Transcript 5 -

Производная функции
Производные высших порядков
Производные от функций, заданных
параметрически
Дифференциал функции
Геометрический смысл дифференциала
Основные теоремы о дифференциалах
Применение дифференциала в приближенных
вычислениях
Некоторые теоремы о дифференцируемых
функциях
Правило Лопиталя
Производные высших порядков
Производная y   f (x ) функции y  f (x ) есть также функция
от x и называется производной первого порядка.
Если функция f (x )
дифференцируема, то ее производная
называется производной второго порядка и обозначается:
y ;
f ( x );
d 2y
dx 2
Итак:
y   ( y )
Производная от производной второго порядка, если она существует
называется производной третьего порядка и обозначается:
y ;
f ( x );
d 3y
dx 3
Итак:
y   ( y )
Производной n – ого порядка (или n – ой производной)
называется производная от производной n -1 - ого порядка.
y ( n )  ( y ( n 1) )
Производные высших порядков
Начиная от производной 4 порядка , производные обозначаются
римскими цифрами или цифрами в скобках:
или
y (5)
yv
- производная пятого порядка.
Вычислить производную n – ого порядка от функции: y  ln( x  1)



x

1

y   ln( x  1) 
1

 ( x  1)1
x 1
x 1
2 
3
1 
2







y


x

1

1

2
x

1
y   x  1  1 x  1 ;




y  1 2x  1   1 2  3x  1

 
y   1 2  3x  1   1 2  3  4x  1
4 
5
3

4
4
5
y n    1
n 1
n  1 ! x  1n
Производные от функций, заданных
параметрически
Пусть функция y = f(x) задана параметрически уравнениями:
 x  x (t )

 y  y (t )
Производная первого порядка от этой функции
находится по формуле:
y t
y x 
x t
Найдем производную второго порядка:
( y x )t
y x  ( y x )x 
xt
Аналогично получаем:
( y x )t
y x  ( y x )x 
xt
y
( 4)
x
( y x)t
 ( y x)x 
xt
и т. д.
Производные от функций, заданных
параметрически
Вычислить производную 3 – ого порядка от функции:
x  t 2

3
y

1

t

2

3
t

(1  t )

 1.5t
y x 
2
2t
(t )
( 1.5t )
( y x )t

y x 
(t 2 )
x t
3
 1 .5

 0.75t 1
2t
1
( y x )t

(

0
.
75
t
)
y x 

x t
(t 2 )
0.75t 2
3

 3
2t
4t
Дифференциал функции
Пусть функция y = f(x) имеет в некоторой точке х отличную
от нуля производную, следовательно существует предел:
y
y

lim
 f (x)  0 
( x )  ( x ) 

f
x 0 x
x
где ( x )  0 при x  0
По теореме о связи
функции, ее предела и
бесконечно малой
y  f ( x )x  ( x )x
функции
Таким образом, приращение функции y представляет собой
сумму двух слагаемых: f ( x )x и   x , являющимися
бесконечно малыми при x  0 .
При этом первое слагаемое есть бесконечно – малая одного
порядка с x , так как:
f ( x )x
lim
 f ( x )  0
x 0
x
Дифференциал функции
Второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого
x
порядка по сравнению с
, так как:
lim
x 0
 ( x )x
x
 (x)  0
Поэтому первое слагаемое f ( x )x называют главной
частью приращения функции.
Дифференциалом функции y = f(x) в точке х называется
главная часть ее приращения:
dy  f ( x )x
Найдем дифференциал независимой переменной, то есть
функции y  x :
Дифференциал
Дифференциал
функции
y   x  1
Поэтому:
 dy  dx  x
dy  f ( x )dx
независимой
переменной
равен произведению
равен
приращению
этой
производной
функции
на
переменной
dy
дифференциал
 независимой
f ( x )  переменной
dx
Геометрический смысл дифференциала
Проведем к графику функции y = f(x) в точке М(x, y) касательную
Рассмотрим ординату
касательной для точки x+Δx.
Из прямоугольного треугольника
AВМ имеем:
y
М1
f(x+ Δx )
y
f(x )
dy
x
α
0
B
М
х
A
x+Δx
tg  
х
AB
x

AB  tg  x
Согласно геометрическому смыслу производной,
tg   f (x ) 
AB  f ( x )  x  dy
Дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению
ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x
получает приращение Δx.
Основные теоремы о дифференциалах
Теорема 1
Дифференциал суммы, разности, произведения и
частного двух дифференцируемых функций находится
по формулам:
d (u  v )  du  dv
d (u  v )  v  du  u  dv
Теорема 2
u
v  du  u  dv
d( ) 
v
v2
Дифференциал сложной функции равен произведению
производной этой функции по промежуточному
аргументу на дифференциал этого промежуточного
аргумента.
y x  y u  ux  y x  dx  y u  ux  dx 
dy  y u  du
dy
Это свойство
du дифференциала
называют инвариантностью
(неизменностью) формы
дифференциала.
Приложение дифференциала в
приближенных вычислениях
Как известно, приращение функции можно представить в виде:
y  f ( xdy
)x  ( x )x
Отбрасывая бесконечно малую  ( x )x более высокого порядка,
dy
чем x , получим приближенной
равенство:
y  dy
Это равенство позволяет с большой точностью вычислять
приращение любой дифференцируемой функции.
Подставим в равенство выражения для приращения и
дифференциала функции:
f ( x  x )  f ( x )  f ( x )x

f ( x0  x )  f ( x0)  f ( x0)x
Формула позволяет приближенно вычислять значение функции в
точке x0+Δx, зная значение функции в точке x0.
Приложение дифференциала в
приближенных вычислениях
Вычислить приближенно:
arctg 1.05
Рассмотрим функцию: y  arctg x
arctg ( x0  x )  arctg ( x0 )  arctg ( x0 )x
Так как
x0  x  1.05
arctg 1 

4
то
(arctg x ) 

x0  1 x  0.05
1
1 x 2
1
arctg (1.05)    0.05  0.81
4 2
(arctg x ) x 1 
1
2
Некоторые теоремы о
дифференцируемых функциях
Теорема Ролля
(теорема о корнях производной)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b],
дифференцируема на интервале (a; b) и на концах интервала
принимает одинаковые значения f(a) = f(b), то найдется хотя бы
одна точка c  (a; b ) , в которой производная обращается в ноль.
f (c )  0
Геометрическая интерпретация:
y
f(а )= f(b )
0
а
с
b
Если функция удовлетворяет
условиям теоремы Ролля, то на
графике функции найдется хотя
бы одна точка, в которой
касательная к графику
х параллельна оси OX.
Некоторые теоремы о
дифференцируемых функциях
Теорема Коши
(теорема об отношении приращений)
Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a; b],
дифференцируемы на интервале (a; b), причем g ( x )  0 для
x  (a; b ) ,то найдется холя бы одна точка c  (a; b ) , такая,
что выполняется равенство:
f ( b )  f (a )
f (c )

g (b )  g (a ) g (c )
На графике функции найдется
хотя бы одна точка, в которой
касательная параллельна хорде
AB
Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях)
y
Если функция f(x) непрерывна на
В
отрезке [a; b], дифференцируема
f ( b )  f (a )
на интервале (a; b) ,то найдется
А
хотя бы одна точка c  (a; b ), в
которой выполняется равенство:
b a
f (b )  f (a )  f (c )  (b  a )
0
а
с
b
х
Правило Лопиталя
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида
0

и
, который основан на применении производной.
0

Теорема
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы в
окрестности точки x0 и обращаются в ноль в этой точке:
f ( x0 )  g ( x0 )  0 . Если существует предел
f ( x )
lim
A
x  x0 g ( x )
то
f (x)
f ( x )
lim
 lim
A
x  x0 g ( x )
x  x0 g ( x )
Теорема справедлива также в случае, если
lim f ( x )  lim g( x )  
x  x0
x  x0
Правило Лопиталя
tg 3 x   
3  cos 2 5 x
(tg 3 x )
lim
 lim

    lim
2
 tg 5 x



x
x  cos 3 x  5


x  (tg 5 x )
2
2
2
2
3
cos 5 x  0 
3
 cos 5 x 
    lim 
 lim


2

5 x  cos 3 x  0 
5 x   cos 3 x 
2
2
2
2
3 
cos 5 x  3 
 
(cos
5
x
)

lim

lim





 x  (cos 3 x ) 
5 x  cos 3 x
5
 2

 2

2
2
2


35
5
3
 5 sin 5 x 
 

lim
 

5 3 
3
5  x   3 sin 3 x 
 2

Правило Лопиталя
 
limcos 2x x 2  1
1
x 0

Обозначим:
Прологарифмируем равенство:
A  limcos 2x x 2
1
x 0
ln A  ln limcos 2x x 2 
x 0
1
lncos 2 x 
0
 
ln A  lim lncos 2x x  lim
2
x0
x 0
x
0
 2 sin 2 x
(ln cos 2 x )
tg 2 x
cos
2
x
 lim
 2 lim
 2
 lim
2
x 0
x 0 2 x
x 0
( x )
2x
1
2
ln A  2  A  e 2