Transcript Электронные учебники.Логика.

содержание
1.определение
2.логическое отрицание
3.логическое сложение
4.логическое умножение
5.логическое следование
6.эквивалентность
7.законы алгебры логики
8.логические высказывания
9.типы задач
б).упрощение выражений
а).составление таблиц истинности
б).решение логических задач
10.ДНФ и КНФ
11.СДНФ и СКНФ
12.контрольная работа
выход
Основные понятия алгебры логики
Алгебра логики изучает логические функции.
Функция - это закон соответствия между
переменными.Логическая функция - это закон
соответствия между логическими
переменными.
Логическая переменная - это такая переменная,
относительно которой можно утверждать
,что она истинна или она ложна.
Если факт истинности обозначать 1, а лжи 0,
то можно считать, что логическая
перемененная принимает два значения 1 или 0.
Логические функции и переменные определены
на множестве двух значений {0,1}
Логическое отрицание
Это логическая функция, которая принимает ложное значение при
истинном значении переменной и истинное значение пи ложном
Пусть есть высказывание:
А= я сегодня пойду в школу
Высказывание:
А =я сегодня не пойду в школу является логическим
отрицанием для высказывания А
Таблица истинности
А
А
1
0
0
1
Элемент
А
не
А
Логическое сложение - дизъюнкция
Это логическая функция, которая принимает ложное значение при
ложном значении всех входящих в нее переменных
Пусть есть два высказывания:
А= я сегодня пойду в школу
В = я сегодня пойду гулять
Высказывание:
А + В =я сегодня пойду в школу или я сегодня пойду гулять
является логическим сложением этих двух высказываний
Таблица истинности
Элемент или
А
А
В
АВ
V
0
0
0
А+В
0
1
1
1
0
1
1
1
1
В
Логическое умножение - конъюнкция
Это логическая функция, которая принимает истинное значение
при истинном значении всех входящих в нее переменных
Пусть есть два высказывания:
А= я сегодня пойду в школу
В = я сегодня пойду гулять
Высказывание:
А * В =я сегодня пойду в школу и я сегодня пойду гулять
является логическим умножением этих двух
высказываний
Таблица истинности
Элемент И
А
В
А*В
А
0
0
0
А*В
0
1
0
В
1
1
0
1
0
1
Логическое следование- импликация
Это логическая функция, которая принимает ложное значение,
если первое высказывание ложно , а второе истинно
Пусть есть два высказывания:
А= я сегодня пойду в школу
В = я сегодня пойду гулять
Высказывание:
А  В = если я сегодня пойду в школу , то я сегодня пойду
гулять является логическим следованием
Таблица истинности
Элемент - следование
А
0
0
1
1
В
0
1
0
1
АВ
1
1
0
1
А
В

АB
Равнозначность-эквивалентность
Это логическая функция, которая принимает истинное значение,
при одинаковых значениях переменных.
Пусть есть два высказывания:
А= я сегодня пойду в школу
В = я сегодня пойду гулять
Высказывание:
А  В = для того чтобы я сегодня пошла в школу ,
необходимо и достаточно ,чтобы я сегодня пошла
гулять является эквивалентностью
Таблица истинности
Элемент -эквивалентность
А
В
АВ
А

0
0
1
АВ
0
1
0
В
1
1
0
1
0
1
Законы алгебры логики
АB = +B
А+ 0 = А
А*0=0
А+1=1
А*1=А
Коммутативный закон
А+В=В+А
А* В = В* А
АB = *B+ *B
А=А
А+ А = А А * А = А
А+А=1
А*А=0
Дистрибутивный закон
А*(В + С) = А*В+ А*С
А+(В*С)=(А+В)*(А+С)
правило свертки
Закон поглощения
А*В+А*В=В (А+В)*(А+В)=В
А*(А+В)=А
Закон склеивания
А+А*В=А
А+А*В=А + В А+А*В=А + В
Правило Де Моргана
А*В =А + В
А+В =А * В
Логические высказывания
ВЫСКАЗЫВАНИЯ,
ЗАПИСАННЫЕ НА
ЕСТЕСТВЕННОМ ЯЗЫКЕ
1. Неверно , что А
А не имеет места.
2. А и В
Как А так и В
Не только А но и В
А вместе с В
А несмотря на В
А в то время, как В
3. А, но не В
Не В, а А
4.А или В
А или В, или оба
5. Либо А, либо В
6.Либо А, либо В и С
8. Если А, то В
А только, если В
А только тогда, когда В
А достаточно для В
А только при условии, что В
В необходимо для А
А значит В
Для В достаточно А
А влечет В
Для А необходимо В
Из А следует В
В тогда, когда А
9.А эквивалентно В
А тогда и только тогда, когда В
А если и только если В
А необходимо и достаточно для В
ВЫСКАЗЫВАНИЯ,
ЗАПИСАННЫЕ НА ЯЗЫКЕ
АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
А
А*В
АВ
А*В
А+В
А*В+А * В
А*В*С + А * В*С
А В
А В
Типовые задачи по преобразованию логических
функций
Все задачи можно разделить на следующие
типовые группы:
1.Упрощение логических функций
2.Построение таблицы истинности функции
3.Определение тождественности логических
функций
4.Вычисление значения логического выражения для
заданного набора значений переменных
5.построение функциональной схемы узла,
реализующего заданную логическую функцию.
Задача №1
составить таблицу истинности для логической
функции: F= АВ+А+ВА
В
А
АВ
АВ+А
А
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
В
ВА АВ+А+ВА
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
Задача №2
составить таблицу истинности для логической
функции: F=А B +AB*(A B)
А В АВ
АВ
АВ
АВ*(АВ)
АВ+ВА*(АВ)
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
Задача №3
построить таблицу истинности для логической функции:
F = (А (C B))  (B + C)
А
В
С
СВ А(СВ)
В+С
(А(СВ) )(В+С)
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ДНФ и КНФ
Элементарной называется конъюнкция, в которую входят только
переменные и их отрицания .Например Х1Х2 ; Х1Х2Х3 ;Х1Х2Х3
Элементарной называется дизъюнкция, представляющая собой
логическую сумму переменных и их отрицаний .Например Х1+Х2 ;
Х1 +Х2+Х3 ; Х1 +Х1+Х3
Дизъюнктивная нормальная форма (Д Н Ф) - это форма, в
которой логическая функция представляется в виде дизъюнкции
элементарных конъюнкций.
Например: F=x1x2 +x1x3 + x1x2x3
Конъюнктивная нормальная форма (К Н Ф) - это форма, в
которой логическая функция представляется в виде
конъюнкции элементарных дизъюнкций.
Например: F=(x1 +x2 ) *(x1 + x3 )* (x1+x2+x3)
СДНФ и СКНФ
Использование нормальных форм не устраняет
неоднозначность записи логических функций
Например F=X1X2+X1X3+X1X2X3 может быть записана:
1)F = X1X2+X1X3+X2X3
2)F= X1X2+X1X3 (проверьте, составляя таблицы истинности.)
Поэтому среди нормальных форм выделяют такие,в которых
функции записываются единственным образом. Их называют
совершенными формами.
Применяются совершенная дизъюнктивная и совершенная
конъюнктивная формы(СДНФ иСКНФ)
Формы СДНФ иСКНФ имеют две отличительные особенности:
1)все элементарные конъюнкции и дизъюнкции имеют одинаковый
ранг
2)в элементарные конъюнкции(дизъюнкции)входят все те переменные
и их отрицания , от которых зависит функция
Примеры
СДНФ и СКНФ
F = X1X2X3 +X1X2X3 + X1X2X3 +Х1Х2Х3 - СДНФ
F = (X1+X2+X3) *(X1+X2+X3) *( X1+X2+X3) *(Х1+Х2+Х3) - СКНФ
F = X1X2 +X1X2 + X1X2 - СДНФ
F = (X1+X2) *(X1+X2) - СКНФ
F = (X1+X2) *X1 - не СКНФ т к второй множитель не
содержит Х2
F = (X1+X3) *(X1+X2+X3) *( X1+X2) *(Х1+Х2+Х3) -не СКНФ,
т к первый и третий множитель не содержат
Х2 и Х3 соответственно
F = X1X2 +X2 + X1X2 - не СДНФ ,т к второе слагаемое не
содержит Х1
Функции в СДНФ
обычно записывают по таблицам истинности
следующим образом:
Правило записи СДНФ функции по таблице истинности:
Для всех наборов переменных , на которых функция принимает
единичные значения ,записать конъюнкции , инвертируя
те переменные ,которым соответствуют нулевые значения.
Затем конъюнкции соединить знаками дизъюнкции.
Пример :
1
2
3
4
5
6
7
8
Х1
Х2
Х3
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
Для наборов 3,5,6,7 записываем
конъюнкции
Х1Х2Х3 , Х1Х2Х3 , Х1Х2Х3
соединяем их знаком дизъюнкции
Получаем:
СДНФ:
F = Х1Х2Х3 ,+ Х1Х2Х3 + Х1Х2Х3
Функции в СКНФ
обычно записывают по таблицам истинности
следующим образом:
Правило записи CКНФ функции по таблице истинности:
Для всех наборов переменных , на которых функция принимает
нулевые значения ,записать дизъюнкции, инвертируя
те переменные ,которым соответствуют единичные значения.
Затем дизъюнкции соединить знаками конъюнкций.
Пример :
Для наборов 1,3,5,6 записываем дизъюнкции
Х1
Х2
Х3
F
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
Х1+Х2+Х3 , Х1+Х2+Х3 , Х1+Х2+Х3 , Х1+Х2+Х3
соединяем их знаком конъюнкции
Получаем:
СКНФ:
F = (Х1+Х2+Х3 )* ( Х1+Х2+Х3 )* (Х1+Х2+Х3)* ( Х1+Х2+Х3 )
Упрощение выражений
1.Упростить
0
F =(A+B+C)(A+B+C)
В
0
Решение:
F=(А+В+C)(А*В*C)=А*А*В*С+В*А*В*С+С*А*В*С=
=А*В*С
0
0
2.Упростить:
F=((A*B C) (A*C))  B
Решение:
1)А*В  C =A*B +C=A+B+C
2)(A+B+C ) (A*C)= (A+B+C )* (A*C)+ (A+B+C )* (A*C)=
(A*C)
=A*A*C+B*A*C+C*A*C+(A*B*C)(A+C)=B*A*C+A*B*C*A+A*B*C*C =B*A*C
0
0
1
3)B*A*CB=B*A*C+B=B+A+C+B=1+A+C=1
0
0
Решение задач
Задача № 1
Экзамен сдавали четыре абитуриента А,В,С,D. Известно
1)Для того, чтобы А не сдал или В сдал, необходимо, чтобы С сдал и D
не сдал.
2)Для того, чтобы не сдал С, а В сдал, необходимо, чтобы А не сдал или D
сдал экзамен.
3)Неверно, что для того, чтобы не сдал А, достаточно, чтобы сдал D
Кто сдал экзамен?
Запишем каждое высказывание в виде логических функций:
1)F1=(A+B)(C*D)
2)F2=C*B (A+D)
3)F3=D  A
F1*F2*F3 истина
1)F1=(A+B)(C*D) =(A+B)+ (C*D) =A*B+C*D
2)F2=C*B+A+D=C+B+A+D
3) F3=D  A=D+A=
A=D+A D*A
4)F1* F2=(A*B+C*D)*(C+B+A+D)=ABC+ABB+ABA+ABD+CDC+CDB+CDA+CDD=
= =ABC+AB+ABD+CD+CDB+CDA=AB+CD
5) F1* F2*F3=(AB+CD)*D*A=ABDA+CDDA=ABD
Ответ: А сдал В не сдал D сдал
Задача № 2
Четыре студентки Мария, Нина, Ольга и Полина участвовали в
соревнованиях по плаванью и заняли четыре первые места.На
вопрос о распределению мест последовало три разных ответа:
1) Ольга первая, Нина вторая
2)Ольга вторая, Полина третья
3) Марина вторая, Полина четвертая
В каждом ответе по крайней мере одна часть верна.Определите
распределение мест.
Решение
Запишем каждое высказывание в виде логических функций:
1)F1=О1+Н2
2)F2=О2+П3
2)F3=М2+П4
F1*F2*F3  истина
F= (О1+Н2)*(О2+П3)*(М2+П4)=(О1*О2+О1*П3+Н2*О2+Н2*П3)*(М2+П4)
F= (О1+Н2)*(О2+П3)*(М2+П4)=(О1*О2+О1*П3+Н2*О2+Н2*П3)*(М2+П4)
0
0
F=(О1*П3+Н2*П3)*(М2+П4)=О1*П3*М2+О1*П3*П4+Н2*П3*М2+Н2*П3*П4
0
0
0
F=О1*П3*М2
Ответ:Ольга 1место Полина 3 место Марина 2 место
Задача №3
На вопрос, кто из школьников изучал логику был получен правильный
ответ:
Если изучал первый, то изучал и третий
Неверно, что если изучал второй, то изучал третий
Определите, кто изучал логику
Решение
Запишем каждое высказывание в виде логических функций:
1)F1=первый  третий
F2=второй  трети
й
F=F1*F2
истина
F= (первый  третий)*( второй  третий)=(первый + третий)*( второй +третий)=
0
= (первый + третий)*( второй * третий)=первый * второй * третий + третий * второй* третий
= первый* второй* третий
Ответ: второй
1
Контрольная работа
Составьте
таблицу
истинности и
упростите
выражение
1.ав (а+в)
Составьте
таблицу
истинности и
упростите
выражение
1.ав  (ав)
Составьте
таблицу
истинности и
упростите
выражение
1.ав (а*в)
Составьте
таблицу
истинности и
упростите
выражение
1.(а+в)*(ав)
2.а+в (а+в)
2.(а+в)* (ав)
2.а*с+ (ав)
2.(а+в)  (а*в)
(ав) (св) 3.(а*в) (с+в)
3.
4.а*в(а+в)
4.а+в (а*в)
(а+в)  (ав)
3.
(а*с) (а+в)
3.
4.(а в)+(ав) 4.(ав)(а*в)