Transcript §1,2. Компл-е числа. Послед
Slide 1
Математический анализ
Раздел: Теория функций комплексного переменного
Тема: Комплексные числа. Последовательности
комплексных чисел
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
Slide 2
Глава.
Теория функций комплексного
переменного
§1. Комплексные числа (повторение)
1. Определение
Выражение вида x + iy (где x,yℝ) называется комплексным
числом (в алгебраической форме).
Обозначают: { z = x + iy | x,yℝ} = ℂ .
Называют: x – действительная часть z (обозначают: Rez )
y – мнимая часть z (обозначают: Imz ).
Если x = 0 , то к.ч. называют чисто мнимым.
Если y = 0 , то z = x – действительное число.
ℝ ℂ (говорят: множество комплексных чисел является
расширением множества действительных чисел)
Slide 3
2. Арифметические действия над к.ч.
Пусть z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 .
а) Сложение (вычитание) к.ч.:
z1 + z2 = ( x1 + x2 ) +i( y1 + y2 )
z1 – z2 = ( x1 – x2 ) +i( y1 – y2 )
б) Умножение к.ч.:
z1 z2 = ( x1 x2 – y1 y2 ) +i( x1 y2 + x2 y1 )
Частный случай – возведение в степень n ( nℕ ):
zn = ( x + iy )n = ( x + iy ) ( x + iy ) … ( x + iy )
в) Деление к.ч:
т.е.
z1
z2
x1 iy 1
x 2 iy 2
z1
z2
( x1 x 2 y 1 y 2 )
2
x2
z1 z 2
z2 z2
2
y2
i
( y 1 x 2 y 2 x1 )
,
где z2 = x2 – iy2 – комплексно сопряженное к z2
x2 y2
2
2
Slide 4
3. Геометрическая интерпретация к.ч.
Имеем:
z = x + iy ↔ M(x ;y)
y
M ( x; y )
x
Комплексная плоскость
Slide 5
Пусть на комплексной плоскости введена полярная система
координат
y
M ( x; y )
M ( r ; )
r
O
Тогда
x
x = rcos , y = rsin
z = x + iy = r (cos + i sin ) – тригонометрическая
форма записи к.ч.
НАЗЫВАЮТ: r – модуль к.ч. z , – аргумент к.ч. z
ОБОЗНАЧАЮТ:
| z | – модуль к.ч. z ;
argz – главное значение аргумента
(т.е. [0;2) или (–; ] );
Argz – все значения аргумента (т.е Argz = argz + 2k , kℤ ).
Slide 6
z1 = r1 (cos1 + i sin1 ) ,
Пусть
z2 = r2 (cos2 + i sin2 ) .
Тогда: 1) z1 z2 = r1r2 [cos(1 + 2) + i sin(1 + 2) ] ,
2)
z1
z2
r1
r2
[cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
3) zn = [r (cos + i sin )]n = rn [cos(n) + i sin(n) ]
(где nℕ )
4)
n
z
k
n
n
r (cos i sin ) { 0 , 2 , ... , n 1} , где
2 k
2 k
r cos
i sin
n
n
, k 0; n 1
Slide 7
4. Переход от алгебраической формы записи к.ч.
к тригонометрической
y
arctg
Пусть z = x + iy .
Тогда
z r
y
x
x y
2
x
2
x
arctg
y
x
arctg
y
y
arctg ,
åñëè x
x
y
, åñëè x
arctg
x
arg z
,
åñëè x
2
,
åñëè x
2
0;
0;
0, y 0 ;
0, y 0 .
arctg
y
x
Slide 8
§2. Последовательности комплексных чисел
1. Определения и основные утверждения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Последовательностью к.ч. называется
перенумерованное множество комплексных чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Последовательностью к.ч. называется
функция, заданная на множестве натуральных чисел и имеющая множеством значений некоторое множество комплексных чисел, т.е zn : ℕ Z , где Zℂ .
Принято обозначать:
n (или k) – аргумент последовательности
zn, wn – значения функции
Записывают последовательность:
{ z1, z2, …, zn, …} – развернутая запись;
{ zn } – короткая запись (где zn – общий член)
Slide 9
Пусть задана последовательность {zn} = {xn + iyn}
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число z0 = x0 + iy0ℂ называется пределом
последовательности { zn } если >0 Nℕ такое, что
| zn – z0 | < , n>N.
Записывают:
lim z n z 0 ,
n
zn z0
Говорят: последовательность {zn} сходится (стремиться) к z0.
Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся
(сходящейся к z0)
Последовательность, не имеющую предела, называют
расходящейся.
Slide 10
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ К.Ч.
Имеем: z0 = x0 + iy0 ↔ M0(x0 ,y0)
-окресностью числа z0 называют открытый
круг с центром в M0 и радиуса .
Обозначают: U(z0, )
если z = x + iy U(z0, ), то | M0M | < (где M(x ,y) )
( x x0 ) ( y y0 )
2
2
|z – z0| <
Таким образом U(z0, ) = { zℂ | |z – z0| < } (алгебраическое
определение -окрестности точки z0)
Slide 11
Если z 0 lim z n , то с геометрической точки зрения это означаn
ет, что в любой -окрестности точки z0 находятся все члены
последовательности {zn}, за исключением может быть
конечного их числа. (Геометрическая интерпретация предела
последовательности комплексных чисел).
z0 – точка «сгущения» последовательности { zn }.
Пусть задана последовательность {zn} = {xn + iyn}.
Имеем: {zn} ↔ {xn} , {yn} .
ТЕОРЕМА 1 (о связи сходимости последовательностей {zn},
{xn} , {yn} ).
Последовательность {zn} = {xn + iyn} сходится к z0 = x0 + iy0
сходятся последовательности {xn} , {yn} , причем
lim x n x 0 ,
n
lim y n y 0 .
n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Slide 12
Из теоремы 1 следует, что часть свойств последовательностей
действительных чисел остаются справедливыми для
последовательностей к.ч.
А именно, справедливы следующие утверждения:
1) Отбрасывание (добавление) конечного числа
последовательности не влияет на ее сходимость.
членов
2) Последовательность может иметь не более одного предела
3) Если { zn } z0 , то { | zn | } | z0 | .
4) Сходящаяся последовательность ограничена.
Slide 13
5) Пусть { zn } и { wn } – сходящиеся последовательности и
lim z n z 0 ,
n
lim w n w 0 .
n
Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже
являются сходящимися последовательностями, причем
a ) lim ( z n w n ) z 0 w 0 ;
n
b ) lim ( z n w n ) z 0 w 0 ;
n
zn
z0
c ) lim
n w
n w0
( w0 0 ) .
6) Если {zn} сходится к z0, то cℂ последовательность {czn}
тоже сходится, причем
lim ( cz n ) c lim z n cz 0 .
n
n
(Следствие свойства 5(b))
Slide 14
Пусть задана последовательность {zn} = {rn (cosn + i sinn )} .
Имеем: {zn} ↔ {rn} , {n} .
ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие сходимости последовательности к.ч.).
Пусть
lim rn r ,
lim n .
n
n
Тогда последовательность {zn}={rn (cosn + i sinn )} – сходится, причем
lim z n r (cos i sin ) .
n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно
Slide 15
Замечание. Утверждение обратное теореме 2 неверно.
( 1) n
{zn }
n
Например:
но
1
{zn }
n
i 0 ,
n
n
( 1)
( 1)
cos
i sin
2
2
( 1)
,
n
lim n lim
n
n
.
2
ПРИМЕР. С помощью теоремы 2, найти предел последовательности
n
z
z n 1 , где z = x + iy .
n
Математический анализ
Раздел: Теория функций комплексного переменного
Тема: Комплексные числа. Последовательности
комплексных чисел
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
Slide 2
Глава.
Теория функций комплексного
переменного
§1. Комплексные числа (повторение)
1. Определение
Выражение вида x + iy (где x,yℝ) называется комплексным
числом (в алгебраической форме).
Обозначают: { z = x + iy | x,yℝ} = ℂ .
Называют: x – действительная часть z (обозначают: Rez )
y – мнимая часть z (обозначают: Imz ).
Если x = 0 , то к.ч. называют чисто мнимым.
Если y = 0 , то z = x – действительное число.
ℝ ℂ (говорят: множество комплексных чисел является
расширением множества действительных чисел)
Slide 3
2. Арифметические действия над к.ч.
Пусть z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 .
а) Сложение (вычитание) к.ч.:
z1 + z2 = ( x1 + x2 ) +i( y1 + y2 )
z1 – z2 = ( x1 – x2 ) +i( y1 – y2 )
б) Умножение к.ч.:
z1 z2 = ( x1 x2 – y1 y2 ) +i( x1 y2 + x2 y1 )
Частный случай – возведение в степень n ( nℕ ):
zn = ( x + iy )n = ( x + iy ) ( x + iy ) … ( x + iy )
в) Деление к.ч:
т.е.
z1
z2
x1 iy 1
x 2 iy 2
z1
z2
( x1 x 2 y 1 y 2 )
2
x2
z1 z 2
z2 z2
2
y2
i
( y 1 x 2 y 2 x1 )
,
где z2 = x2 – iy2 – комплексно сопряженное к z2
x2 y2
2
2
Slide 4
3. Геометрическая интерпретация к.ч.
Имеем:
z = x + iy ↔ M(x ;y)
y
M ( x; y )
x
Комплексная плоскость
Slide 5
Пусть на комплексной плоскости введена полярная система
координат
y
M ( x; y )
M ( r ; )
r
O
Тогда
x
x = rcos , y = rsin
z = x + iy = r (cos + i sin ) – тригонометрическая
форма записи к.ч.
НАЗЫВАЮТ: r – модуль к.ч. z , – аргумент к.ч. z
ОБОЗНАЧАЮТ:
| z | – модуль к.ч. z ;
argz – главное значение аргумента
(т.е. [0;2) или (–; ] );
Argz – все значения аргумента (т.е Argz = argz + 2k , kℤ ).
Slide 6
z1 = r1 (cos1 + i sin1 ) ,
Пусть
z2 = r2 (cos2 + i sin2 ) .
Тогда: 1) z1 z2 = r1r2 [cos(1 + 2) + i sin(1 + 2) ] ,
2)
z1
z2
r1
r2
[cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
3) zn = [r (cos + i sin )]n = rn [cos(n) + i sin(n) ]
(где nℕ )
4)
n
z
k
n
n
r (cos i sin ) { 0 , 2 , ... , n 1} , где
2 k
2 k
r cos
i sin
n
n
, k 0; n 1
Slide 7
4. Переход от алгебраической формы записи к.ч.
к тригонометрической
y
arctg
Пусть z = x + iy .
Тогда
z r
y
x
x y
2
x
2
x
arctg
y
x
arctg
y
y
arctg ,
åñëè x
x
y
, åñëè x
arctg
x
arg z
,
åñëè x
2
,
åñëè x
2
0;
0;
0, y 0 ;
0, y 0 .
arctg
y
x
Slide 8
§2. Последовательности комплексных чисел
1. Определения и основные утверждения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Последовательностью к.ч. называется
перенумерованное множество комплексных чисел.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Последовательностью к.ч. называется
функция, заданная на множестве натуральных чисел и имеющая множеством значений некоторое множество комплексных чисел, т.е zn : ℕ Z , где Zℂ .
Принято обозначать:
n (или k) – аргумент последовательности
zn, wn – значения функции
Записывают последовательность:
{ z1, z2, …, zn, …} – развернутая запись;
{ zn } – короткая запись (где zn – общий член)
Slide 9
Пусть задана последовательность {zn} = {xn + iyn}
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Число z0 = x0 + iy0ℂ называется пределом
последовательности { zn } если >0 Nℕ такое, что
| zn – z0 | < , n>N.
Записывают:
lim z n z 0 ,
n
zn z0
Говорят: последовательность {zn} сходится (стремиться) к z0.
Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся
(сходящейся к z0)
Последовательность, не имеющую предела, называют
расходящейся.
Slide 10
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ К.Ч.
Имеем: z0 = x0 + iy0 ↔ M0(x0 ,y0)
-окресностью числа z0 называют открытый
круг с центром в M0 и радиуса .
Обозначают: U(z0, )
если z = x + iy U(z0, ), то | M0M | < (где M(x ,y) )
( x x0 ) ( y y0 )
2
2
|z – z0| <
Таким образом U(z0, ) = { zℂ | |z – z0| < } (алгебраическое
определение -окрестности точки z0)
Slide 11
Если z 0 lim z n , то с геометрической точки зрения это означаn
ет, что в любой -окрестности точки z0 находятся все члены
последовательности {zn}, за исключением может быть
конечного их числа. (Геометрическая интерпретация предела
последовательности комплексных чисел).
z0 – точка «сгущения» последовательности { zn }.
Пусть задана последовательность {zn} = {xn + iyn}.
Имеем: {zn} ↔ {xn} , {yn} .
ТЕОРЕМА 1 (о связи сходимости последовательностей {zn},
{xn} , {yn} ).
Последовательность {zn} = {xn + iyn} сходится к z0 = x0 + iy0
сходятся последовательности {xn} , {yn} , причем
lim x n x 0 ,
n
lim y n y 0 .
n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Slide 12
Из теоремы 1 следует, что часть свойств последовательностей
действительных чисел остаются справедливыми для
последовательностей к.ч.
А именно, справедливы следующие утверждения:
1) Отбрасывание (добавление) конечного числа
последовательности не влияет на ее сходимость.
членов
2) Последовательность может иметь не более одного предела
3) Если { zn } z0 , то { | zn | } | z0 | .
4) Сходящаяся последовательность ограничена.
Slide 13
5) Пусть { zn } и { wn } – сходящиеся последовательности и
lim z n z 0 ,
n
lim w n w 0 .
n
Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже
являются сходящимися последовательностями, причем
a ) lim ( z n w n ) z 0 w 0 ;
n
b ) lim ( z n w n ) z 0 w 0 ;
n
zn
z0
c ) lim
n w
n w0
( w0 0 ) .
6) Если {zn} сходится к z0, то cℂ последовательность {czn}
тоже сходится, причем
lim ( cz n ) c lim z n cz 0 .
n
n
(Следствие свойства 5(b))
Slide 14
Пусть задана последовательность {zn} = {rn (cosn + i sinn )} .
Имеем: {zn} ↔ {rn} , {n} .
ТЕОРЕМА 2 (достаточное условие сходимости последовательности к.ч.).
Пусть
lim rn r ,
lim n .
n
n
Тогда последовательность {zn}={rn (cosn + i sinn )} – сходится, причем
lim z n r (cos i sin ) .
n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно
Slide 15
Замечание. Утверждение обратное теореме 2 неверно.
( 1) n
{zn }
n
Например:
но
1
{zn }
n
i 0 ,
n
n
( 1)
( 1)
cos
i sin
2
2
( 1)
,
n
lim n lim
n
n
.
2
ПРИМЕР. С помощью теоремы 2, найти предел последовательности
n
z
z n 1 , где z = x + iy .
n