Slide 1

ТЕОРИЯ РЯДОВ


Slide 2

1.3. Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами.
• Признак сравнения.




Пусть

u

и

n

v

n

- ряды с положительными членами,

n 1

n 1

причем un≤vn для всех n, начиная с некоторого. Тогда:




1) если

v

n

сходится, то сходится и ряд

u
n 1

n 1



2) если

u
n 1

n



n

расходится, то расходится и ряд

v
n 1

n


Slide 3

Пример 1
Исследовать на сходимость ряд
1
1 2



1
1 2 3



1
1 2 3  4

 .... 

1

1  n  !

 ...


Slide 4

1
1 2



1
1 2 3



1
1 2 3  4

 .... 

1

1  n  !

 ...

Решение
Сравним его с убывающей геометрической прогрессией:
1
2



1
2

2



1
2

3

1

 .... 

2

n

 ...

Каждый член первого ряда, начиная со второго, меньше
соответствующего члена второго ряда:
1
1 2 3



1
2

2

1
1 2 3  4



1
2

3

....

1

1  n  !



1
2

n

Второй ряд сходится, следовательно первый ряд сходится.
Ответ: ряд сходится


Slide 5

Пример 2
Исследовать на сходимость ряд
1

1
2



1
3



1
4

 .... 

1
n

 ...


Slide 6

1

1



1

2



3

1

 .... 

4

1

 ...

n

Решение
Сравним его с гармоническим рядом:
1

1
2



1
3



1

 .... 

4

1

 ...

n

Каждый член первого ряда, начиная со второго, больше
соответствующего члена второго ряда:
1
2



1
2

1
3



1
3

....

1
n



1
n

А ряд второй расходится, следовательно расходится и
первый.
Ответ: ряд расходится


Slide 7

• Предельный признак сравнения.




Пусть

u
n 1

n

и

v

n

- ряды с положительными членами,

n 1

Если существует конечный и отличный от нуля предел
отношения одинаковых по номеру членов рядов
l  lim

n 

un
vn

 0  l   

то эти ряды одновременно сходятся или расходятся.
Если члены un и vn двух положительных рядов являются
бесконечно малыми одного порядка, то эти ряды сходятся
или расходятся одновременно.


Slide 8

Пример 3
Исследовать на сходимость ряд
sin   sin


2

 sin


3

 ...  sin


n

 ...


Slide 9

sin   sin



 sin

2



 ...  sin

3



 ...

n

Решение
Сравним его с гармоническим рядом:
1

1
2

sin
lim

n 

1
n





1



3

  sin

n  lim

n 


n

1
4

 .... 

1

 ...

n



sin

n    lim

n 




n   0

n

Так как гармонический ряд расходится, то и первый ряд
тоже расходится.
Ответ: ряд расходится


Slide 10

В отличие от признаков сравнения, где всё зависит
от догадки и запаса известных сходящихся и
расходящихся
рядов,
признак
Даламбера
позволяет часто решить вопрос о сходимости
ряда, проделав лишь некоторые операции над
самим рядом.


Slide 11

• Признак Даламбера (1717-1783 фр. математик)
Если в ряде с положительными членами


u1  u 2  ...  u n  ... 

u
n 1

выполняется условие

lim

n 

u n 1



un

то данный ряд сходится, если ℓ<1;
ряд расходится, если ℓ >1.

n


Slide 12

Замечание:
1) Если же ℓ=1, то ряд может быть как сходящийся, так и
расходящийся. В этом случае для решения вопроса о
сходимости ряда необходимо применить какой-либо
другой признак или дополнительные исследования.
2) Признак Даламбера целесообразно применять, когда
общий член ряда содержит выражение вида n! или an.


Slide 13

Пример 4
Исследовать на сходимость ряд
1
2



3
2

2



5
2

3

 .... 

2n  1
2

n

 ...


Slide 14

Решение
un 

u n 1

2n  1
2



2n  1

un
lim

n 

1

u n 1 

n

2
u n 1
un

n 1



 lim

n 

2

2

2n  1

2

n 1



2n  1
2

n 1

2n  1

n



2  n  1  1

2 ( 2 n  1)

2n  1
2 ( 2 n  1)



1
2

lim

n 

2n  1
2n  1



1

1
n

lim

1
1
2 n 
2
2
n

Ответ: ряд сходится


Slide 15

Пример 5
Исследовать на сходимость ряд
1
10



1 2
10

2



1 2 3
10

3

 .... 

n!
10

n

 ...


Slide 16

Решение
un 

u n 1
un

lim

n 

n!
10

u n 1 

n

 n  1 !
10

n 1

( n  1) ! 1 0
n 1



n 1
10
n!
10
n

u n 1
un

 lim

n 

n 1

  1

10

Ответ: ряд расходится


Slide 17

Пример 6
Исследовать на сходимость ряд
1

2
3



3
5

 .... 

n
2n  1

 ...


Slide 18

Решение
un 

u n 1
un

lim

n 



n
2n  1

n 1
2n  1

u n 1
un

u n 1 



2n  1

2



n

2n  n

2n  n  1

n 

2n  n
2

2n  1

2n  n  1
2

2

2

 lim

n 1

 lim

n 

1



n
2

1
n

1
n

2

1


Slide 19

Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Но т.к
lim u n  lim
n 

n 

n
2n  1



1

 0

2

то не
выполняется необходимое условие
сходимости ряда, следовательно ряд расходится.

Ответ: ряд расходится


Slide 20

Пример 7
Исследовать на сходимость ряд
1
1 2



1
2 3



1
34

 .... 

1
n  n  1

 ...


Slide 21

Решение
un 

u n 1
un

lim

n 

1

u n 1 

n  n  1



1

 n  1  n  2 

u n 1
un

 lim

n 

n
n2



1

 n  1  n  2 

n  n  1



1

 lim

n 

1
1

2
n

n
n2

1


Slide 22

Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Проверим необходимый признак
сходимости ряда:

lim u n  lim
n 

n 

1
n  n  1

 0

то есть ряд может быть сходящимся или
расходящимся. Установим сходимость другим
путем:


Slide 23

1

Заметим, что

n  n  1



1



n

1
n 1

Данный ряд можем записать в виде:
1 
1 1   1 1   1 1 
1
            ...   
  ...
1 2   2 3   3 4 
 n n 1

Sn  1 

1
n 1

-частичная сумма

1 

lim S n  lim  1 
 1
n 
n 
n 1


То есть ряд сходится и его сумма равна 1.


Slide 24

Пример 8
Исследовать на сходимость ряд
1

1
2



1
3



1
4

 .... 

1
n

 ...


Slide 25

Решение
u n 1



un

lim

n 

u n 1
un

un 

1
n 1

 lim

n 



n

1
n

n 1

1

n2

n 1

n



n

u n 1 

1



lim

1

n 

1

2

1

n

Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Установим сходимость другим

путем. Проверим признак сравнения (см. пример 2)
Ответ: ряд расходится


Slide 26

• Признак Коши (Cauchy 1789-1857)
Пусть дан ряд с положительными членами


u1  u 2  ...  u n  ... 

u

n

n 1

Допустим, что

lim

n 

n

u n существует и lim

n 

n

un 

Тогда данный ряд сходится, если ℓ<1;
ряд расходится, если ℓ >1.

В случае, когда ℓ=1, вопрос о сходимости ряда остается
открытым.


Slide 27

Пример 9
Исследовать на сходимость ряд
2

3

n

n
2
3


       ...  
  ...
3 5
7
 2n  1 

1

Решение
lim

n 

n

u n  lim

n 

n

n




2
n

1



n

 lim

n 

n
2n  1



1

1

2

Ответ: ряд сходится


Slide 28

Пример 10
Исследовать на сходимость ряд
2

3

1 
1
1


 1     1     1    ... 
1 
2
3



n

1

1 
  ...
n



Slide 29

Решение
lim

n 

n

u n  lim

n 

n

1 

1 

n



n

1

 lim  1 
1

n 
n


Признак Коши не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Проверим необходимое
условие сходимости ряда:
lim u n
n 

1 

 lim  1 

n 
n



n

 e  0

Ответ: ряд расходится


Slide 30

• Интегральный признак
Пусть дан ряд с положительными членами


u1  u 2  ...  u n  ... 

u

n

n 1

причем

u1  u 2  u 3  ...  u n  ...

и f(x)- такая непрерывная, монотонно убывающая функция,

что f(n)=un.
f ( x ) dx
Тогда данный ряд и несобственный интеграл
1
одновременно сходятся или расходятся.




Slide 31

Пример 11
Исследовать на сходимость гармонический ряд
1

1
2



1
3

 ... 

1
n

 ...


Slide 32

Решение
f ( x) 

1

x 1

,

x
1

Эта функция непрерывная, монотонно убывает и f ( n ) 
n
Следовательно, условия интегрального признака
выполнены. Имеем



1

dx

M

 lim

x

M 


1

dx
x

 lim

M 

 ln

x



M
1

ln

M 

 lim

M  ln 1  

 lim ln M  
M 

Ответ: ряд расходится


Slide 33

Пример 12
Исследовать на сходимость ряд
1

1
2

1


2

3

1

 ... 
3

n

 ...
n


Slide 34

Решение
1

f ( x) 
x

x
1

Эта функция непрерывная, монотонно убывает и f ( n ) 
n n
Следовательно, условия интегрального признака
выполнены. Имеем



1

dx
x





x


  2 lim 
M 



1

dx
x

3
2

M

 lim

M 


1


 1  2
M


x



3
2

d x   2 lim

M 

1
x

M
1

1

Ответ: ряд сходится




Slide 35

Обобщенный гармонический ряд




n 1

1
n

p

 1

1
2

p



1
3

p



1
4

p

 ...,
p  0,

pR

Интегральный признак целесообразно применять для
исследования сходимости обобщенного гармонического
ряда. Признаки Коши и Даламбера ответа о
сходимости не дают.


Slide 36

f ( x) 

1
x

p

1

Эта функция непрерывная, монотонно убывает и f ( n )  p
n
Следовательно, условия интегрального признака
выполнены. Имеем




1

1

,
dx

  p 1
p
x
 ,


p 1
p 1

ряд сходится
ряд расходится

При p=1 имеем гармонический ряд. (см. пример 11)


Slide 37

Пример 13
Исследовать на сходимость ряд
1

1
2

5
4



1
3

5
4

1

 ... 

n

5
4

 ...

Решение

Ряд сходится, т.к. p 

5

1

4

Ответ: ряд сходится


Slide 38

Пример 14
Исследовать на сходимость ряд
1

1



2

Решение

f (n) 

1

 ... 

3

 ...

n

1



n

Ряд расходится, т.к.

1

p 

1
n

1

1
2

1

2

Ответ: ряд расходится


Slide 39

Рассмотренные признаки сходимости (есть и
другие) рядов с положительными членами
позволяют судить о сходимости практически
любого положительного ряда.
Необходимые навыки приобретаются на практике!