Transcript A & B

Законы логики
Ассоциативность
А V (B V C)=( A V B ) V C= A V B V C
А & (B & C)=( A & B ) & C= A & B & C
Независимость от порядка выполнения однотипных действий
Коммутативность
AV B = B VA
A&B =B &A
Независимость от перестановок
Идемпотентность
AVA=A
A&A=A
Отсутствие степеней и коэффициентов
Инволюция - Двойная инверсия
¬ (¬ А ) = А
Тигр естистинными
мясо - А и
Действия с абсолютноабсолютно-ложными
высказываниями
Тигр НЕ ест мясо. - ¬А
AV 1 = 1
A&1= A
V 0 =тигр
A НЕ
Неправда,A что
ест мясо. A-&¬0 (¬
= 0А)
Дистрибутивность
Av(B&C)=(AvB)&(AvC)
(Av B )& C =A& C v B & C
Правила раскрытия скобок
Закон исключенного
третьего
А v ¬A = 1
Лампочка горит
ИЛИ НЕ горит.
Закон
противоречия
А & ¬A = 0
Я пойду в кино И
НЕ пойду в кино
Поглощение
AvA&B=A
AvA& B =A&( 1 v B ) =A
дистрибутивность
A& (Av B ) =A
Действие с абсолютноистинным
высказыванием
A&(Av B ) =A&AvA&B =AvA&B =A& (1 v B )=A
идемпотентность
дистрибутивность
Поглощение отрицания
Действие с абсолютноистинным
высказыванием
A v ¬A & B = A v B
Закон исключенного
третьего
A v ¬A & B =( A v ¬ A) & ( B v A ) = 1 & ( A v B ) = A v B
дистрибутивность
Действие с абсолютноистинным высказыванием
A & ( ¬A v B ) = A & B
AДокажите
& ( ¬A v самостоятельно
B ) = A & ¬A v A & B = 0 v A & B = A & B
Законы де Моргана
Отрицание
одновременной
истинности
Отрицание
вариантов
¬ (Av B ) =¬A& ¬ B
¬ (A& B ) =¬Av ¬ B
A
B
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
A
B
Av B ¬ (Av B ) ¬A ¬ B ¬A& ¬ B
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
A& B ¬ (A& B ) ¬A ¬ B ¬Av ¬ B
0
Упростите выражение
( ¬ A v B ) & (¬ A) & B & ¬ ( A & B ) v ( A v ¬ B ) =
( ¬ A v B ) & (¬ A) = ¬ A
1
- закон поглощения
(¬ A) & B & ¬ ( A & B ) v ( A v ¬ B ) =
¬(A&B ) = ¬Av ¬B
- закон де Моргана
B & (¬ A) & (¬ A v ¬ B) v ( A v ¬ B ) =
B & (¬ A) v A v ¬ B =
A v B & (¬ A) = A v B - поглощение отрицания
B v Av¬B = AvBv¬B=
Av1=1
B v ¬ B = 1 - закон исключенного третьего
Определение логического выражения по таблице
истинности
Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция
нескольких переменных, взятых с отрицанием или без
отрицания, причем среди переменных могут быть
одинаковые.
X & Y & ¬X
X v Y & A & ¬X
A & B & C & ¬B
Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция
нескольких переменных, взятых с отрицанием или без
отрицания, причем среди переменных могут быть
одинаковые.
A v Y v ¬X
A v B v C v ¬B
A v B & ¬A
Дизъюнкция элементарных конъюнкций – дизъюнктивная
нормальная форма (ДНФ)
X&Yv¬X&C
A&BvXv ¬A&¬B
Конъюнкция элементарных дизъюнкций – конъюнктивная
нормальная форма (КНФ)
( X v Y ) & (¬X v C )
( X v A ) & (¬A v B ) & X
Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ)
называется ДНФ , в которой нет одинаковых элементарных
конъюнкций и все конъюнкции состоят из одного и того же набора
переменных, в который каждая переменная входит только один раз
(возможно, с отрицанием).
X&Y&Z v ¬X&Y&Z
X&Y v X v ¬X&Y&Z
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ)
называется КНФ , в которой нет одинаковых элементарных
дизъюнкций и все дизъюнкции состоят из одного и того же набора
переменных, в который каждая переменная входит только один раз
(возможно, с отрицанием).
(A v B v C ) & (¬A v B v ¬C)
(A v B v C ) & (¬A v B)
Определение логического выражения по таблице
истинности
Теорема:
Любую логическую функцию, кроме констант 0 и 1 ,
можно представить в виде как СДНФ, так и СКНФ.
Выписываем
Получение
дляконъюнкции
этих
СДНФ
строк
поF(А,
конъюнкцию
таблице
переменных.
4.2.
3.Это
Всеиполученные
есть
искомая
функция
связываем
В). истинности
в всех
дизъюнкцию.
Если значение переменной в данной строке = 1 , то в
1. Отмечаемвключают
те строки
таблицы
в последнем
(¬Асаму
& B)
v истинности,
(А & ¬B)
конъюнкцию
переменную,
если
= 0, то ее
столбце которых стоит 1.
отрицание
А
В
F(A,B)
(¬А & B) v (А & ¬B)
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
*
*
¬А & B
А & ¬B
Получение СКНФ по таблице истинности.
А
В
F(A,B)
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
(¬А v B) & (¬А v ¬B)
*
AvB
*
¬A v¬ B
0
1
1
0
3.Это
Всеиполученные
связываем
в всех
конъюнкцию.
4.2.
есть те
искомая
длядизъюнкции
этих
функция
строкF(А,
дизъюнкцию
В).
1.Выписываем
Отметим
строки
таблицы,
в последнем
столбце
переменных.
которых стоит 0. (¬А v B) & (¬А v ¬B)
Если значение переменной в данной строке = 0 , то в
конъюнкцию включают саму переменную, если = 1, то
ее отрицание
Алгоритмы получения СДНФ и СКНФ по таблице истинности
СДНФ
СКНФ
1. Отмечаем * строки таблицы,в последнем столбце
которых стоит
1
0
2. Выписываем для каждой отмеченной строки
комбинацию через знаки
& (конъюнкция)
V ( дизъюнкция)
и расставляем следующим образом знаки отрицания
Если вход 1, то X
Если вход 0, то ¬X
Если вход 0, то X
Если вход 1, то ¬X
3. Все полученные выражения связать операцией
Дизъюнкцией V
Конъюнкцией &