Transcript Ряды вида
Slide 1
Числовые ряды
Достаточные признаки сходимости рядов с
положительными членами (продолжение)
Знакопеременные ряды
Знакочередующиеся ряды
Свойства абсолютно сходящихся рядов
Оценка остатка ряда
Slide 2
Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами
Предельный признак сравнения
Пусть даны два ряда с положительными членами:
U
n 1
n
и
V
n
Для этих рядов справедливо:
n 1
Un
nlim
Vn
0;
Ряды Un и Vn одновременно
сходятся и расходятся.
Slide 3
Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами
Пример
Исследовать на сходимость ряд:
1
sin n
n 1
U n sin
1
n
Выберем для сравнения ряд:
Vn
Ряд Vn - обобщенный гармонический ряд вида
1
n
1
n
k
n 1
расходится, так как k = 1.
sin
lim
n
1
n 1 t;
n
1
n
sin t
n t 0 lim
1
t0
t
ряд Un – также расходится.
Slide 4
Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами
Ряды вида
n 1
Pm n
Q l n
Вопрос о сходимости рядов такого вида, где Pm (n) – многочлен
степени m, Ql (n) – многочлен степени l, полностью исчерпывается
сравнением с рядом
1
n
k
где k = l – m.
n 1
Удобнее при этом использовать признак сравнения в предельной
форме.
Slide 5
Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами
Пример
Un
n
Исследовать на сходимость ряд:
2n 1
n 5
3
2n 1
3
n 1
l 3; m 1
Выберем для сравнения ряд:
Vn
5
k 3 1 2
1
2
n
Ряд Vn - обобщенный гармонический ряд вида
n 1
1
n
k
сходится, так как k = 2 >1.
2n 1
lim n
n
3
5
lim
1
n
n
2
2n n
3
n 5
3
2
2
lim
n
1
1
n 2
5
n
2
ряд Un – также сходится.
Slide 6
Знакопеременные ряды
Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены
называются знакопеременными
Пусть дан знакопеременный ряд:
U
n
(1)
n 1
Обозначим:
S p 1 p 2 p 3 ... p n ...
(2)
– ряд составлен из положительных членов ряда (1) с сохранением
порядка их следования.
Обозначим:
S q 1 q 2 q 3 ... q n ...
(3)
– ряд составлен из модулей отрицательных членов ряда (1).
Рассмотрим также ряд U 1 U 2 U 3 ... U n ...
– ряд составлен из модулей всех членов ряда (1).
(4)
Slide 7
Знакопеременные ряды
Теорема
Если ряд (4) сходится, то сходятся и ряды (1), (2) и
(3). При этом сумма данного ряда (1) равна
S S S
Определения
Знакопеременный ряд (1) называется
сходящимся, если сходится ряд (4).
абсолютно
Ряд (1) называется условно сходящимся, если он сам
сходится, а ряд (4), расходится.
Slide 8
Знакочередующиеся ряды
Ряд называется знакочередующимся, если положительные и
отрицательные члены следуют друг за другом поочередно.
( 1)
n 1
an
n 1
(1)
положительные числа
(модули членов ряда)
Достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда
является признак Лейбница.
Теорема
Знакочередующийся ряд (1) сходится если:
a 1 a 2 a 3 ... a n
lim a n 0
n
(2)
(3)
При этом сумма этого ряда удовлетворяет условию:
0 S a1
Slide 9
Знакочередующиеся ряды
Доказательство
Вычислим отдельно частичные суммы ряда (1) с четным и
нечетным числом слагаемых.
S 2 n a1 a 2 a 3 a 4 ... a 2 n 1 a 2 n
( a1 a 2 ) ( a 3 a 4 ) ... ( a 2 n 1 a 2 n )
С учетом (2) выражения в скобках положительны, значит S2n > 0 ,
кроме того S2n монотонно возрастает т.к.
S 2 n 2 S 2 n ( a 2 n 1 a 2 n 2 ) S 2 n
Slide 10
Знакочередующиеся ряды
запишем S2n в виде:
S 2 n a1 a 2 a 3 a 4 ... a 2 n 1 a 2 n
a1 ( a 2 a 3 ) ( a 4 a 5 ) ... ( a 2 n 2 a n 1 ) a 2 n
Выражения в скобках положительны и а2n > 0 , поэтому
справедливо:
S 2n a1
Таким образом, последовательность S2n возрастает и ограничена
сверху, значит она имеет предел
lim S 2 n S
n
причем S > 0
Slide 11
Знакочередующиеся ряды
Рассмотрим частичные суммы для нечетного числа слагаемых:
S 2 n 1 S 2 n a 2 n 1
Найдем предел:
lim S 2 n 1 lim ( S 2 n a 2 n 1 ) lim S 2 n lim a 2 n 1 S
n
n
n
n
предел равен
нулю по условию
теоремы
Поэтому ряд сходится для любого числа слагаемых.
Slide 12
Знакочередующиеся ряды
Пример 1
( 1)
Исследовать на сходимость ряд:
n 1
1
1
n
n 1
1
2
1
3
1
...
4
Для этого ряда справедливо:
1
1
2
lim
n
1
...
3
1
1
n
ряд сходится.
0
n
Данный ряд сходится условно, так как ряд
n 1
1
n
,
составленный из модулей членов ряда - расходится
Slide 13
Знакочередующиеся ряды
Пример 2
( 1)
Исследовать ряд на абсолютную и условную
сходимость:
n
n 1
n 1
5n n 1
4
Исследуем ряд на сходимость по признаку Лейбница:
1
5
2
81
3
407
4
1283
1
lim
n
n
5n n 1
4
5
n
1
n
3
3
1
n
4
0
5
0
ряд сходится.
Slide 14
Знакочередующиеся ряды
Исследуем ряд, составленный из модулей:
5n
n 1
n
4
n 1
Используем предельный признак сравнения:
Un
n
5n n 1
4
l 4; m 1
Выберем для сравнения ряд: V n
1
n
3
k 4 1 3
обобщенный
гармонический ряд
сходится, так как
k = 3 >1.
n
lim 5 n
n
4
4
1
1
n 1 lim
lim
4
n
1
1
n 5n
5
1
n 1
5 3 4
3
n
n
n
n
Ряд сходится, значит исходный ряд сходится абсолютно.
Slide 15
Свойства абсолютно сходящихся рядов
Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд,
полученный из него перестановкой его членов также
сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.
Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 и S2 можно
почленно складывать (вычитать). При этом получается
абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1+S2
(S1 - S2).
Под произведением двух рядов
и
u 1 u 2 u 3 ...
v 1 v 2 v 3 ... понимают ряд вида:
u 1 v 1 u 1 v 2 u 2 v 1 u 1 v 3 u 2 v 2 u 3 v 1
Произведение абсолютно сходящихся рядов с суммами S1 и S2
есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1S2.
Slide 16
Оценка остатка ряда
Соотношение 0 < S < a1 из теоремы Лейбница позволяет
получить оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму
знакочередующегося ряда его частичной суммой Sn.
S a1 a 2 a 3 a 4 ... a n a n 1 a n 2
Sn
rn
Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также
знакочередующийся ряд:
rn a n 1 a n 2
Сумма этого ряда по модулю меньше первого члена ряда:
rn a n 1
Таким образом, абсолютная погрешность приближения: S S n
меньше первого отброшенного члена ряда.
Slide 17
Оценка остатка ряда
Пример
S5 1
Вычислить приближенно сумму ряда, взяв первых
пять членов ряда. Оценить погрешность
приближения.
n 1 1
(
1
)
n
n
n 1
1
2
2
1
3
3
1
4
4
1
5
1
5
1
4
S 0 . 7834
1
6
6
1
46656
0 . 00003
1
27
1
256
1
3125
0 . 7834
Числовые ряды
Достаточные признаки сходимости рядов с
положительными членами (продолжение)
Знакопеременные ряды
Знакочередующиеся ряды
Свойства абсолютно сходящихся рядов
Оценка остатка ряда
Slide 2
Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами
Предельный признак сравнения
Пусть даны два ряда с положительными членами:
U
n 1
n
и
V
n
Для этих рядов справедливо:
n 1
Un
nlim
Vn
0;
Ряды Un и Vn одновременно
сходятся и расходятся.
Slide 3
Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами
Пример
Исследовать на сходимость ряд:
1
sin n
n 1
U n sin
1
n
Выберем для сравнения ряд:
Vn
Ряд Vn - обобщенный гармонический ряд вида
1
n
1
n
k
n 1
расходится, так как k = 1.
sin
lim
n
1
n 1 t;
n
1
n
sin t
n t 0 lim
1
t0
t
ряд Un – также расходится.
Slide 4
Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами
Ряды вида
n 1
Pm n
Q l n
Вопрос о сходимости рядов такого вида, где Pm (n) – многочлен
степени m, Ql (n) – многочлен степени l, полностью исчерпывается
сравнением с рядом
1
n
k
где k = l – m.
n 1
Удобнее при этом использовать признак сравнения в предельной
форме.
Slide 5
Достаточные признаки сходимости
рядов с положительными членами
Пример
Un
n
Исследовать на сходимость ряд:
2n 1
n 5
3
2n 1
3
n 1
l 3; m 1
Выберем для сравнения ряд:
Vn
5
k 3 1 2
1
2
n
Ряд Vn - обобщенный гармонический ряд вида
n 1
1
n
k
сходится, так как k = 2 >1.
2n 1
lim n
n
3
5
lim
1
n
n
2
2n n
3
n 5
3
2
2
lim
n
1
1
n 2
5
n
2
ряд Un – также сходится.
Slide 6
Знакопеременные ряды
Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены
называются знакопеременными
Пусть дан знакопеременный ряд:
U
n
(1)
n 1
Обозначим:
S p 1 p 2 p 3 ... p n ...
(2)
– ряд составлен из положительных членов ряда (1) с сохранением
порядка их следования.
Обозначим:
S q 1 q 2 q 3 ... q n ...
(3)
– ряд составлен из модулей отрицательных членов ряда (1).
Рассмотрим также ряд U 1 U 2 U 3 ... U n ...
– ряд составлен из модулей всех членов ряда (1).
(4)
Slide 7
Знакопеременные ряды
Теорема
Если ряд (4) сходится, то сходятся и ряды (1), (2) и
(3). При этом сумма данного ряда (1) равна
S S S
Определения
Знакопеременный ряд (1) называется
сходящимся, если сходится ряд (4).
абсолютно
Ряд (1) называется условно сходящимся, если он сам
сходится, а ряд (4), расходится.
Slide 8
Знакочередующиеся ряды
Ряд называется знакочередующимся, если положительные и
отрицательные члены следуют друг за другом поочередно.
( 1)
n 1
an
n 1
(1)
положительные числа
(модули членов ряда)
Достаточным признаком сходимости знакочередующегося ряда
является признак Лейбница.
Теорема
Знакочередующийся ряд (1) сходится если:
a 1 a 2 a 3 ... a n
lim a n 0
n
(2)
(3)
При этом сумма этого ряда удовлетворяет условию:
0 S a1
Slide 9
Знакочередующиеся ряды
Доказательство
Вычислим отдельно частичные суммы ряда (1) с четным и
нечетным числом слагаемых.
S 2 n a1 a 2 a 3 a 4 ... a 2 n 1 a 2 n
( a1 a 2 ) ( a 3 a 4 ) ... ( a 2 n 1 a 2 n )
С учетом (2) выражения в скобках положительны, значит S2n > 0 ,
кроме того S2n монотонно возрастает т.к.
S 2 n 2 S 2 n ( a 2 n 1 a 2 n 2 ) S 2 n
Slide 10
Знакочередующиеся ряды
запишем S2n в виде:
S 2 n a1 a 2 a 3 a 4 ... a 2 n 1 a 2 n
a1 ( a 2 a 3 ) ( a 4 a 5 ) ... ( a 2 n 2 a n 1 ) a 2 n
Выражения в скобках положительны и а2n > 0 , поэтому
справедливо:
S 2n a1
Таким образом, последовательность S2n возрастает и ограничена
сверху, значит она имеет предел
lim S 2 n S
n
причем S > 0
Slide 11
Знакочередующиеся ряды
Рассмотрим частичные суммы для нечетного числа слагаемых:
S 2 n 1 S 2 n a 2 n 1
Найдем предел:
lim S 2 n 1 lim ( S 2 n a 2 n 1 ) lim S 2 n lim a 2 n 1 S
n
n
n
n
предел равен
нулю по условию
теоремы
Поэтому ряд сходится для любого числа слагаемых.
Slide 12
Знакочередующиеся ряды
Пример 1
( 1)
Исследовать на сходимость ряд:
n 1
1
1
n
n 1
1
2
1
3
1
...
4
Для этого ряда справедливо:
1
1
2
lim
n
1
...
3
1
1
n
ряд сходится.
0
n
Данный ряд сходится условно, так как ряд
n 1
1
n
,
составленный из модулей членов ряда - расходится
Slide 13
Знакочередующиеся ряды
Пример 2
( 1)
Исследовать ряд на абсолютную и условную
сходимость:
n
n 1
n 1
5n n 1
4
Исследуем ряд на сходимость по признаку Лейбница:
1
5
2
81
3
407
4
1283
1
lim
n
n
5n n 1
4
5
n
1
n
3
3
1
n
4
0
5
0
ряд сходится.
Slide 14
Знакочередующиеся ряды
Исследуем ряд, составленный из модулей:
5n
n 1
n
4
n 1
Используем предельный признак сравнения:
Un
n
5n n 1
4
l 4; m 1
Выберем для сравнения ряд: V n
1
n
3
k 4 1 3
обобщенный
гармонический ряд
сходится, так как
k = 3 >1.
n
lim 5 n
n
4
4
1
1
n 1 lim
lim
4
n
1
1
n 5n
5
1
n 1
5 3 4
3
n
n
n
n
Ряд сходится, значит исходный ряд сходится абсолютно.
Slide 15
Свойства абсолютно сходящихся рядов
Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд,
полученный из него перестановкой его членов также
сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.
Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 и S2 можно
почленно складывать (вычитать). При этом получается
абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1+S2
(S1 - S2).
Под произведением двух рядов
и
u 1 u 2 u 3 ...
v 1 v 2 v 3 ... понимают ряд вида:
u 1 v 1 u 1 v 2 u 2 v 1 u 1 v 3 u 2 v 2 u 3 v 1
Произведение абсолютно сходящихся рядов с суммами S1 и S2
есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1S2.
Slide 16
Оценка остатка ряда
Соотношение 0 < S < a1 из теоремы Лейбница позволяет
получить оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму
знакочередующегося ряда его частичной суммой Sn.
S a1 a 2 a 3 a 4 ... a n a n 1 a n 2
Sn
rn
Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также
знакочередующийся ряд:
rn a n 1 a n 2
Сумма этого ряда по модулю меньше первого члена ряда:
rn a n 1
Таким образом, абсолютная погрешность приближения: S S n
меньше первого отброшенного члена ряда.
Slide 17
Оценка остатка ряда
Пример
S5 1
Вычислить приближенно сумму ряда, взяв первых
пять членов ряда. Оценить погрешность
приближения.
n 1 1
(
1
)
n
n
n 1
1
2
2
1
3
3
1
4
4
1
5
1
5
1
4
S 0 . 7834
1
6
6
1
46656
0 . 00003
1
27
1
256
1
3125
0 . 7834