Slide 1

Теоремы алгебры логики
Свойства констант:
_
_
1. 0 =1, 1 =0.
2. Х+0=Х, Х1=Х
3. Х+1=1, Х0=0
Законы идемпотентности:
4. Х+Х=Х , ХХ=Х
Законы исключения третьего и вторая форма
закона непротиворечия:
_
_
5. Х+Х=1, ХХ =0.


Slide 2

Закон двойного отрицания:
=

6.Х=Х.
Законы коммутативности:
7. Х+Y=Y+X, XY=YX.
Законы поглощения:
8. X+XY=X, X(X+Y)=X
_
_
9. X+XY=X+Y , X(X+Y)=XY.


Slide 3

Законы де Моргана:
____ _ _ __ _ _
10. (X+Y)=XY, XY=X+Y.
Законы ассоциативности:
11. (X+Y)+Z=X+(Y+Z)=X+Y+Z,
(XY)Z= X(YZ)= XYZ
Законы дистрибутивности:
12. X+YZ=(X+Y)(X+Z), X(Y+Z)= XY+ XZ.


Slide 4

Упрощение функций и
построение таблиц истинности.
В задачах данного раздела требуется
упростить логическую функцию
F(X1,X2,X3) и построить таблицу
истинности. В решениях в фигурных
скобках указаны номера теорем,
которые применяются для упрощения
выражений.


Slide 5

Задача 1
F(X1,X2,X3)=X3(X2X1+X3)
Решение:
X3(X2X1+X3)={10}=
= X3(X2X1X3)={11,6}=
=X3X2X1X3={4,7} = X1X2X3.

Свойства констант:
_
_
1. 0=1, 1=0.
2. Х+0=Х, Х1=Х
3. Х+1=1, Х0=0.
Законы идемпотентности:
4. Х+Х=Х , ХХ=Х
Законы исключения третьего и
вторая форма закона
непротворечия:
_
_
5. Х+Х=1, ХХ=0.
Закон двойного отрицания:
=
6.Х=Х.
Законы коммутативности:
7. Х+Y=Y+X, XY=YX.
Законы поглощения:
8. X+XY=X, X(X+Y)=X
_
_
9. X+XY=X+Y , X(X+Y)=XY.
Законы де Моргана:
____ _ _ __ _ _
10. (X+Y)= XY, XY=X+Y.
Законы ассоциативности:
11. (X+Y)+Z=X+(Y+Z)=X+Y+Z, (XY)Z=
X(YZ)= XYZ
Законы дистрибутивности:
12. X+YZ=(X+Y)(X+Z), X(Y+Z)= XY+
XZ.


Slide 6

Строим таблицу истинности для
полученного выражения
F(X1,X2,X3)= X1X2X3
Х1
0
0
0
0
1
1
1
1

Х2
0
0
1
1
0
0
1
1

Х3
0
1
0
1
0
1
0
1

F(X1,X2,X3)

0
1
0
1
0
1
0
0

F(0,0,0)=0 0 0=0
F(0,0,1)=0 0 1=1
F(0,1,0)=0 1 0=0
F(0,1,1)=0 1 1=1
F(1,0,0)=1 0 0=0
F(1,0,1)=1 0 1=1
F(1,1,0)=1 1 0=0
F(1,1,1)=1 1 1=0


Slide 7

Задача 2
F(X1,X2,X3)=X1X2X3+X1+

X2+X3)
Решение: {12} =
X1(X2X3+1)+X2+X3={3,2}=
= X1+X2+X3

Свойства констант:
_
_
1. 0=1, 1=0.
2. Х+0=Х, Х1=Х
3. Х+1=1, Х0=0.
Законы идемпотентности:
4. Х+Х=Х , ХХ=Х
Законы исключения третьего и
вторая форма закона
непротворечия:
_
_
5. Х+Х=1, ХХ=0.
Закон двойного отрицания:
=
6.Х=Х.
Законы коммутативности:
7. Х+Y=Y+X, XY=YX.
Законы поглощения:
8. X+XY=X, X(X+Y)=X
_
_
9. X+XY=X+Y , X(X+Y)=XY.
Законы де Моргана:
____ _ _ __ _ _
10. (X+Y)= XY, XY=X+Y.
Законы ассоциативности:
11. (X+Y)+Z=X+(Y+Z)=X+Y+Z, (XY)Z=
X(YZ)= XYZ
Законы дистрибутивности:
12. X+YZ=(X+Y)(X+Z), X(Y+Z)= XY+
XZ.


Slide 8

Строим таблицу истинности для
полученного выражения
F(X1,X2,X3)= X1+X2+X3
Х1
0
0
0
0
1
1
1
1

Х2
0
0
1
1
0
0
1
1

Х3
0
1
0
1
0
1
0
1

F(X1,X2,X3)

1
0
1
1
1
1
1
1

F(0,0,0)=0+0+0=1
F(0,0,1)=0+0+1=0
F(0,1,0)=0+1+0=1
F(0,1,1)=0+1+1=1
F(1,0,0)=1+0+0=1
F(1,0,1)=1+0+1=1
F(1,1,0)=1+1+0=1
F(1,1,1)=1+1+1=1


Slide 9

Самостоятельно:
1) F(X1,X2,X3)=X1+X3+X1X2
2) F(X1,X2,X3)=X1+X2(X1+X3X2)
Дома:
F(X1,X2,X3)=X1+X2+X3(X1+X3)
Выучить наизусть теоремы алгебры
логики