Transcript 数学建模常识与经验
数学建模常识与经验 基本内容： 一、什么是数学建模 二、相关的数学基础 三、如何组队及合作 四、如何从建模例题中学习解题方法 一、什么是数学建模 数学建模竞赛：它名曰数学，当然要用到数学知识， 但却与以往所说的那种数学竞赛（那是纯数学竞赛） 不同。(建模赛场一览) Match？ Or Project？——Case？ 它要用到计算机，甚至离不开计算机，但却不是纯 粹的计算机竞赛，它涉及物理、化学、生物、医学、 电子、农业、管理等各学科、各领域的知识，但也 不是这些学科、领域里的纯知识竞赛，它涉及各学 科、各领域，但又不受任何一个具体的学科、领域 的局限。（例如） 它要用到各方面的综合的知识，但还不限于 此．参赛选手不只是要有各方面的知识，还要 驾驭这些知识，应用这些知识处理实际问题的 能力。知识是无止境的，还必须有善于获得新 的知识的能力。总之，数学建模竟赛，既要比 赛各方面的综合知识，也要比赛各方面的综合 能力。它的特点就是综合，它的优点也是综合。 在这个意义上看，它与任何一个学科领域内的 纯知识竞赛都不相同的特点就是不纯，它的优 点也就是不纯，综合就是不纯。 “树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？” 正确答案应该是9只，是吧？这样的题照样是数学建 模题不过答案就不重要了，重要的是过程。 真正的数学建模高手应该这样回答这 道题。 “树上有十只鸟，开枪打死一只， 还剩几只？” “是无声手枪或别的无声的枪 吗？” “不是。” “枪声有多大？” “80－100分贝。” “那就是说会震的耳朵疼？” “是。” “在这个城市里打鸟犯不犯法？” “不犯。” “您确定那只鸟真的被打死啦？” “确定。”“OK，树上的鸟里 有没有聋子？” “有没有关在笼子里的？” “没有。” “边上还有没有其他的树，树上还有没有其他鸟？” “没有。” “有没有残疾的或饿的飞不动的鸟？” “没有。” “算不算怀孕肚子里的小鸟？” “不算。” “打鸟的人眼有没有花？保证是十只？” “没有花，就十只。” “有没有傻的不怕死的？” “都怕死。” “会不会一枪打死两只？” “不会。 “所有的鸟都可以自由活动吗？” “完全可以。” “如果您的回答没有骗人，打死的鸟要是挂在树上没掉 下来，那么就剩一只，如果掉下来，就一只不剩。” 不是开玩笑，这就是数学建模。从不同的 角度思考一个问题，想尽所有的可能，正所谓 的智者千虑，绝无一失，这，才是数学建模的 高手 二、相关的数学基础 线性规划 概率统计 图论 常微分方程 最优化理论 三、如何组队及合作 根据数学建模竞赛章程，三人组成一队，这 三人中必须一人数学基础较好，一人应用数学 软件（如Matlab,lindo,maple等）和编程（如 c,Matlab,vc++等）的能力较强，一人科技论文 写作的水平较好。科技论文的写作要求整篇论 文的结构严谨，语言要有逻辑性，用词要准确。 三人之间要能够配合得起来。若三人之间配 合不好，会降低效率，导致整个建模的失败。 如果可能的话，最好是数学好的懂得编程 的一些知识，编程好的了解建模，搞论文写作 也 要了解建模，这样会合作得更好。因为 数学好的在建立模型方案时会考虑到编 程的便利性，以利于编程；编程好的能 够很好地理解模型，论文写作的能够更 好、更完全地阐述模型。否则会出现建 立的模型不利于编程，程序不能完全概 括模型，论文写作时会漏掉一些不经意 的东西。 在合作的过程中，最好是能够在三人中 找出一个所谓的组长，即要能够总揽全 局，包括任务的分配，相互间的合作和 进度的安排。 在建模过程中出现意见不统一——如何 处理？仅我个人的经验而言，除了一般 的理解与尊重外，我觉得最重要的一点 就是“给我一 个相信你的理由”和“相 信我，我的理由是……”，不要作无谓 的争论。 四、如何从建模例题中学习解题 方法 你们在看例题的时候，要看例题是如何着手 的，即是如何切入，如何建立的方程等。 数学建模方法 一、机理分析法 从基本物理定律以及系统的结 构数据来推导出模型。 1. 比例分析法--建立变量之间函数关系的最基 本最常用的方法。 2. 代数方法--求解离散问题（离散的数据、符 号、图形）的主要方法。 3. 逻辑方法--是数学理论研究的重要方法，对 社会学和经济学等领域的实际问题，在决策， 对策等学科中得到广泛应用。 4. 常微分方程--解决两个变量之间的变化规律， 关键是建立"瞬时变化率"的表达式。 5. 偏微分方程--解决因变量与两个以上自变量 之间的变化规律。 二、数据分析法 从大量的观测数据利用统计方 法建立数学模型 1. 回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测 值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由 于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计 方法。 2. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又 称为过程统计方法。 3. 回归分析法--用于对函数f（x）的一组观测 值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由 于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计 方法。 4. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又 称为过程统计方法。 三、仿真和其他方法 1. 计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方 法，等效于抽样试验。 ① 离散系统仿真--有一组状态变量。 ② 连续系统仿真--有解析表达式或系统结构图。 2. 因子试验法--在系统上作局部试验，再根据 试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型 结构。 计算机上的十种武器： 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机 仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型 的正确性，是比赛时必用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会 遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法， 通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 （建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以 用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流 二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认 真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机 算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场 合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经 网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最 优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法 的实现比较困难，需慎重使用） 7、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程 的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、 矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行 调用） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据 可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将 其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是 非常重要的） 9、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索 最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模 型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最 好使用一些高级语言作为编程工具） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即 使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形 如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab进行处理） 题型： 赛题题型结构形式有三个基本组成部分： 一、实际问题背景 1. 涉及面宽--有社会，经济，管 理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中 出现的新问题等。 2. 一般都有一个比较确切的现实问 题。 二、若干假设条件 有如下几种情况： 1. 只有过程、规 则等定性假设，无具体定量数据； 2. 给出若干实测或 统计数据； 3. 给出若干参数或图形； 4. 蕴涵着某些机 动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据自己 收集或模拟产生数据。 三、要求回答的问题 往往有几个问题（一般不是唯一 的答案）: 1. 比较确定性的答案（基本答案）；2. 更细 致或更高层次的讨论结果（往往是讨论最优方案的提 法和结果）。 赛题的评审 你会发现：同一个考题的几篇优秀论文甚至连 答数都不一样，却同样都优秀；优秀论文甚至被专 家的评阅意见指出一大堆毛病，却仍不失为优秀。 在这里，正确和错误是相对的，优秀和不优秀也是 相对的。这在纯数学竞赛中是不可思议的。但既然 数学建模赛是考察解决实际问题的能力，那就一切 都以解决实际问题的过程为准。解决实际问题需要 查资料，需要使用计算机，需要课题组的人相互交 流和讨论，因此数学建模竞赛也就允许使用这些 “非生命的资源”。 同样，实际问题的解决，常常没有绝对的正确与错 误，也没有绝对的优秀，数学建模竞赛也就这样， 但这并不是说数学建模竞赛就没有是非和好坏的标 准。论文中各种不同意见、不同答案可以并存，只 要能够言之成理。但如果你像解答纯数学题那样去 做，只有数学公式和计算，而不讲清实际问题怎么 变成数学公式，也不让计算结果再接受实际检验， 即使答案正确，论文也很难评上好的等级。 这是因为，它不是数学竞赛，而是数学建模 竞赛，它看重的是三个步骤： 1、 建立模型：实际问题→数学问题； 2、 数学解答：数学问题→数学解； 3、 模型检验：数学解→实际问题的解决。 如果你只重视中间一个步骤（一般初参赛的 时候容易犯这个错误），而对第一和第三这 两个步骤不予重视，那就违背了数学建模竞 赛的宗旨，当然就不能得到好的结果了。 为什么要叫数学建模竞赛？就是因为它赛的是建 立数学模型，而不只是比赛解答数学模型。“模 型”是“建模”的结果，而“建模”是建立模型 的过程。竞赛的宗旨更强调的是建立数学模型这 个过程，认为过程比结果更重要。所以，在竞赛 中允许将未能最后完成的建模过程、未能最后实 现的想法写成论文，参加评卷。虽然你的模型还 没能最后建立起来，但只要想法有价值，己经开 始了的建模过程有合理性，就仍然是有可取之处 的论文。这充分体现了竞赛对建模过程的重视。 从这点上说，把它称为“数学建模竞赛”比“数 学模型竞赛”更贴切些。 如何写好数学建模竞赛答卷 1.建模能力：这是比较模糊的提法，主要是学生解决实际问题的 能力。 2.想象力及洞察力：这是在建模过程中比较重要的能力，创造力 的源泉来源于此。这项能力是要长期培养才能形成的。 3.分析问题的能力：要善于抓住问题的关键，把握问题的实质。 从错综复杂的因素中找出线索的能力。 4.逻辑推理能力及数学知识水平：建模所涉及到的数学知识要能 够处理。 5.计算机建模能力：会充分利用现代化的工具---计算机处理问题。 6.自学能力和查找资料文献的能力：建模涉及的面广，因此要有 广阔的知识面。要学会吸取信息，自我全面提高综合素质的能力。 7.团体合作能力：只有发挥集体力量才能更好地解决问题。 8.其他能力：例如良好的心理、身体素质等。 返回 比如，有一年的两个题，一个是要为我国足球队 排名次，做这个题的选手们面对这些足球劲旅的 比赛成绩评头品足，俨然是国家体委的官员或体 育界的专家。另一个题目是卫星通讯的频率设计， 你会怀疑是不是把无线电知识竞赛题误寄到这里 来当数学竞赛题了。再翻一翻各届国内外竞赛试 题，就更是五花八门了。有动物保护、施肥方案、 通讯网络、昆虫分类、药物扩散的规律、抓走私 船的策略、飞机场的管理、蛋白质分子的结构、 供电系统的修复、堆肥的制作、运煤车场的计划 安排、奥运设施的选址，等等。你说这是数学竞 赛题呢，还是物理、化学、电子、生物、医学、 农业、企业管理的竞赛题呢？ 返回