Transcript ряд сходится ряд расходится
Slide 1
ТЕОРИЯ РЯДОВ
Slide 2
1.3. Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами.
• Признак сравнения.
Пусть
u
и
n
v
n
- ряды с положительными членами,
n 1
n 1
причем un≤vn для всех n, начиная с некоторого. Тогда:
1) если
v
n
сходится, то сходится и ряд
u
n 1
n 1
2) если
u
n 1
n
n
расходится, то расходится и ряд
v
n 1
n
Slide 3
Пример 1
Исследовать на сходимость ряд
1
1 2
1
1 2 3
1
1 2 3 4
....
1
1 n !
...
Slide 4
1
1 2
1
1 2 3
1
1 2 3 4
....
1
1 n !
...
Решение
Сравним его с убывающей геометрической прогрессией:
1
2
1
2
2
1
2
3
1
....
2
n
...
Каждый член первого ряда, начиная со второго, меньше
соответствующего члена второго ряда:
1
1 2 3
1
2
2
1
1 2 3 4
1
2
3
....
1
1 n !
1
2
n
Второй ряд сходится, следовательно первый ряд сходится.
Ответ: ряд сходится
Slide 5
Пример 2
Исследовать на сходимость ряд
1
1
2
1
3
1
4
....
1
n
...
Slide 6
1
1
1
2
3
1
....
4
1
...
n
Решение
Сравним его с гармоническим рядом:
1
1
2
1
3
1
....
4
1
...
n
Каждый член первого ряда, начиная со второго, больше
соответствующего члена второго ряда:
1
2
1
2
1
3
1
3
....
1
n
1
n
А ряд второй расходится, следовательно расходится и
первый.
Ответ: ряд расходится
Slide 7
• Предельный признак сравнения.
Пусть
u
n 1
n
и
v
n
- ряды с положительными членами,
n 1
Если существует конечный и отличный от нуля предел
отношения одинаковых по номеру членов рядов
l lim
n
un
vn
0 l
то эти ряды одновременно сходятся или расходятся.
Если члены un и vn двух положительных рядов являются
бесконечно малыми одного порядка, то эти ряды сходятся
или расходятся одновременно.
Slide 8
Пример 3
Исследовать на сходимость ряд
sin sin
2
sin
3
... sin
n
...
Slide 9
sin sin
sin
2
... sin
3
...
n
Решение
Сравним его с гармоническим рядом:
1
1
2
sin
lim
n
1
n
1
3
sin
n lim
n
n
1
4
....
1
...
n
sin
n lim
n
n 0
n
Так как гармонический ряд расходится, то и первый ряд
тоже расходится.
Ответ: ряд расходится
Slide 10
В отличие от признаков сравнения, где всё зависит
от догадки и запаса известных сходящихся и
расходящихся
рядов,
признак
Даламбера
позволяет часто решить вопрос о сходимости
ряда, проделав лишь некоторые операции над
самим рядом.
Slide 11
• Признак Даламбера (1717-1783 фр. математик)
Если в ряде с положительными членами
u1 u 2 ... u n ...
u
n 1
выполняется условие
lim
n
u n 1
un
то данный ряд сходится, если ℓ<1;
ряд расходится, если ℓ >1.
n
Slide 12
Замечание:
1) Если же ℓ=1, то ряд может быть как сходящийся, так и
расходящийся. В этом случае для решения вопроса о
сходимости ряда необходимо применить какой-либо
другой признак или дополнительные исследования.
2) Признак Даламбера целесообразно применять, когда
общий член ряда содержит выражение вида n! или an.
Slide 13
Пример 4
Исследовать на сходимость ряд
1
2
3
2
2
5
2
3
....
2n 1
2
n
...
Slide 14
Решение
un
u n 1
2n 1
2
2n 1
un
lim
n
1
u n 1
n
2
u n 1
un
n 1
lim
n
2
2
2n 1
2
n 1
2n 1
2
n 1
2n 1
n
2 n 1 1
2 ( 2 n 1)
2n 1
2 ( 2 n 1)
1
2
lim
n
2n 1
2n 1
1
1
n
lim
1
1
2 n
2
2
n
Ответ: ряд сходится
Slide 15
Пример 5
Исследовать на сходимость ряд
1
10
1 2
10
2
1 2 3
10
3
....
n!
10
n
...
Slide 16
Решение
un
u n 1
un
lim
n
n!
10
u n 1
n
n 1 !
10
n 1
( n 1) ! 1 0
n 1
n 1
10
n!
10
n
u n 1
un
lim
n
n 1
1
10
Ответ: ряд расходится
Slide 17
Пример 6
Исследовать на сходимость ряд
1
2
3
3
5
....
n
2n 1
...
Slide 18
Решение
un
u n 1
un
lim
n
n
2n 1
n 1
2n 1
u n 1
un
u n 1
2n 1
2
n
2n n
2n n 1
n
2n n
2
2n 1
2n n 1
2
2
2
lim
n 1
lim
n
1
n
2
1
n
1
n
2
1
Slide 19
Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Но т.к
lim u n lim
n
n
n
2n 1
1
0
2
то не
выполняется необходимое условие
сходимости ряда, следовательно ряд расходится.
Ответ: ряд расходится
Slide 20
Пример 7
Исследовать на сходимость ряд
1
1 2
1
2 3
1
34
....
1
n n 1
...
Slide 21
Решение
un
u n 1
un
lim
n
1
u n 1
n n 1
1
n 1 n 2
u n 1
un
lim
n
n
n2
1
n 1 n 2
n n 1
1
lim
n
1
1
2
n
n
n2
1
Slide 22
Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Проверим необходимый признак
сходимости ряда:
lim u n lim
n
n
1
n n 1
0
то есть ряд может быть сходящимся или
расходящимся. Установим сходимость другим
путем:
Slide 23
1
Заметим, что
n n 1
1
n
1
n 1
Данный ряд можем записать в виде:
1
1 1 1 1 1 1
1
...
...
1 2 2 3 3 4
n n 1
Sn 1
1
n 1
-частичная сумма
1
lim S n lim 1
1
n
n
n 1
То есть ряд сходится и его сумма равна 1.
Slide 24
Пример 8
Исследовать на сходимость ряд
1
1
2
1
3
1
4
....
1
n
...
Slide 25
Решение
u n 1
un
lim
n
u n 1
un
un
1
n 1
lim
n
n
1
n
n 1
1
n2
n 1
n
n
u n 1
1
lim
1
n
1
2
1
n
Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Установим сходимость другим
путем. Проверим признак сравнения (см. пример 2)
Ответ: ряд расходится
Slide 26
• Признак Коши (Cauchy 1789-1857)
Пусть дан ряд с положительными членами
u1 u 2 ... u n ...
u
n
n 1
Допустим, что
lim
n
n
u n существует и lim
n
n
un
Тогда данный ряд сходится, если ℓ<1;
ряд расходится, если ℓ >1.
В случае, когда ℓ=1, вопрос о сходимости ряда остается
открытым.
Slide 27
Пример 9
Исследовать на сходимость ряд
2
3
n
n
2
3
...
...
3 5
7
2n 1
1
Решение
lim
n
n
u n lim
n
n
n
2
n
1
n
lim
n
n
2n 1
1
1
2
Ответ: ряд сходится
Slide 28
Пример 10
Исследовать на сходимость ряд
2
3
1
1
1
1 1 1 ...
1
2
3
n
1
1
...
n
Slide 29
Решение
lim
n
n
u n lim
n
n
1
1
n
n
1
lim 1
1
n
n
Признак Коши не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Проверим необходимое
условие сходимости ряда:
lim u n
n
1
lim 1
n
n
n
e 0
Ответ: ряд расходится
Slide 30
• Интегральный признак
Пусть дан ряд с положительными членами
u1 u 2 ... u n ...
u
n
n 1
причем
u1 u 2 u 3 ... u n ...
и f(x)- такая непрерывная, монотонно убывающая функция,
что f(n)=un.
f ( x ) dx
Тогда данный ряд и несобственный интеграл
1
одновременно сходятся или расходятся.
Slide 31
Пример 11
Исследовать на сходимость гармонический ряд
1
1
2
1
3
...
1
n
...
Slide 32
Решение
f ( x)
1
x 1
,
x
1
Эта функция непрерывная, монотонно убывает и f ( n )
n
Следовательно, условия интегрального признака
выполнены. Имеем
1
dx
M
lim
x
M
1
dx
x
lim
M
ln
x
M
1
ln
M
lim
M ln 1
lim ln M
M
Ответ: ряд расходится
Slide 33
Пример 12
Исследовать на сходимость ряд
1
1
2
1
2
3
1
...
3
n
...
n
Slide 34
Решение
1
f ( x)
x
x
1
Эта функция непрерывная, монотонно убывает и f ( n )
n n
Следовательно, условия интегрального признака
выполнены. Имеем
1
dx
x
x
2 lim
M
1
dx
x
3
2
M
lim
M
1
1 2
M
x
3
2
d x 2 lim
M
1
x
M
1
1
Ответ: ряд сходится
Slide 35
Обобщенный гармонический ряд
n 1
1
n
p
1
1
2
p
1
3
p
1
4
p
...,
p 0,
pR
Интегральный признак целесообразно применять для
исследования сходимости обобщенного гармонического
ряда. Признаки Коши и Даламбера ответа о
сходимости не дают.
Slide 36
f ( x)
1
x
p
1
Эта функция непрерывная, монотонно убывает и f ( n ) p
n
Следовательно, условия интегрального признака
выполнены. Имеем
1
1
,
dx
p 1
p
x
,
p 1
p 1
ряд сходится
ряд расходится
При p=1 имеем гармонический ряд. (см. пример 11)
Slide 37
Пример 13
Исследовать на сходимость ряд
1
1
2
5
4
1
3
5
4
1
...
n
5
4
...
Решение
Ряд сходится, т.к. p
5
1
4
Ответ: ряд сходится
Slide 38
Пример 14
Исследовать на сходимость ряд
1
1
2
Решение
f (n)
1
...
3
...
n
1
n
Ряд расходится, т.к.
1
p
1
n
1
1
2
1
2
Ответ: ряд расходится
Slide 39
Рассмотренные признаки сходимости (есть и
другие) рядов с положительными членами
позволяют судить о сходимости практически
любого положительного ряда.
Необходимые навыки приобретаются на практике!
ТЕОРИЯ РЯДОВ
Slide 2
1.3. Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами.
• Признак сравнения.
Пусть
u
и
n
v
n
- ряды с положительными членами,
n 1
n 1
причем un≤vn для всех n, начиная с некоторого. Тогда:
1) если
v
n
сходится, то сходится и ряд
u
n 1
n 1
2) если
u
n 1
n
n
расходится, то расходится и ряд
v
n 1
n
Slide 3
Пример 1
Исследовать на сходимость ряд
1
1 2
1
1 2 3
1
1 2 3 4
....
1
1 n !
...
Slide 4
1
1 2
1
1 2 3
1
1 2 3 4
....
1
1 n !
...
Решение
Сравним его с убывающей геометрической прогрессией:
1
2
1
2
2
1
2
3
1
....
2
n
...
Каждый член первого ряда, начиная со второго, меньше
соответствующего члена второго ряда:
1
1 2 3
1
2
2
1
1 2 3 4
1
2
3
....
1
1 n !
1
2
n
Второй ряд сходится, следовательно первый ряд сходится.
Ответ: ряд сходится
Slide 5
Пример 2
Исследовать на сходимость ряд
1
1
2
1
3
1
4
....
1
n
...
Slide 6
1
1
1
2
3
1
....
4
1
...
n
Решение
Сравним его с гармоническим рядом:
1
1
2
1
3
1
....
4
1
...
n
Каждый член первого ряда, начиная со второго, больше
соответствующего члена второго ряда:
1
2
1
2
1
3
1
3
....
1
n
1
n
А ряд второй расходится, следовательно расходится и
первый.
Ответ: ряд расходится
Slide 7
• Предельный признак сравнения.
Пусть
u
n 1
n
и
v
n
- ряды с положительными членами,
n 1
Если существует конечный и отличный от нуля предел
отношения одинаковых по номеру членов рядов
l lim
n
un
vn
0 l
то эти ряды одновременно сходятся или расходятся.
Если члены un и vn двух положительных рядов являются
бесконечно малыми одного порядка, то эти ряды сходятся
или расходятся одновременно.
Slide 8
Пример 3
Исследовать на сходимость ряд
sin sin
2
sin
3
... sin
n
...
Slide 9
sin sin
sin
2
... sin
3
...
n
Решение
Сравним его с гармоническим рядом:
1
1
2
sin
lim
n
1
n
1
3
sin
n lim
n
n
1
4
....
1
...
n
sin
n lim
n
n 0
n
Так как гармонический ряд расходится, то и первый ряд
тоже расходится.
Ответ: ряд расходится
Slide 10
В отличие от признаков сравнения, где всё зависит
от догадки и запаса известных сходящихся и
расходящихся
рядов,
признак
Даламбера
позволяет часто решить вопрос о сходимости
ряда, проделав лишь некоторые операции над
самим рядом.
Slide 11
• Признак Даламбера (1717-1783 фр. математик)
Если в ряде с положительными членами
u1 u 2 ... u n ...
u
n 1
выполняется условие
lim
n
u n 1
un
то данный ряд сходится, если ℓ<1;
ряд расходится, если ℓ >1.
n
Slide 12
Замечание:
1) Если же ℓ=1, то ряд может быть как сходящийся, так и
расходящийся. В этом случае для решения вопроса о
сходимости ряда необходимо применить какой-либо
другой признак или дополнительные исследования.
2) Признак Даламбера целесообразно применять, когда
общий член ряда содержит выражение вида n! или an.
Slide 13
Пример 4
Исследовать на сходимость ряд
1
2
3
2
2
5
2
3
....
2n 1
2
n
...
Slide 14
Решение
un
u n 1
2n 1
2
2n 1
un
lim
n
1
u n 1
n
2
u n 1
un
n 1
lim
n
2
2
2n 1
2
n 1
2n 1
2
n 1
2n 1
n
2 n 1 1
2 ( 2 n 1)
2n 1
2 ( 2 n 1)
1
2
lim
n
2n 1
2n 1
1
1
n
lim
1
1
2 n
2
2
n
Ответ: ряд сходится
Slide 15
Пример 5
Исследовать на сходимость ряд
1
10
1 2
10
2
1 2 3
10
3
....
n!
10
n
...
Slide 16
Решение
un
u n 1
un
lim
n
n!
10
u n 1
n
n 1 !
10
n 1
( n 1) ! 1 0
n 1
n 1
10
n!
10
n
u n 1
un
lim
n
n 1
1
10
Ответ: ряд расходится
Slide 17
Пример 6
Исследовать на сходимость ряд
1
2
3
3
5
....
n
2n 1
...
Slide 18
Решение
un
u n 1
un
lim
n
n
2n 1
n 1
2n 1
u n 1
un
u n 1
2n 1
2
n
2n n
2n n 1
n
2n n
2
2n 1
2n n 1
2
2
2
lim
n 1
lim
n
1
n
2
1
n
1
n
2
1
Slide 19
Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Но т.к
lim u n lim
n
n
n
2n 1
1
0
2
то не
выполняется необходимое условие
сходимости ряда, следовательно ряд расходится.
Ответ: ряд расходится
Slide 20
Пример 7
Исследовать на сходимость ряд
1
1 2
1
2 3
1
34
....
1
n n 1
...
Slide 21
Решение
un
u n 1
un
lim
n
1
u n 1
n n 1
1
n 1 n 2
u n 1
un
lim
n
n
n2
1
n 1 n 2
n n 1
1
lim
n
1
1
2
n
n
n2
1
Slide 22
Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Проверим необходимый признак
сходимости ряда:
lim u n lim
n
n
1
n n 1
0
то есть ряд может быть сходящимся или
расходящимся. Установим сходимость другим
путем:
Slide 23
1
Заметим, что
n n 1
1
n
1
n 1
Данный ряд можем записать в виде:
1
1 1 1 1 1 1
1
...
...
1 2 2 3 3 4
n n 1
Sn 1
1
n 1
-частичная сумма
1
lim S n lim 1
1
n
n
n 1
То есть ряд сходится и его сумма равна 1.
Slide 24
Пример 8
Исследовать на сходимость ряд
1
1
2
1
3
1
4
....
1
n
...
Slide 25
Решение
u n 1
un
lim
n
u n 1
un
un
1
n 1
lim
n
n
1
n
n 1
1
n2
n 1
n
n
u n 1
1
lim
1
n
1
2
1
n
Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Установим сходимость другим
путем. Проверим признак сравнения (см. пример 2)
Ответ: ряд расходится
Slide 26
• Признак Коши (Cauchy 1789-1857)
Пусть дан ряд с положительными членами
u1 u 2 ... u n ...
u
n
n 1
Допустим, что
lim
n
n
u n существует и lim
n
n
un
Тогда данный ряд сходится, если ℓ<1;
ряд расходится, если ℓ >1.
В случае, когда ℓ=1, вопрос о сходимости ряда остается
открытым.
Slide 27
Пример 9
Исследовать на сходимость ряд
2
3
n
n
2
3
...
...
3 5
7
2n 1
1
Решение
lim
n
n
u n lim
n
n
n
2
n
1
n
lim
n
n
2n 1
1
1
2
Ответ: ряд сходится
Slide 28
Пример 10
Исследовать на сходимость ряд
2
3
1
1
1
1 1 1 ...
1
2
3
n
1
1
...
n
Slide 29
Решение
lim
n
n
u n lim
n
n
1
1
n
n
1
lim 1
1
n
n
Признак Коши не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Проверим необходимое
условие сходимости ряда:
lim u n
n
1
lim 1
n
n
n
e 0
Ответ: ряд расходится
Slide 30
• Интегральный признак
Пусть дан ряд с положительными членами
u1 u 2 ... u n ...
u
n
n 1
причем
u1 u 2 u 3 ... u n ...
и f(x)- такая непрерывная, монотонно убывающая функция,
что f(n)=un.
f ( x ) dx
Тогда данный ряд и несобственный интеграл
1
одновременно сходятся или расходятся.
Slide 31
Пример 11
Исследовать на сходимость гармонический ряд
1
1
2
1
3
...
1
n
...
Slide 32
Решение
f ( x)
1
x 1
,
x
1
Эта функция непрерывная, монотонно убывает и f ( n )
n
Следовательно, условия интегрального признака
выполнены. Имеем
1
dx
M
lim
x
M
1
dx
x
lim
M
ln
x
M
1
ln
M
lim
M ln 1
lim ln M
M
Ответ: ряд расходится
Slide 33
Пример 12
Исследовать на сходимость ряд
1
1
2
1
2
3
1
...
3
n
...
n
Slide 34
Решение
1
f ( x)
x
x
1
Эта функция непрерывная, монотонно убывает и f ( n )
n n
Следовательно, условия интегрального признака
выполнены. Имеем
1
dx
x
x
2 lim
M
1
dx
x
3
2
M
lim
M
1
1 2
M
x
3
2
d x 2 lim
M
1
x
M
1
1
Ответ: ряд сходится
Slide 35
Обобщенный гармонический ряд
n 1
1
n
p
1
1
2
p
1
3
p
1
4
p
...,
p 0,
pR
Интегральный признак целесообразно применять для
исследования сходимости обобщенного гармонического
ряда. Признаки Коши и Даламбера ответа о
сходимости не дают.
Slide 36
f ( x)
1
x
p
1
Эта функция непрерывная, монотонно убывает и f ( n ) p
n
Следовательно, условия интегрального признака
выполнены. Имеем
1
1
,
dx
p 1
p
x
,
p 1
p 1
ряд сходится
ряд расходится
При p=1 имеем гармонический ряд. (см. пример 11)
Slide 37
Пример 13
Исследовать на сходимость ряд
1
1
2
5
4
1
3
5
4
1
...
n
5
4
...
Решение
Ряд сходится, т.к. p
5
1
4
Ответ: ряд сходится
Slide 38
Пример 14
Исследовать на сходимость ряд
1
1
2
Решение
f (n)
1
...
3
...
n
1
n
Ряд расходится, т.к.
1
p
1
n
1
1
2
1
2
Ответ: ряд расходится
Slide 39
Рассмотренные признаки сходимости (есть и
другие) рядов с положительными членами
позволяют судить о сходимости практически
любого положительного ряда.
Необходимые навыки приобретаются на практике!