Transcript Wykład 1a

Literatura
●
●
●
●
J. Osiowski, J. Szabatin, Podstawy teorii obwodów, tom I-III, 1992
M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna, tom I – Obwody
liniowe i nieliniowe
M. Tadeusiewicz, Teoria obwodów, część I, Politechnika Łódzka,
2000
S. Bolkowski, Teoria obwodów elektrycznych, WNT, W-wa 1995
Zadania
●
●
S. Bolkowski. W. Brociek, H. Rawa, Teoria obwodów elektrycznych.
Zadania, WNT, W-wa 1995
E. Gierczak, J. Suchański, Zbiór zadań z elektrotechniki
teoretycznej, Politechnika Świętokrzyska, 1977 – dostępny online
Sygnał
Sygnał to jakiś znak służący do przekazywania
informacji.
Sygnał to zmieniająca się wartość jakiejś wielkości
fizycznej.
Sygnał elektryczny
jest to fala napięcia lub prądu rozchodząca się ze
źródła wzdłuż pewnych kierunków zwanych
promieniami fali.
Sygnał = funkcja lub wykres
Sygnały elektryczne
u (t)
u(t)= At+ B
t
u (t)
u(t)= A
t
u (t)
u(t)= Asin(ωt+ ϕ)
t
Sygnały
Funkcję sygnału przedstawiamy zazwyczaj jako:
●
●
Funkcję współrzędnych przestrzennych dla
ustalonego czasu - rozkład napięcia lub prądu
Funkcję czasu w określonym punkcie przestrzeni
●
przebieg napięcia – u(t)
●
prądu - i(t)
Sygnały
Pobudzenie
sygnał stanowiący zewnętrzną przyczynę zjawisk
występujących w obwodzie
Odpowiedź
sygnał będący reakcją obwodu na wymuszenie
Na układ może działać jedno lub wiele wymuszeń, a
badanie reakcji może dotyczyć jednego lub wielu
odpowiedzi.
W obwodach elektrycznych wymuszeniem jest prąd lub
napięcie źródłowe, odpowiedziami są prądy lub
napięcia powstałe w gałęziach lub elementach.
Klasyfikacja sygnałów wg zależności
funkcji sygnału od czasu
Sygnały
Sygnały przemienne
Sygnały tętniące
Sygnały harmoniczne
Sygnały nieokresowe
Sygnały przyczynowe i nieprzyczynowe
Wielkości charakterystyczne sygnałów
okresowych
●
Wartość chwilowa f
●
Wartość maksymalna Fm
●
Wartość średnia półokresowa, średnia
wyprostowana T / 2
T
F śrp =
●
2
T
∫
0
1
∣ f t ∣ dt
∫
T 0
Wartość średnia okresowa
F śr =
●
f tdt =
1
T
Wartość skuteczna
F sk =
√
1
T
t 0 T
∫
f t dt
t0
t 0+ T
∫
t0
f (t)⋅f * (t) dt=
√
1
T
t 0+ T
∫ ∣ f (t )2∣ dt
t0
Wielkości charakterystyczne sygnałów
okresowych
u (t)
f (t 1 )
t1
A
t2
Fm
t
−A
f (t 2 )
A
∣ f (t)∣
t
−A
T
T
1
1
F śrp= ∫ Adt = ∗A∗T = A
2 0
T
Wielkości charakterystyczne sygnałów
okresowych
u (t)
A
+P
−P
−A
T
T
2
T
P=∫ A dt = A∗
2
0
t
T
−P=∫ −A dt=−A∗
T
2
1
F śr = (+ P −P )=0
T
F sk =
√
1
T
t0+ T
∫ ∣ f (t )2∣ dt=
t0
√
1
∗A2∗T = A
T
T
2
Wartość skuteczna
u (t)
A
t
T
Wartości ...
●
Współczynnik szczytu
Fm
k a=
F sk
●
Współczynnik kształtu
F sk
kk=
F śrp
●
Współczynnik uśrednienia
Fm
k u=
F śr
Podstawowe pojęcia elektrotechniki
E le k t r o t e c h n ik a je s t d z ia łe m n a u k i z a jm u ją c e j s ię p o d s t a w a m i te o r e t y c z n y m i
i z a s t o s o w a n ie m z ja w is k f iz y c z n y c h z d z ie d z in y e le k t r y c z n o ś c i.
N o ś n ik a m i e le k t r y c z n o ś c i s ą c z ą s tk i e le m e n ta r n e z n a jd u ją c e s ię
w a to m ie : e le k tr o n y i p r o to n y
Ł a d u n e k e le k t r y c z n y q s t a n o w i p e w n a o k r e ś lo n a lic z b a ła d u n k ó w e le m e n t a r n y c h
e d o d a t n ic h lu b u je m n y c h
Ł a d u n e k e le k tr y c z n y e le k tr o n u
e = 1 , 6 0 2 1 0 -1 9 C
J e d n o s tk ą ła d u n k u je s t k u lo m b ( C ) .
Podstawowe pojęcia
P r ą d e l e k t r y c z n y : u p o r z ą d k o w a n y r u c h ła d u n k ó w e l e k t r y c z n y c h .
W t e o r i i o b w o d ó w j e s t u t o ż s a m ia n y z n a t ę ż e n i e m p r ą d u e l e k t r y c z n e g o i
q dq
i  lim

t 0
t
dt
P r ą d e le k tr y c z n y je s t to g r a n ic a s to s u n k u ła d u n k u q , p r z e n o s z o n e g o p r z e z
c z ą s t k i n a ła d o w a n e w c ią g u p e w n e g o c z a s u t p o p r z e z d a n y p r z e k r ó j p o p r z e c z n y
ś r o d o w is k a , d o r o z p a tr y w a n e g o c z a s u , g d y c z a s te n d ą ż y d o z e r a .
P r ą d e le k tr y c z n y je s t w ie lk o ś c ią s k a la r n ą .
J e d n o s tk ą p r ą d u e le k tr y c z n e g o je s t a m p e r ( 1 A = 1 C /s ) .
Podstawowe pojęcia
N a t ę ż e n i e p o l a e l e k t r y c z n e g o j e s t w ie lk o ś c ią w e k t o r o w ą r ó w n ą g r a n i c y
s t o s u n k u s i ł y z j a k ą p o l e e l e k t r y c z n e d z i a ł a n a n i e r u c h o m y ła d u n e k p u n k t o w y
w p r o w a d z o n y d o r o z p a t r y w a n e g o p u n k t u , d o w a r t o ś c i t e g o ł a d u n k u , je ż e l i
ła d u n e k te n d ą ż y d o z e r a


F
E  lim
q 0 q
Z w r o t w e k t o r a n a t ę ż e n i a p o l a e l e k t r y c z n e g o j e s t z g o d n y z e z w r o t e m s ił y
d z ia ła ją c e j n a ła d u n e k p u n k t o w y d o d a tn i.
J e d n o s t k ą n a t ę ż e n i a p o la e l e k t r y c z n e g o j e s t w o lt n a m e t r ( V / m ) .
Podstawowe pojęcia

J e ż e li w p e w n y m ś r o d o w is k u d z ia ła n a tę ż e n ie p o la e le k t r y c z n e g o E , t o c a łk a lin io w a
w e k t o r a n a t ę ż e n ia p o la w z d łu ż d r o g i A B je s t r ó w n a r ó ż n ic y p o t e n c ja ł ó w e l e k t r y c z n y c h
w p u n k t a c h A i B , c z y li
A 
B


 E d l
AB
N a p i ę c ie e l e k t r y c z n e je s t r ó ż n ic ą p o t e n c ja łó w m ię d z y d w o m a p u n k t a m i ś r o d o w is k a
p rz e w o d z ą c e g o
u
A B
 
A
 
B
J e d n o s t k ą n a p ię c ia e le k tr y c z n e g o je s t w o lt ( 1 V ) .
J e ż e li n a e le m e n t p r z e w o d z ą c y d z ia ła z m ie n n y s t r u m ie ń m a g n e t y c z n y
t y m in d u k u je s ię n a p ię c ie ) .
d
u 
dt
Jednostką strumienia magnetycznego jest weber (1 Wb)
, t o w e le m e n c ie
Podstawowe pojęcia
Z a ł ó ż m y , ż e w e l e m e n t a r n y m c z a s i e d t p o d w p ł y w e m n a p ię c i a u , p r z e z d o w o l n y
e l e m e n t p r z e w o d z ą c y p r z e m i e ś c i s i ę ła d u n e k e l e m e n t a r n y d q . E l e m e n t a r n a p r a c a
w y k o n a n a p r z e z s i ły p o la d W l u b e l e m e n t a r n a e n e r g ia d o s t a r c z o n a d o o d b i o r n ik a
w y n ie s i e :
dW  u dq  u idt
J e d n o s t k ą e n e r g ii e le k tr y c z n e j je s t d ż u l ( 1 J ) . W p r a k t y c e u ż y w a s ię p o n a d t o
je d n o s t e k p o k r e w n y c h : 1 W h , 1 k W h .
P o c h o d n a e n e r g ii e l e k t r y c z n e j w z g l ę d e m c z a s u , b ę d ą c a m i a r ą s z y b k o ś c i z j a k ą
e n e r g ia t a j e s t d o s t a r c z a n a d o r o z p a t r y w a n e g o o d b i o r n i k a w d a n e j c h w i l i, j e s t
n a z y w a n a m o c ą c h w ilo w ą .
dW
p 
 ui
dt
Podstawowe pojęcia
E l e m e n t o b w o d u e l e k t r y c z n e g o j e s t c z ę ś c ią s k ł a d o w ą o b w o d u e l e k t r y c z n e g o
n i e p o d z ie ln ą p o d w z g lę d e m f u n k c j o n a l n y m b e z u t r a t y s w y c h w ła s n o ś c i
c h a ra k te ry s ty c z n y c h .
O c z k o to z b ió r p o łą c z o n y c h z e s o b ą e le m e n t ó w t w o r z ą c y c h z a m k n ię tą d r o g ę d la
p r z e p ł y w u p r ą d u e l e k t r y c z n e g o . P o u s u n i ę c iu k t ó r e g o k o l w i e k e l e m e n t u z b i o r u
p o z o s t a łe e l e m e n t y n i e t w o r z ą d r o g i z a m k n i ę t e j.
G a ł ą ź je s t t w o r z o n a p r z e z je d e n l u b k i l k a e l e m e n t ó w p o ł ą c z o n y c h z e s o b ą
W ę z e ł o b w o d u t o z a c is k , d o k t ó r e g o m o ż e b y ć d o ł ą c z o n a je d n a l u b k i l k a g a ł ę z i
O b w ó d e l e k t r y c z n y t w o r z ą e le m e n t y p o łą c z o n e z e s o b ą w t a k i s p o s ó b , ż e i s t n i e j e
c o n a j m n ie j j e d n a d r o g a z a m k n i ę t a u m o ż l i w i a j ą c a p r z e p ł y w p r ą d u
S c h e m a t je s t o d w z o r o w a n ie m g r a fic z n y m o b w o d u , w k tó r y m p o d a n o s p o s ó b
p o ł ą c z e n i a e le m e n t ó w , a e l e m e n t y s ą p r z e d s t a w i o n e z a p o m o c ą s y m b o l i g r a f i c z n y c h
Modelowanie zjawisk w obwodach
W celu analizy stanu obwodu należy zamodelować
zachodzące zjawiska w jego elementach.
Założenie wstępne – warunek quasistacjonarności
stanu obwodu
Modelowanie zjawisk w obwodach
Modelowanie zjawisk w obwodzie
Jakie zjawiska występujące w obwodzie będą
modelowane?
●
●
●
●
Gromadzenie ładunku elektrycznego na przewodnikach
umieszczonych w polu elektrycznym - C
Wytwarzanie pola magnetycznego przez prąd
elektryczny przewodnika - L
Rozpraszanie energii elektrycznej w przewodniku z
prądem - R,
Powstawanie pola elektrycznego w danym układzie
kosztem zewnętrznych zasobów energii.
Każdemu ze zjawisk odpowiadają określone parametry
pierwotne obwodu elektrycznego.
Modelowane elementy obwodu
Wymienione zjawiska występują w każdym przewodniku,
jednakże ich skala może być znikoma.
Obwody składają się z odpowiednio zbudowanych elementów
przewodzących, w których efekt jednego ze zjawisk jest
dominujący, a pozostałe można pominąć.
Tego typu elementy to najbardziej elementarne składowe
obwodów elektrycznych:
●
opornik
●
kondensator
●
cewka
●
źrodło napięciowe lub prądowe
Kategorie elementów
Idealne – model uwzględnia tylko jedno zjawisko,
pozostałe są pomijane
Liniowe – modelowane równaniem liniowym lub
różniczkowym
Nieliniowe – modelowane równaniem nieliniowym
Stacjonarne – parametry modelu nie są funkcją czasu
Niestacjonarne – parametry modelu są funkcją czasu
Elementy o parametrach skupionych – parametry
modelu nie są funkcją przestrzenną (nie uwzględniamy
rozmiarów elementu)
Elementy o parametrach rozłożonych – parametry
modelu są funkcją przestrzenną.
Kategorie elementów
Element odwracalny – struktura modelu nie zależy od
znaku wielkości, które ze sobą wiąże (nie jest istotna
biegunowość włączenia elementu w obwodzie).
Element nieodwracalny – model elementu uzależniony
jest od znaku wiążącej wielkości (istotna biegunowość)
Kategorie elementów
E le m e n t y m a ją c e z d o ln o ś ć a k u m u la c ji lu b r o z p r a s z a n ia e n e r g ii t w o r z ą k la s ę
e le m e n tó w p a s y w n y c h . E le m e n t y p a s y w n e , w k tó r y c h z a c h o d z i p r o c e s p r z e m ia n y
e n e r g ii e le k t r y c z n e j n a in n y r o d z a j e n e r g ii n a z y w a m y e le m e n ta m i r o z p r a s z a ją c y m i
( d y s s y p a ty w n y m i) . P r z y k ła d e m t a k ie g o e le m e n tu je s t r e z y s t o r ( o p o r n ik ) , w k tó r y m
e n e r g ia e le k t r y c z n a p r z e m ie n ia s ię w e n e r g ię c ie p ln ą .
E le m e n t y p a s y w n e , k t ó r e c h a r a k t e r y z u ją s ię z d o ln o ś c ią g r o m a d z e n ia ( a k u m u la c ji)
e n e r g ii n a z y w a m y e le m e n t a m i z a c h o w a w c z y m i lu b k o n s e r w a t y w n y m i. P r z y k ła d a m i
t a k ic h e le m e n tó w s ą : k o n d e n s a t o r , w k t ó r y m g r o m a d z i s ię e n e r g ia w p o lu
e le k t r y c z n y m o r a z c e w k a , w k t ó r e j g r o m a d z i s ię e n e r g ia w p o lu m a g n e ty c z n y m .
Element obwodu elektrycznego jest pasywny wtedy i tylko wtedy gdy spełnia dwa warunki:
1)
Całkowita energia elektryczna doprowadzona do elementu w czasie od  do t
jest nieujemna dla dowolnego charakteru napięcia na jego zaciskach i prądu w tym
elemencie
●
Do chwili doprowadzenia napięcia do zacisków elementu prąd w nim nie płynie i na jego
zaciskach nie ma napięcia przed doprowadzeniem prądu
Kondensator
a)
b)
q
C
u
K o n d e n s a t o r lin io w y : a ) s y m b o l g r a f ic z n y k o n d e n s a t o r a , b ) c h a r a k t e r y s t y k a ła d u n k u w f u n k c ji n a p ię c ia
K o n d e n s a t o r je s t d w ó jn ik ie m p a s y w n y m z a c h o w a w c z y m , z d o ln y m d o g r o m a d z e n ia e n e r g ii
w p o lu e le k t r y c z n y m . P r z y p is u je m u s ię je d n ą w ła s n o ś ć , ja k ą je s t p o je m n o ś ć C , w y r a ż o n ą
s to s u n k ie m ła d u n k u q z g r o m a d z o n e g o n a je d n e j z o k ła d e k k o n d e n s a to r a d o n a p ię c ia
p o m ię d z y o k ła d z in a m i
q
C
u
Zależność wiążącą napięcie z prądem kondensatora przedstawia równanie
iC
du
dt
Jednostką pojemności jest farad ( 1 F = 1 C/V )
Jeśli stosunek ładunku q zgromadzonego na okładzinie kondensatora do napięcia u na jego
zaciskach pozostaje stały, to zależność q ( u ) jest liniowa.
Cewka
a)

b)
L
i
a) symbol graficzny cewki,
b) charakterystyka napięciowo- prądowa cewki liniowej
C e w k a , z w a n a r ó w n ie ż in d u k t o r e m , je s t d w ó jn ik ie m p a s y w n y m z a c h o w a w c z y m z d o ln y m
d o g r o m a d z e n ia e n e r g ii w p o lu m a g n e t y c z n y m . P r z y p is u je s ię je j w ła s n o ś ć ja k ą je s t
in d u k c y jn o ś ć w ła s n a L w y r a ż o n a s t o s u n k ie m s t r u m ie n ia s k o ja r z o n e g o
z cew ką do
p r ą d u i p ły n ą c e g o p r z e z c e w k ę
L=

i
Strumień skojarzony  cewki o z zwojach jest równy sumie strumieni wszystkich zwojów cewki
=z
Cewkę opisuje równanie
uL
di
dt
Jednostką indukcyjności jest 1 henr ( 1 H = 1 s = 1 Vs/A ).
Rezystor
b)
a)
u
R
a ) s y m b o l g r a fic z n y r e z y s to r a ,
i
b ) c h a r a k t e r y s t y k a p r ą d o w o - n a p ię c io w a r e z y s t o r a lin io w e g o
Z g o d n ie z p r a w e m O h m a n a p ię c ie u o r a z p r ą d i n a r e z y s ta n c ji s ą z w ią z a n e
r ó w n a n ie m a lg e b r a ic z n y m
u  Ri
i  Gu
R – rezystancja,
G = 1/R – konduktancja
J e d n o s t k ą r e z y s t a n c ji je s t o m ( 1  = 1 V /A ) , a k o n d u k ta n c ji s ie m e n s ( 1 S = 1 A / V ) )
R e z y s t o r , z w a n y r ó w n ie ż o p o r n ik ie m , je s t d w ó jn ik ie m p a s y w n y m r o z p r a s z a ją c y m ,
w k t ó r y m z a c h o d z i p r o c e s z a m ia n y e n e r g ii e le k t r y c z n e j n a c ie p ln ą . P r z y p is u je s ię
m u je d n ą t y lk o w ła s n o ś ć z w a n ą r e z y s ta n c ją lu b o p o r e m e le k tr y c z n y m .
Wartość rezystancji rezystora liniowego przyjmuje wartość stałą. W praktyce opornik jest wykonywany często z drutu
metalowego o długości l , polu przekroju poprzecznego S i rezystancji właściwej  . Rezystancja takiego opornika
jest wprost proporcjonalna do l i  a odwrotnie proporcjonalna do S
Elementy aktywne
Energia całkowita W pobrana przez element aktywny jest
ujemna
W<0
Elementy aktywne, których cechą dominującą jest
dostarczanie energii, nazywamy elementami aktywnymi
źródłowymi ( źródłami ).
Źródła dzielimy na:
 źródła niesterowane
 źródła sterowane
Podstawowe prawa
Prawo Omha dotyczące grupy przewodników (metali)
przy ustalonych warunkach (temperatura):
i=Gu
1
G= , konduktancja
R
u
i=
R
u
i
R
Podstawowe prawa – I prawo
Kirchhoffa
Przy dowolnym charakterze zmienności prądów algebraiczna suma ich wartości
chwilowych w węźle obwodu elektrycznego, jest równa zeru.
i2
i3
N
∑ i k =0
k =1
i1
i 1i 2−i 3=0
Podstawowe prawa – II prawo
Kirchohoffa
Przy dowolnym charakterze zmienności napięć, algebraiczna suma wartości
chwilowych napięć źródłowych i odbiornikowych w oczku równa się zeru.
K
L
k =1
l=1
∑ e k ∑ ul =0
u 1−u 2 −e−u 3u 4=0
Przykład
i
e1
1
R
UR
UC
L
i
UL
3
C
i
2
e2
i 1i 2−i 3=0
e1 −u R−u C =0
u C u L −e 2=0
e1−u Ru L −e 2=0
Proste obwody rezystancyjne
Połączenie szeregowe
u1
u
i
R1
u2
un
R2
Rn
u=u1u 2 ..u n=i R1i R 2..i Rn =i  R1 R2 ..Rn =i R z
n
R z =∑ Ri
i=1
Połączenie równoległe
...
i
i1
i2
iN
...
u
G
G
1
G
2
N
...
i=i 1i 2..i N =u G 1u G 2..u G N =u G 1G 2..G N =uG Z
N
G z =∑ G i
i=1
N
1
1
=∑
R Z i=1 Ri
Obciążony dzielnik napięcia
R p= R x R y
R y⋅R
R12 =R x 
R y R
Obciążony dzielnik napięcia
u
i=
=
R12
R y⋅R
R y⋅R
u y =i⋅
=
⋅
R y R R y R
u
R y⋅R
Rx
R y R
R y⋅R
u
=
⋅u
R y⋅R
R x⋅ R y  R R y⋅R
Rx
R y R
1
dla u y =u
2
R y⋅R
Rx=
R y R
 R p− R x  R
R x=
R p −R x R
R y =R p− R x
Obciążony dzielnik napięcia
R 2x − R p 2R  R x R p⋅R=0
1
1
R x = R p  R−  R 2p 4R 2
2
2