Transcript ppsx
Slide 1
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Slide 2
• Определение функции нескольких
переменных
• Геометрическое изображение функции
двух переменных
• Частное и полное приращение функции
• Предел и непрерывность функции
нескольких переменных
Slide 3
§ 1. Определение функции нескольких переменных
y
S = xy
x
z
V = xyz
x
y
Slide 4
Определение 1.1 Если каждой паре (x,y) значений
двух, независимых друг от друга, переменных
величин x и y, из некоторой области их изменения D,
соответствует определенной значение величины z, то
говорят, что z есть функция двух независимых
переменных x и y, определенная в области D.
z f x, y
или
z F x, y
Slide 5
Способы задания функции двух переменных
• Табличный (таблица)
• Аналитический (формула)
• Графический (график)
• Словесный (словесное описание функциональной
зависимости)
S = xy
x
0
1
1,5
2
3
1
0
1
1,5
2
3
2
0
2
3
4
6
3
0
3
4,5
6
9
4
0
4
6
8
12
y
Slide 6
Определение 1.2 Совокупность пар (x,y) значений x и y, при
которых определяется функция z = f(x, y), называется
областью определения или областью существования этой
функции.
Геометрически: если каждую пару значений x и y изобразить
точкой М(х, у) в плоскости Оху, то область определения
функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на
плоскости.
Slide 7
• Линия, ограничивающая область определения – граница
области
• Точки области, не лежащие на границе – внутренние точки
области
• Область, состоящая из одних внутренних точек – открытая
(незамкнутая)
• Если к области относятся и точки границы – замкнутая
область
Определение 1.3 Область называется ограниченной,
если существует такое постоянное С, что расстояние
любой точки М области от начала координат О
меньше С, т. е. |OM| < C.
Slide 8
Пример 1:
Определить естественную область определения
функции z = 2x – y
Аналитически выражение z = 2x – y имеет смысл при любых
значениях x и y. Следовательно, естественной областью
определения функции является вся плоскость Оху.
у
О
Рис. 1
х
Slide 9
Определить естественную область определения
2
2
функции
Пример 2:
z
1 x y
Для того, чтобы z имело действительное значение, нужно, чтобы
под корнем стояло неотрицательное число, т. е. х и у должны
удовлетворять неравенству
zx y 0
2
2
x y 1
2
или
2
Все точки М(х, у), координаты которых удовлетворяют
указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в
начале координат и на границе этого круга.
у
1
О
1
Рис. 2
х
Slide 10
Пример 3:
Определить естественную область определения
функции z ln x y
Так как логарифмы определены только для положительных
чисел, то должно выполняться неравенство
x y 0
или
y x
у
Это значит, что областью
определения функции z
является половина плоскости,
расположенная над прямой
О
у = – х, не включая самой
прямой (рис. 3)
Рис. 3
х
Slide 11
Площадь треугольника S с основанием х и
высотой у.
Пример 4:
S
у
х
xy
2
Рис. 4
Областью определения этой функции является область х > 0,
у > 0 (т. к. основание треугольника и его высота не могут ни
отрицательными, ни нулем).
Областью определения рассматриваемой функции не совпадает
с естественной областью того аналитического выражения, с
помощью которого задается функция.
Slide 12
Определение 1.3 Если каждой рассматриваемой
совокупности значений переменных x, y, z, … , u, t
соответствует значение переменной w, то w называют
функцией независимых переменных x, y, z, … , u, t и
записывают
w F x , y , z ,..., u , t
или
w f x , y , z ,..., u , t .
Область определения функции четырех или большего числа
переменных не допускает простого геометрического
истолкования.
Slide 13
§ 2. Геометрическое изображение функции
нескольких переменных
Рассмотрим функцию z f x , y ,
определенную в области G на плоскости Оху, и систему
прямоугольных декартовых координат Охуz (рис. 5).
z
P
Получили в пространстве
z=f(x,y)
у
O
у
х
х
G
Рис. 5
точку Р с координатами
х, у, z = f(x, y).
Slide 14
Определение 2.1 Геометрическое место точек Р, координаты
которых удовлетворяют уравнению z f x , y ,
называется
графиком функции двух переменных.
Уравнение
z f x , y ,
в пространстве определяет
некоторую поверхность. Т. о., графиком функции двух
переменных является поверхность, проектирующаяся на
плоскость Оху в область определения функции.
Параболоид
вращения
z x y
2
2
Рис. 6
Slide 15
§ 3. Частное и полное приращение функции
нескольких переменных
Рассмотрим функцию z f x , y .
Величину x z f x x , y f x , y
называют частным приращением z по х (у = const).
Величину y z f x , y y f x , y
называют частным приращением z по y (x = const).
Величину
z f x x, y y f x, y
называют полным приращением функции z.
Slide 16
§ 4. Предел и непрерывность функции нескольких
переменных
Определение 4.1 Окрестностью радиуса r точки M0(x0, y0)
называется совокупность всех точек (х, у), удовлетворяющих
неравенству
x x 0 2 y y 0 2
r,
т. е. совокупность всех
точек, лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке
M0(x0, y0).
y
M0(x0,y0)
M(x,y) r
O
Рис. 7
x
Slide 17
Замечание: Если говорят, что функция f(x, y) обладает какимлибо свойством «вблизи точки (х0, у0)» или «в окрестности
точки (х0, у0)», то подразумевают, что найдется такой круг с
центром (х0, у0), во всех точках которого данная функция
обладает указанным свойством.
Определение 4.2 Число А называется пределом функции f(x, y)
при стремлении точки M(x, y) к точке M0(x0, y0), если для
каждого ε > 0 найдется такое число r > 0, что для всех точек
M(x, y), для которых выполняется неравенство
Имеет место неравенство
f x, y A .
lim f x , y A
x x0
y y0
MM
0
r,
Slide 18
Определение 4.3 Пусть точка M0(x0, y0) принадлежит области
определения функции f(x, y). Функция z = f(x, y) называется
непрерывной в точке M0(x0, y0), если имеет место равенство
lim f x , y f x 0 , y 0 ,
x x0
y y0
причем точка M(x, y) стремится к точке M0(x0, y0) произвольным
образом, оставаясь в области определения функции
Определение 4.4 Функция, непрерывная в каждой точке
некоторой области называется непрерывной в области.
Slide 19
Пример 6: Вычислить предел
3x 4 y
A lim
x, y 0,2
f x, y
1 ln x y
3x 4 y
Решение: В точке (0; 2) функция
1 ln x y
определена, т. к. можно вычислить значение функции в этой
точке. Поэтому точка (0; 2) является точкой, принадлежащей
области определения функции. Тогда для вычисления предела
воспользуемся равенством lim f x , y f x 0 , y 0 .
x , y x0 , y0
Получим:
A lim
x, y 0,2
3x 4 y
1 ln x y
30 42
1 ln 0 2
8
1 ln 2
.
Ответ: A
8
1 ln 2
.
Slide 20
Пример 7: Вычислить предел
A lim
sin xy
x , y 0 ,3
x
Решение: Точка (0; 3) не принадлежит области определения
функции, т. к. при х = 0, имеет место неопределенность 0/0.
Поэтому умножим и разделим числитель и знаменатель дроби
на величину у и произведем замену u = xy.
Получим:
A lim
x , y 0 ,3
sin xy
lim
y sin xy
x , y 0 ,3
x
sin u ~ u lim
x , y 0 ,3
y u
u
xy
lim
x , y 0 ,3
lim
y sin u
x , y 0 ,3
u
y 3.
Ответ:
A 3.
Slide 21
Определение 4.5 Если в некоторой точке N0(x0, y0) не
выполняется условие lim f x , y f x , y , то точка N0(x0, y0)
0
x x0
y y0
0
называется точкой разрыва функции z = f(x, y).
Условие непрерывности может не выполняться в следующих
случаях:
1. z = f(x, y) определена во всех точках некоторой
окрестности точки N0(x0, y0), за исключением самой точки
N0(x0, y0);
2. z = f(x, y) определена во всех точках окрестности
f x , y ;
N0(x0, y0), но не существует предела xlim
x
0
y y0
3. z = f(x, y) определена во всех точках окрестности точки
f x , y , но lim f x , y f x , y .
N0(x0, y0) и существует предел xlim
0
0
x
0
y y0
x x0
y y0
Slide 22
Пример 6: Функция
z x y
2
2
непрерывна при любых
значениях х и у, т. е. в любой точке плоскости Оху.
Slide 23
Свойства функции нескольких переменных, непрерывной
в замкнутой и ограниченной области
Свойство 1. Непрерывная функция в замкнутой
ограниченной области D достигает по крайней мере один
раз наибольшего значения М и наименьшего значения m
Свойство 2. Если функция f(x, y, …) непрерывна в замкнутой
и ограниченной области D и если М и m – наибольшее и
наименьшее значение функции f(x, y, …) в области, то для
любого числа µ, удовлетворяющего условию m < µ < М,
найдется в области такая точка N*(x0*, y0*, …), что будет
выполняться равенство f(x0*, y0*, …) = µ.
Slide 24
Следствие свойства 2. Если функция f(x, y, …) непрерывна
в замкнутой и ограниченной области и принимает как
положительные, так и отрицательные значения, то внутри
области найдутся точки, в которых функция f(x, y, …)
обращается в нуль.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Slide 2
• Определение функции нескольких
переменных
• Геометрическое изображение функции
двух переменных
• Частное и полное приращение функции
• Предел и непрерывность функции
нескольких переменных
Slide 3
§ 1. Определение функции нескольких переменных
y
S = xy
x
z
V = xyz
x
y
Slide 4
Определение 1.1 Если каждой паре (x,y) значений
двух, независимых друг от друга, переменных
величин x и y, из некоторой области их изменения D,
соответствует определенной значение величины z, то
говорят, что z есть функция двух независимых
переменных x и y, определенная в области D.
z f x, y
или
z F x, y
Slide 5
Способы задания функции двух переменных
• Табличный (таблица)
• Аналитический (формула)
• Графический (график)
• Словесный (словесное описание функциональной
зависимости)
S = xy
x
0
1
1,5
2
3
1
0
1
1,5
2
3
2
0
2
3
4
6
3
0
3
4,5
6
9
4
0
4
6
8
12
y
Slide 6
Определение 1.2 Совокупность пар (x,y) значений x и y, при
которых определяется функция z = f(x, y), называется
областью определения или областью существования этой
функции.
Геометрически: если каждую пару значений x и y изобразить
точкой М(х, у) в плоскости Оху, то область определения
функции изобразится в виде некоторой совокупности точек на
плоскости.
Slide 7
• Линия, ограничивающая область определения – граница
области
• Точки области, не лежащие на границе – внутренние точки
области
• Область, состоящая из одних внутренних точек – открытая
(незамкнутая)
• Если к области относятся и точки границы – замкнутая
область
Определение 1.3 Область называется ограниченной,
если существует такое постоянное С, что расстояние
любой точки М области от начала координат О
меньше С, т. е. |OM| < C.
Slide 8
Пример 1:
Определить естественную область определения
функции z = 2x – y
Аналитически выражение z = 2x – y имеет смысл при любых
значениях x и y. Следовательно, естественной областью
определения функции является вся плоскость Оху.
у
О
Рис. 1
х
Slide 9
Определить естественную область определения
2
2
функции
Пример 2:
z
1 x y
Для того, чтобы z имело действительное значение, нужно, чтобы
под корнем стояло неотрицательное число, т. е. х и у должны
удовлетворять неравенству
zx y 0
2
2
x y 1
2
или
2
Все точки М(х, у), координаты которых удовлетворяют
указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром в
начале координат и на границе этого круга.
у
1
О
1
Рис. 2
х
Slide 10
Пример 3:
Определить естественную область определения
функции z ln x y
Так как логарифмы определены только для положительных
чисел, то должно выполняться неравенство
x y 0
или
y x
у
Это значит, что областью
определения функции z
является половина плоскости,
расположенная над прямой
О
у = – х, не включая самой
прямой (рис. 3)
Рис. 3
х
Slide 11
Площадь треугольника S с основанием х и
высотой у.
Пример 4:
S
у
х
xy
2
Рис. 4
Областью определения этой функции является область х > 0,
у > 0 (т. к. основание треугольника и его высота не могут ни
отрицательными, ни нулем).
Областью определения рассматриваемой функции не совпадает
с естественной областью того аналитического выражения, с
помощью которого задается функция.
Slide 12
Определение 1.3 Если каждой рассматриваемой
совокупности значений переменных x, y, z, … , u, t
соответствует значение переменной w, то w называют
функцией независимых переменных x, y, z, … , u, t и
записывают
w F x , y , z ,..., u , t
или
w f x , y , z ,..., u , t .
Область определения функции четырех или большего числа
переменных не допускает простого геометрического
истолкования.
Slide 13
§ 2. Геометрическое изображение функции
нескольких переменных
Рассмотрим функцию z f x , y ,
определенную в области G на плоскости Оху, и систему
прямоугольных декартовых координат Охуz (рис. 5).
z
P
Получили в пространстве
z=f(x,y)
у
O
у
х
х
G
Рис. 5
точку Р с координатами
х, у, z = f(x, y).
Slide 14
Определение 2.1 Геометрическое место точек Р, координаты
которых удовлетворяют уравнению z f x , y ,
называется
графиком функции двух переменных.
Уравнение
z f x , y ,
в пространстве определяет
некоторую поверхность. Т. о., графиком функции двух
переменных является поверхность, проектирующаяся на
плоскость Оху в область определения функции.
Параболоид
вращения
z x y
2
2
Рис. 6
Slide 15
§ 3. Частное и полное приращение функции
нескольких переменных
Рассмотрим функцию z f x , y .
Величину x z f x x , y f x , y
называют частным приращением z по х (у = const).
Величину y z f x , y y f x , y
называют частным приращением z по y (x = const).
Величину
z f x x, y y f x, y
называют полным приращением функции z.
Slide 16
§ 4. Предел и непрерывность функции нескольких
переменных
Определение 4.1 Окрестностью радиуса r точки M0(x0, y0)
называется совокупность всех точек (х, у), удовлетворяющих
неравенству
x x 0 2 y y 0 2
r,
т. е. совокупность всех
точек, лежащих внутри круга радиуса r с центром в точке
M0(x0, y0).
y
M0(x0,y0)
M(x,y) r
O
Рис. 7
x
Slide 17
Замечание: Если говорят, что функция f(x, y) обладает какимлибо свойством «вблизи точки (х0, у0)» или «в окрестности
точки (х0, у0)», то подразумевают, что найдется такой круг с
центром (х0, у0), во всех точках которого данная функция
обладает указанным свойством.
Определение 4.2 Число А называется пределом функции f(x, y)
при стремлении точки M(x, y) к точке M0(x0, y0), если для
каждого ε > 0 найдется такое число r > 0, что для всех точек
M(x, y), для которых выполняется неравенство
Имеет место неравенство
f x, y A .
lim f x , y A
x x0
y y0
MM
0
r,
Slide 18
Определение 4.3 Пусть точка M0(x0, y0) принадлежит области
определения функции f(x, y). Функция z = f(x, y) называется
непрерывной в точке M0(x0, y0), если имеет место равенство
lim f x , y f x 0 , y 0 ,
x x0
y y0
причем точка M(x, y) стремится к точке M0(x0, y0) произвольным
образом, оставаясь в области определения функции
Определение 4.4 Функция, непрерывная в каждой точке
некоторой области называется непрерывной в области.
Slide 19
Пример 6: Вычислить предел
3x 4 y
A lim
x, y 0,2
f x, y
1 ln x y
3x 4 y
Решение: В точке (0; 2) функция
1 ln x y
определена, т. к. можно вычислить значение функции в этой
точке. Поэтому точка (0; 2) является точкой, принадлежащей
области определения функции. Тогда для вычисления предела
воспользуемся равенством lim f x , y f x 0 , y 0 .
x , y x0 , y0
Получим:
A lim
x, y 0,2
3x 4 y
1 ln x y
30 42
1 ln 0 2
8
1 ln 2
.
Ответ: A
8
1 ln 2
.
Slide 20
Пример 7: Вычислить предел
A lim
sin xy
x , y 0 ,3
x
Решение: Точка (0; 3) не принадлежит области определения
функции, т. к. при х = 0, имеет место неопределенность 0/0.
Поэтому умножим и разделим числитель и знаменатель дроби
на величину у и произведем замену u = xy.
Получим:
A lim
x , y 0 ,3
sin xy
lim
y sin xy
x , y 0 ,3
x
sin u ~ u lim
x , y 0 ,3
y u
u
xy
lim
x , y 0 ,3
lim
y sin u
x , y 0 ,3
u
y 3.
Ответ:
A 3.
Slide 21
Определение 4.5 Если в некоторой точке N0(x0, y0) не
выполняется условие lim f x , y f x , y , то точка N0(x0, y0)
0
x x0
y y0
0
называется точкой разрыва функции z = f(x, y).
Условие непрерывности может не выполняться в следующих
случаях:
1. z = f(x, y) определена во всех точках некоторой
окрестности точки N0(x0, y0), за исключением самой точки
N0(x0, y0);
2. z = f(x, y) определена во всех точках окрестности
f x , y ;
N0(x0, y0), но не существует предела xlim
x
0
y y0
3. z = f(x, y) определена во всех точках окрестности точки
f x , y , но lim f x , y f x , y .
N0(x0, y0) и существует предел xlim
0
0
x
0
y y0
x x0
y y0
Slide 22
Пример 6: Функция
z x y
2
2
непрерывна при любых
значениях х и у, т. е. в любой точке плоскости Оху.
Slide 23
Свойства функции нескольких переменных, непрерывной
в замкнутой и ограниченной области
Свойство 1. Непрерывная функция в замкнутой
ограниченной области D достигает по крайней мере один
раз наибольшего значения М и наименьшего значения m
Свойство 2. Если функция f(x, y, …) непрерывна в замкнутой
и ограниченной области D и если М и m – наибольшее и
наименьшее значение функции f(x, y, …) в области, то для
любого числа µ, удовлетворяющего условию m < µ < М,
найдется в области такая точка N*(x0*, y0*, …), что будет
выполняться равенство f(x0*, y0*, …) = µ.
Slide 24
Следствие свойства 2. Если функция f(x, y, …) непрерывна
в замкнутой и ограниченной области и принимает как
положительные, так и отрицательные значения, то внутри
области найдутся точки, в которых функция f(x, y, …)
обращается в нуль.