
R2  6
i  9A
6 12
Rz 
 4
6  12
R2
R2
6
1
i1  i
9
 9   3A
R1  R2
12  6
3
R1
12
2
i2  i
9
 9  6A
R1  R2
12  6
3
u  i1R1  3 12  36V
u  i2 R2  6  6  36V
u  i Rz  9  4  36V
Zasada superpozycji
Odpowiedź układu liniowego
na sumę wymuszeń
równa się sumie odpowiedzi na poszczególne
wymuszenia działające z osobna.
x1
x2
x3
y1
y2
y3
UL
y
y=Ax
y1+y2
y2
y1
x1
x2
x1+x2
x
Dlaczego superpozycji nie można stosować
do układów nieliniowych:
y
y=f(x)
y=y1+y2
y2
y1
x1
x2
x1+x2
x
W obwodzie działają dwa źródła napięcia e1 i e2.
Celem jest obliczenie napięcia uAB metodą
superpozycji.
i1
A
i3
i2
e1
e2
R3
R1
R2
B
uAB
Pierwszy etap superpozycji - pozostawiamy w
obwodzie tylko źródło e1, a źródło e2 zwieramy:
i1 ’
A
i2’
i3’
e1
R3
R1
R2
B
uAB’
R2 R3
Rz 
 R1
R2  R3
i1’=
e1
Rz
' R2 R3
u AB '  i1
R2  R3
Drugi etap superpozycji - pozostawiamy w
obwodzie tylko źródło e2, a e1 zwieramy:
i1’’
A
i2’’
e2
R1
R2
B
i3’’
R3
Rz''
uAB”
R1 R3

 R2
R1  R3
'' e2
i2  ''
Rz
R1R3
u AB ' '  i
R1  R3
''
2
' R2 R3
u AB '  i1
R2  R3
R1R3
u AB ' '  i
R1  R3
''
2
u AB  u AB  u AB
'
''